bài giảng ứng dụng hình học của tích phân xác định

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH... Bài toán diện tích... Bài toán diện tích... Lưu ýCó thể vẽ hình các đường cong đơn giản hoặc tìm hoành độtung độ giao điểm để xác định cận tíc

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Bài toán diện tích

Bài toán diện tích

Lưu ý

Có thể vẽ hình các đường cong đơn giản

hoặc tìm hoành độ(tung độ giao điểm) để xác định cận tích phân

•Tính hoành độ giao điểm  tích phân tính theo biến x(ngược lại là tính theo y)

Ví dụ

2 0

S D   x x   dx

2 0

16 (2 )

Ví dụ

Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi:

y  x y  x y  

Ví dụ

1 2

0 x dx

 

1 0

( ) (2 )

S D    y  y dy 

 5 6

( ) b ( ) ( )

a

S D   f x  f x dx

Bài toán thể tíchD: a  x  b, y nằm giữa 0 và f(x)

Quay D xung quanh Ox

D: a  x  b, y nằm giữa 0 và f(x)Vật thể tạo ra có dạng tròn xoay.

Bài toán thể tích

DD: a  x  b, y nằm giữa 0 và f(x)

a

V    f x dx

Chứng minh

a

y y+y

 

 2

Bài toán thể tích

2 ( ) 1 ( )

b x

Bài toán thể tíchD: a  x  b, y nằm giữa f1(x) và f2(x)

Lưu ý về tính đối xứng

1 1

( ) ( ) ( ) 2 ( )

phía trên Ox của D

V    xe dx

Tính thể tích khi D quay quanh Ox

2  1 x dx

  

1

2 0

y

V    x  x dx

1 -1

Bài toán diện tích, thể tích với

đường cong tham số

D giới hạn bởi trục hoành, 2 đường thẳng x=a,

x=b và đường cong tham số

Nếu

6 (sin t sin ) t dt



    3 16 

Tính thể tích tạo ra khi D quay quanh Ox, Oy

1 0

6 (sin t sin ) t dt





Độ dài đường cong phẳng Diện tích mặt tròn xoay

  2

b a

Cho đường cong C: y= f(x), a  x  b

Độ dài đường cong C:

Khi C quay quanh Ox tạo thành diện tích :

Ví dụ

1

( 12),0 12 6

x





  

Cho đường cong C:

Tính độ dài đường cong và diện tích mặt

tạo ra khi C quay quanh Ox

S    y  y dx 

12 0

Cho đường cong C:

Tính diện tích mặt tròn xoay tạo ra khi

C quay quanh Oy

ln 2 20

Bài toán độ dài cung và diện tích mặt tròn xoay

với đường cong tham số

2 1

t t

L   x t   y t  dt

Cho đường cong C: x = x(t), y = y(t), t1 t  t2

2 1

2 t ( ) ( ) ( )

S    y t x t   y t  dt