Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoayCho vật thể V giới hạn bởi 1 mặt cong kín và bị chặn giữa 2 mặt phẳng x=a, x=b x=xi+1 Chia V thành n phần bởi các mặt phẳng x=xi: a=x0.
Trang 1Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng
Trang 2Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng
Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn bởi y=x và y=5x-x2
4
2 0
Trang 3Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng
Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn bởi y2=2x và 2y=x2
2 2
Giao điểm
22
Trang 4Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng
Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn bởi x2+y2=8, 2x=y2, x>0
2 2
2 2
Trang 5Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
Cho vật thể V giới hạn bởi 1 mặt cong kín và bị chặn giữa 2 mặt phẳng x=a, x=b
x=xi+1
Chia V thành n phần bởi
các mặt phẳng x=xi:
a=x0<x1<…<xn=b
Trong mỗi đoạn [xi,xi+1]
lấy điểm Mi tuỳ ý và thay
Trang 6Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
Khi đó, tương tự như cách tính diện tích hình thang cong, ta có thể tích V được tính bằng cách qua giới hạn tổng
1 max{lim} 0 0 ( )
V S x dx
Trang 7Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
Trường hợp đặc biệt: V là vật thể tạo ra khi quay
hình thang cong y=f(x), a<x<b quanh trục Ox thì:
2
S x f x 2( )
b x
Trang 8Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoayQuay hình thang cong y=f(x), a<x<b quanh trục Oy:
a x x+Δx b
yy+Δy
D
CB
Trang 9Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
Trang 10Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
Ví dụ: Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới hạn bởi quanh trục Oyy e 2x 1, y e x 1,x 0
Lưu ý: Khi chưa xác định
dấu của hàm x.f(x), ta nên
viết |x.f(x)| trong công
thức trên
Trang 11Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
Ví dụ: Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới hạn bởi y=x2+1, y=5 quay quanh
cần lấy nửa trái hoặc
phải rồi quay là đủ
Trang 12Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
b Quay quanh đt y=5
Ta đổi hệ trục tọa độ để trục quay trùng với 1 trong
Trang 13Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay
Phần đường cong y=f(x) với a≤x≤b quay quanh trục
Trang 14Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay
Ví dụ: Tính dt mặt tròn xoay tạo ra khi quay ellipse
2
2 14
phía trên hoặc
dưới quay như
khi tính thể tích
vật thể tròn xoay
Trang 15Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay
Áp dụng công thức trên cho nửa trên ellipse tức là đường cong :
2
1 / 4, 2 2
y x x
24
x y
2 2
Trang 16Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay
Ví dụ: Tính dt mặt tròn xoay tạo ra khi quay cung
quanh trục Ox
( 12),1 126
Trang 17Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay
Ví dụ: Tính dt mặt tròn xoay tạo ra khi quay cung
Trang 18Ứng dụng của tích phân – Độ dài cung Cho hàm y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b].
Trang 19Ứng dụng của tích phân – Độ dài cung
Theo định lý giá trị trung bình: tồn tại c trong đoạn
[xi,xi+1] sao cho 1
L f x dx
Trang 20Ví dụ: Tính độ dài phần parabol y=x2 nằm dưới đt y=1 Phần parabol nằm dưới đt y=1 ứng với -1≤x≤1
1
2 1
Ứng dụng của tích phân – Độ dài cung
Ta gọi vi phân cung C có phương trình y=f(x) là
2
1 ( )
dl f x dx thì công thức tính độ dài cung C từ a đến b là:
Trang 21Ứng dụng của tích phân – Độ dài cung
Ví dụ: Tính độ dài phần đường cong nằm trong parabol y2=2x , với x≤1
( 1)27
