Các dạng bài tập TÍCH PHÂN hàm ẩn điển hình có lời giải chi tiết

Tổng hợp chuyên đề TÍCH PHÂN THPT giải chi tiết các dạng bài tập về tích phân từ cơ bản đến nâng cao phần đại số, đã được biên soạn tương đối đầy đủ về các dạng bài tập được giải chi tiết. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, học sinh tham khảo rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức về toán học lớp 11, 12 và để ôn thi TN THPQG.

MỤC LỤC

MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP 3

DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP 3

DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 17

TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1: 17

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: 23

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 24

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 32

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 : 34

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 38

DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 39

DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 50

+) Từ giả thiết, ta có

2

3 2 2

12

12020.2021 D

12019.2021

Lời giải Chọn D

C

19.36



D

2.15



Lời giải Chọn B

Lời giải Chọn D

Ta có f x   0

,  x 0;    f x   0 không có nghiệm trên khoảng 0;  

 f x   0 không có nghiệm trên khoảng 1;2

1

ln f x x

Câu 9 (QUỲNH LƯU LẦN 1)Cho hàm số f x 

thỏa mãn các điều kiện f  1  ,2



52

     

2

2 1

1d

T  

D T  2 9ln 2.

Lời giải Chọn C

0

9ln 1

2

x x

b là phân số tối giản

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 13 Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;2

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số yf x , trục hoành và hai đường thẳng x0;x1.

Lời giải Chọn B

e .

Lời giải Chọn A

b a I

b a I

a b I

4d

T 

32

T 

12

T 

Lời giải Chọn D

Ta có

 

2 2

Câu 20 Cho hàm số f x  đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn

7.3

Lời giải Chọn D

2.3



D

4.3

Lời giải Chọn A

I 

122245

I 

120145

I 

Lời giải Chọn A

45

I f x x

Câu 26 (LÝ NHÂN TÔNG)Cho hàm số f x 

liên tục không âm trên 0;2



D 2

Lời giải Chọn A

I 

112

I 

154

I 

Lời giải Chọn B

Lời giải Chọn A

Suy ra f x e f x   x e x f x  x.

Do đó

3

2 1

31

4

12

A T 6123 B T 12279 C T 6125 D T 12273

Lời giải Chọn D

nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên 0; 

thỏa mãn điều kiện

 1 1

f  và f x f x  3x   Mệnh đề nào dưới đây đúng ?1, x 0.

A 1 f  5 2 B 2 f  5 3 C 4 f  5 5 D 3 f  5 4

Lời giải Chọn D

đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;2

thỏa mãn điều kiện



C

5.3



D 3 

Lời giải Chọn B

Lời giải Chọn B

DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1:

I 

Lời giải Chọn C

Câu 38 Cho hàm số f x 

liên tục trên  thỏa mãn

 16

I f x x

Lời giải Chọn B

I  f t t   

4 1

3 1d

3 1d

ln2

Đặt 2x 1 t

 

3 1

2sin x f sin x d sinx

I 

92

I 

112

I 

Lời giải Chọn A

4 t f t t( )d

 

, hay  

3 1

Câu 45 (HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN)Cho hàm số f x 

liên tục trên  và thỏa mãn

2d

x x



Lời giải

1

d2

1

1

d2

.Đổi cận

Câu 46 (CHUYÊN KHTN)Cho hàm số f x( ) liên tục trên  thỏa mãn

( )

f x dx x



Lời giải Chọn C

+) Đặt t 3 x t3  x 3t dt dx2 

Đổi cận:

Khi đó

2 3

(t)

2

f dt t

I f x x

Lời giải Chọn A

d 41

f t t

Đối với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai về ta cần chú ý rằng :

+ Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A B C, ,

f x x



Lời giải Chọn B

Câu 49 Cho hàm số f x( ) liên tục trên 0; 2

và thỏa mãn điều kiện f x  f 2 x 2x Tính giá

I 

43

I 

Lời giải Chọn D

1 1 x dx



 

2 2 02

Thay vào (*), ta được

I 

Lời giải Chọn C

I 

Lời giải Chọn A

Câu 53 Cho hàm số yf x  liên tục trên \ 0  và thỏa mãn 2 3  3 2 15

1 2

1d

k

I  

459

k

I  

45 29

k

I  

Lời giải Chọn A

3

32

I 

42019

I 

11009

I 

Lời giải Chọn C



Lời giải Chọn A

x e

I 

C I 4036. D I 1008.

Lời giải Chọn A

Câu 58 Cho số dương a và hàm số f x 

liên tục trên  thỏa mãn f x  f  x  , x a    Giá trị của biểu thức

 d

a a

π 4

π14



π22



Lời giải Chọn D

Cách 1: Ta có

π 4 2 π 4

tan dx x





4 2 4

1

1 dcos x x

π 4

3f t 2f t dt



π 4

π 4

π 4

π 4

a 

,

10

I 

475

I 

125

I 

Lời giải Chọn C

Cách 1: (Dùng công thức)

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5

Bài toán: “ Cho f x f a b x     k2, khi đó  

x I

f x







x I

d1

x I

I 

52

I 

Lời giải Chọn C

0

2I dt 5

    I 52.

Câu 68 Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục trên R và f x   0 khi x  [0; a] (a  ) Biết0

(2) (Tích phân xác định không phụ thuộc

vào biến số tích phân)

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 :

I f x x

Lời giải Chọn B

Lời giải Chọn A

f t t

f x x

f x x

là hàm đơn điệu (luôn đồng biến hoặc

nghịch biến) trên R Hãy tính tích phân I a b f x dx  “

I 

12

I 

54

I 

.

Lời giải Chọn D

Đặt yf x  xy3y dx3y21dy

Đổi cận

3 3

I 

512

I 

53

I 

Lời giải Chọn B

Đặt yf x  x2y3 3y26y  dx6y2 y1 d y

.Đổi cận: với x 0 2y3 3y26y 0 y và 0 x 5 2y3 3y26y 5 y 1

Câu 78 Cho hàm số f x  liên tục trên  thỏa mãn x f 3 x 2f x  , x1    Tính

I 

73

I 

54

I 

Lời giải Chọn A

Đặt yf x  x y3 2y 1 dx  3y2 2 d y

.Đổi cận: Với x  2 y3 2y  1 2 y ; 1 x  1 y3 2y  1 1 y 0

0

2 1

5 5 1 1

I   f x dx

Khi đó,

1 0

f x g x

0

f  

  ,

 

4 0

d 1cos

f x x x



1 3 22



Lời giải Chọn B

Câu 84 (THPT SƠN TÂY HÀ NỘI 2019) Cho hàm số f x 

có đạo hàm trên  và thỏa mãn

trước tiên ta đi tìm 2 số   sao cho,

d

f x x x

Câu 86 (CHUYÊN VINH LẦN 3) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn

 1 4

1

2 0

0

x x

1d3

Từ giả thiết:

 

2

2 0

1d3

x f x x 

2 2 0

3x f x xd 1

Tính:

 

2

2 0

24 x f x x  d

  

, (vì f  2  )3Mà:

4

d 023

Câu 88 (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2)Cho hàm số f x 

có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;2

I 

720

I 

720

I 

Lời giải Chọn B

Xét    

3 1

7

1 1 d4

1d45

f x x



2 1

I 

112

I 

112

I 

Lời giải Chọn D

Câu 90 (THPT NGHÈN LẦN 1)Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa

mãn f  1  , 1  

1

0

1d5

9d5

I 

14

I 

45

I 

Lời giải Chọn C

3d5



Lời giải Chọn A

             

1 1

a b c

a b c

Câu 92 (THUẬN-THÀNH-BẮC-NINH)Cho hàm số f x 

có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1



715



Lời giải Chọn B

Câu 93 (THANH CHƯƠNG NGHỆ AN LẦN 2)Cho hàm số f x 

có đạo hàm liên tục trên đoạn

Lời giải Chọn B

*) Xét tích phân

 

0cos d





0sin x f x xd

ta suy ra được f x  sinx.

Từ đó giải tiếp như phần trên

Câu 94 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục thỏa mãn f 2 0

I f x x

e2

I 

e 12

I  

Lời giải Chọn B

d 1 e dx 2 ex e 2

I f x x  x x  x  

Câu 96 (THPT-TOÀN-THẮNG-HẢI-PHÒNG)Cho hàm số f x 

có đạo hàm liên tục trên 0;1

thỏa mãn f  1  , 0  

1

2 0

3

d 2 ln 22

3

d 2 ln 2

21



3 4ln 22



1 ln 22



Lời giải Chọn A

2 0

0

d 0 *1

0

d 0, 0;11

Khi đó:

1 0

DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1

Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f x p x f x    h x 

Câu 97 (HSG cấp tỉnh – Phú Thọ 2018 – 2019): Cho hàm số f x  thỏa mãn f  0 4 và

e

 

Lời giải Chọn D

Câu 102 (Chuyên Bắc Giang)Cho hàm số f x 

có đạo hàm trên  thỏa mãn

12020.2021 D

12017.2021Lời giải

t t

e e



Câu 108 (CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2)Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên 0, Biết

+ Trước tiên ta đưa phương trình về dạng tổng quát

 

1

11

a 

và

32

A

4

.9

P 

B

2.9

P 

C

7.9

P 

D

14.9