Skkn toán học thpt (16)

Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến Tôi xin nhắc lại các dạng toán chính về góc và khoảng cách đó là góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt

MỤC LỤC

I Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến:………

II Mô tả giải pháp kỹ thuật……… 2

II.1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến……… 2

II.2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến……… 5

NỘI DUNG SÁNG KIẾN……… 9

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ……… 9

B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN……… 13

I GÓC……… 13

1 DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG……… 13

2 DẠNG 2: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG… 25 3 DẠNG 3: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG……… 38

II KHOẢNG CÁCH……… 52

1 DẠNG 1: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG ……… 52

2 DẠNG 2: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG……… 58

3 DẠNG 3: KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG……… 77

4 DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG……… 79

5 DẠNG 5: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 81

C BÀI TẬP TỰ LUẬN……… 99

D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM……… 105

III Hiệu quả do sáng kiến đem lại……… 122

IV Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền……… 123

M



BÁO CÁO SÁNG KIẾN

I Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến:

Trong môn toán ở trường THPT phần hình học không gian giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới như tính cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật, tính

sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh

Trong chương trình toán lớp 11, 12, các bài toán về góc, khoảng cách trong không gian xuất hiện ở hầu hết các đề thi định kì, đề thi học sinh giỏi, đề thi THPTQG Đối với học sinh đại trà, phần khoảng cách là mảng kiến thức khó

và thường để mất điểm trong các kì thi trên Đối với học sinh giỏi, các em có thể làm tốt phần này, tuy nhiên cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy và thường tốn khá nhiều thời gian

Trong sách giáo khoa, sách bài tập loại bài tập này khá nhiều song chỉ dừng ở các bài tập đơn giản Các tài liệu tham khảo ít có tài liệu phân loại một cách rõ nét các phương pháp tính khoảng cách trong không gian

Đối với các giáo viên, do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các phần mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn một chuyên đề sắc nét,

có tính hệ thống về phần này còn gặp khó khăn

Bản thân tôi đã dạy môn Toán 11, 12, giảng dạy các đối tượng học sinh khác nhau, tôi thấy nếu chỉ giới thiệu đơn giản như sách giáo khoa, sách bài tập, thậm chí theo một số tài liệu tham khảo thì nhiều học sinh Khá, Giỏi cũng chưa tích cực giải quyết các bài toán khoảng cách ở mức độ vận dụng, vận dụng cao; học sinh trung bình, yếu thì thường có tư tưởng bỏ qua các câu đó Tuy nhiên khi giới thiệu cách làm như trong sáng kiến tôi trình bày thì tôi thấy các ưu điểm như:

- Nhiều học sinh giải quyết được dễ dàng, nhanh chóng các bài toán về góc, khoảng cách, kể cả các bài toán khoảng cách trong các đề thi đại học Với học sinh Khá, Giỏi, ý thức học tốt thì giải quyết càng nhanh và trơn tru Với học sinh trung bình đòi hỏi các em phải luyện tập nghiêm túc thì cũng giải quyết tốt

- Do nắm được hướng giải quyết nên các học sinh đều tích cực, sẵn sàng tiếp nhận các bài toán khoảng cách, mà khi nói đến bài toán khoảng cách trong các đề thi đại học thì học sinh càng hào hứng

- Thay đổi được tư tưởng bỏ qua bài toán góc, khoảng cách ở một số học sinh

- Làm cho học sinh trở nên yêu thích phần Hình học không gian nói riêng

và bộ môn Toán nói chung, bởi từ một phần học được học sinh coi là khó thì nay trở nêngiải quyết một cách dễ dàng

- Rèn tư duy, phát triển tư duy cho học sinh, điều đó sẽ giúp các em có hướng giải quyết tốt các vấn đề khó khăn trong cuộc sống, phát huy tính sáng tạo trong công việc

Những lí do đó là nguồn cảm hứng, là động lực thúc đẩy tôi viết ra sáng kiến kinh nghiệm này Tài liệu cũng có thể giúp cho giáo viên bồi dưỡng chuyên môn, nâng cao khả năng bản thân

II Mô tả giải pháp kỹ thuật

II.1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Tôi xin nhắc lại các dạng toán chính về góc và khoảng cách đó là góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng; khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau mà sách Bài tập Hình học 11 và một số tài liệu tham khảo hướng dẫn:

1) Góc giữa hai đường thẳng:

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường

thẳng 'a và ' b cùng đi qua một điểm bất kì lần lượt song song với a và b

2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( )P

+) Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( )P thì góc giữa đường

thẳng d và mặt phẳng ( )P bằng 90 0

+) Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng ( )P thì góc giữa

đường thẳng d và hình chiếu ' d của nó trên ( )P được gọi là góc giữa đường

P

O A

H

- Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau:

Cho hai mặt phẳng ( )P và ( )Q cắt nhau theo giao tuyến c Từ một điểm I

bất kì trên c ta dựng đường thẳng a trong ( )P vuông góc với c và dựng đường thẳng b trong ( )Q vuông góc với c Khi đó góc giữa ( )P và ( )Q là góc giữa hai

P

I

+ Tìm mp Q( )chứa M và vuông góc với mp P( )theo giao tuyến d

5) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

- Trường hợp 1: a b, chéo nhau và a b, vuông góc với nhau

+ Chọn mp( ) chứa a vuông góc với b tại B

+ Trong mp( ) kẻ BA vuông góc với a tại A

Suy ra AB là đoạn vuông góc chung của a b,

- Trường hợp 2: a b, chéo nhau và a b, không vuông góc với nhau Cách 1:

+ Dựng mặt phẳng ( ) chứa a và song song với b

d mp(Q)

P

M

H

a α

b

B A

a b

+ Từ H dựng đường thẳng song song với a , cắt b tại B

+ Từ B dựng đường thẳng song song với OH , cắt a tại A

 AB là đoạn vuông góc chung của a và b

Chú ý: d a b( , )=AB=OH

Nếu triển khai như sách giáo khoa, sách bài tập Hình học và một số tài liệu tham khảo thì cách làm đó là tổng quát, học sinh áp dụng được với các bài toán đơn giản, tuy nhiên thao tác phức tạp, khó nhớ nên các bài toán ở mức độ vận dụng cao hơn thì đa số học sinh gặp khó khăn trong việc xác định khoảng cách

và tính toán

II.2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến

a) Từ 2 nét vẽ xác định được góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, cụ thể:

- Xác định góc giữa hai đường thẳng và ta lấy điểm bất kì và thực hiện:

b'

b a

O

+) Nét 1: Từ điểm A bất kì trên d (không trùng O ) vẽ AH ⊥( )P tại H

+) Nét 2: Nối OH Đường thẳng ' d chính là đường thẳng OH

b) Từ 3 nét vẽ xác định được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Từ ba đối tượng điểm, đường thẳng, mặt phẳng có các loại khoảng cách:

d'

d

(2) (1)

P

O A

H

c a

b

(2) (1) Q

P

I

Như vậy từ ba đối tượng: điểm, đường thẳng, mặt phẳng có các loại khoảng cách trên, trong đó hai loại khoảng cách quan trọng nhất là khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Hai loại khoảng cách này thường xuất hiện trong các đề thi, nhiều câu là câu hỏi dùng để phân loại học sinh

Trong các loại khoảng cách trên thì vấn đề trọng tâm là khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, trong đó mấu chốt là khoảng cách từ chân đường cao đến một mặt phẳng chứa đỉnh Tài liệu này tôi giúp học sinh giải quyết dễ dàng bài toán mấu chốt đó từ 3 nét vẽ cơ bản

Chẳng hạn tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt phẳng ( )P như hình:

Mặt phẳng Đường thẳng

Khoảng cách từ điểm→ mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm→ đường thẳng

Khoảng cách từ điểm→ điểm (là bài toán cơ bản xuyên suốt trong mọi bài toán tính khoảng cách, thường tính bằng hệ thức lượng trong tam giác) Điểm

Các đối tượng

So với giải pháp cũ thì cách làm này đơn giản, dễ nhớ lại giải quyết dễ dàng bài toán Vì vậy nắm được 3 nét vẽ cơ bản trên ta sẽ giải quyết được dễ dàng bài toán mấu chốt: Khoảng cách từ chân đường cao đến một mặt phẳng chứa đỉnh,

từ đó giải quyết được hầu hết các bài toán khoảng cách

Trong lời giải tự luận bài toán tính khoảng cách, thường yêu cầu học sinh trình bày được 3 ý chính:

+ Dựng hình

+ Chứng minh

+ Tính

Sáng kiến đi sâu vào hai loại khoảng cách quan trọng nhất là khoảng cách

từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau với nhiều ví dụ minh họa từ dễ đến khó, nhiều mô hình chóp như chóp tam giác (tam giác vuông, tam giác đều,…), chóp tứ giác (đáy là hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật, hình thang vuông,…) , chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy, một mặt bên vuông góc với đáy, hai mặt bên vuông góc với đáy,…; mô hình hình lăng trụ Sáng kiến cũng cập nhật nhiều bài toán khoảng cách trong các đề thi Đại học, đề thi THPT Quốc gia những năm gần đây Từ đó học sinh được thực hành, trải nghiệm với nhiều mô hình, được tiếp xúc với các đề thi Đại học,

đề thi THPT Quốc gia, tăng thêm kĩ năng, tư duy, kinh nghiệm cho bản thân

a (3)

NỘI DUNG SÁNG KIẾN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ

I Góc

1 Góc giữa hai đường thẳng:

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc

giữa hai đường thẳng 'a và ' b cùng đi qua một điểm bất kì lần lượt song song

với a và b

2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa: Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( )P

+) Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( )P thì góc giữa đường

thẳng d và mặt phẳng ( )P bằng 0

90

+) Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng ( )P thì góc giữa

đường thẳng d và hình chiếu ' d của nó trên ( )P được gọi là góc giữa đường

P

O A

H

- Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau:

Cho hai mặt phẳng ( )P và ( )Q cắt nhau theo giao tuyến c Từ một điểm I

bất kì trên c ta dựng đường thẳng a trong ( )P vuông góc với c và dựng đường thẳng b trong ( )Q vuông góc với c Khi đó góc giữa ( )P và ( )Q là góc giữa hai

đường thẳng a và b

II Khoảng cách

1 Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

Cho điểm M và một đường thẳng  Trong mp M ( , ) gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên  Khi đó khoảng cách MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến 

Cho mặt phẳng ( ) và một điểm M, gọi H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng ( ) Khi đó khoảng cách MH được gọi là khoảng cách từ điểm M

đến mặt phẳng ( )

Kí hiệu là d M( ,( ) )=MH

3 Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng song song

Cho đường thẳng  và mặt phẳng ( ) song song với nhau Khi đó khoảng cách từ một điểm bất kì trên  đến mặt phẳng ( ) được gọi là khoảng cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng ( )

( )

( , ) ( ,( ) ),

d   =d M  M

- Nếu  cắt ( ) hoặc  nằm trong ( ) thì d( ,( ))  =0

4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Cho hai mặt phẳng ( ) và ( ) song song với nhau, khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia được gọi là khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( ) và ( )

α

H M

( ) ( )

d   =d M  =d H  với M( ) ,H( )

5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

- Đường thẳng a cắt cả  , ' và cùng vuông góc với  , ' được gọi là đường vuông góc chung của  , '

- Nếu a cắt  , ' tại M, N thì MN được gọi là đoạn vuông góc chung của  , '

Độ dài đoạn MN được gọi là khoảng cách giữa  , '

- Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:

+) Bước 1: Chọn mặt phẳng ( ) chứa ' và song song với 

+) Bước 2: Dựng d là hình chiếu vuông góc của  xuống ( ) bằng cách lấy điểm M  dựng đoạn MN ⊥( ) , lúc đó d là đường thẳng đi qua N và

song song với 

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

Tìm hai vectơ chỉ phương lần lượt của hai đường thẳng Khi

đó góc giữa hai đường thẳng xác định bởi

Chú ý:

+) Để tính ta chọn ba vec tơ không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng, sau đó biểu thị các vec tơ qua các vec tơ rồi thực hiện các tính toán

+) Ta thường chọn điểm O là điểm có sẵn trên một đường

+) Giả sử là VTCP của , là VTCP của ,

+) Nếu góc thuộc tam giác thường thì sử dụng định lý hàm số cosin trong tam giác

Định lý hàm số cosin trong tam giác :

Ví dụ 1 (Đề thi THPTQG - 2021 - Mã 101) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' '

có tất cả các cạnh bằng nhau Góc giữa hai đường thẳng AA'và BC'bằng:

a) Tính góc giữa SD và BC

* Nhận xét: Để xác định góc giữa hai đường thẳng và ta sử dụng

phương án 1, tìm đường thẳng song song với một trong hai đường thẳng ,

và song song với một đường thẳng còn lại

a

OB=OA=

+ Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông có

Ví dụ 3 Cho tứ diện , gọi , là trung điểm của , Biết

, Tính góc giữa hai đường thẳng và

Hướng dẫn giải:

* Nhận xét: Do và là các cạnh của tứ diện nên chúng chéo nhau, để xác định góc giữa hai đường thẳng và ta tạo các đường thẳng tương ứng song song với , và chúng cắt nhau

+ Gọi là trung điểm của , khi đó ,

Áp dụng định lý hàm số cosin trong ta được:

* Nhận xét: Ngoài việc khởi tạo P như trên ta cũng có thể lấy điểm P là trung

điểm của , cách giải khí đó cũng tương tự

Ví dụ 4 Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và ,

, , vuông góc với và , Tính góc của 2 đường thẳng

Vậy góc giữa hai đường thẳng và bằng

b) + Gọi là trung điểm của , khi đó Tứ giác là hình hình hành (do ), có nên là hình thoi Lại có góc , vuông nên

2a 3 3

2a a

tan

a SA

Khi đó,

+ Tam giác vuông tại nên

Tam giác vuông tại nên

Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác ta được

Ta có các tam giác mặt đáy và mặt bên đều là tam giác đều cạnh

+ Gọi là tâm tam giác và là trung điểm của thì là đường trung bình tam giác ,

Rõ ràng là trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác , là đường cao của tam giác đều

C

D B

* Một số câu trong đề thi THPTQG những năm gần đây

Câu 1 (Đề Tham Khảo 2018) Cho tứ diện có đôi một vuông góc với nhau và Gọi là trung điểm của Góc giữa hai đường thẳng và bằng

A B C D Hướng dẫn giải:

+ Gọi là trung điểm , ta có và , suy ra

Xét ta có

Câu 3 (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Cho hình lập phương

; gọi là trung điểm của Góc giữa hai đường thẳng

2a (1)

+ Giả sử cạnh của hình lập phương là

+ Gọi là trung điểm đoạn thẳng

+ Xét tam giác vuông tại ta có:

a a

a a

+ Gọi là trung điểm của

D A

15 5

6 2

10 4

a

a a

a

+ Gọi là trung điểm của

+ là lăng trụ tam giác đều

+ Gọi là độ dài cạnh của tứ diện đều , suy ra ;

Trong tam giác ta có:

3 6

1 2

3 2

MN MD ND NMD

Câu 7 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Cho tứ diện với

Gọi là góc giữa hai đường thẳng

11

11

c  =

Phương pháp giải: Giả sử cần xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng

( )P , ta thực hiện theo các bước sau:

+) Tìm giao điểm O của d với ( )P (thường có sẵn giao điểm hoặc xác định giao điểm dễ dàng)

+) Nét 1: Từ điểm A bất kì trên d (không trùng O ) vẽ AH ⊥( )P tại H

+) Nét 2: Nối OH Đường thẳng ' d chính là đường thẳng OH

Khi đó (d P,( ) )=(d d, )=AOH

a

a a

3 2

Ví dụ 1 (Đề thi THPTQG- 2020- Mã 101) Cho hình chóp S ABC có đáy ABClà tam giác vuông tại B,AB=a BC=2a, SAvuông góc với mặt phẳng đáy và

Suy ra (SC ABC,( )) (= SC AC, )=SCA

+ Trong ABCvuông tại Bcó AC = AB2 +BC = a2 +4a2 = 5a

+ Trong SACvuông tại Acó 15 0

P

O A

H

(2)

(1) 15a

2a a

B

C A

S

Ví dụ 2 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , và vuông góc với đáy Tính góc giữa

a a

a

a 6

O S

C B

D A

c) +

là hình chiếu của trên

Ví dụ 3 Cho hình chop S ABC đáy ABC vuông tại C , SA vuông góc (ABC)

tại A , SA= AC= , a AB=2a Xác định và tính góc giữa các cặp đường thẳng

( )

(SC ABC; )=(SC AC; )=SCA=  45

3 6 2

sin S

4 2

a CH

a) Gọi Do là trọng tâm tam giác nên thuộc

a a

O S

C B

D A

G

2 2

a a

(1) (2)

O S

C B

D A

Mặt khác

Ví dụ 5 Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại ,

, Cạnh vuông góc với đáy, Tính góc giữa

* Một số câu trong đề thi THPTQG những năm gần đây

Câu 1 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , vuông góc với mặt phẳng đáy và Góc giữa

D A

A B C D

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có nên ta có

Câu 2 (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho khối chóp có

, tam giác vuông tại , , , Tính góc giữa và mặt phẳng

a 3

a 2

S

C B

D A

a 2a

S

C A

B H

SA BC

AB BC

Mà do cách dựng nên , hay là hình chiếu của lên

suy ra góc giữa và là góc hay góc

+ Tam giác vuông ở

Tam giác vuông ở

Câu 3 (Chuyên ĐHSPHN - 2018) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy, , và

+ Xét tam giác vuông tại có suy ra tam giác

Câu 4 (Đề Tham Khảo 2018) Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng Gọi là trung điểm của Tang của góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng bằng

Hướng dẫn giải:

Chọn D

+ Gọi là tâm của hình vuông Ta có và

+ Gọi H là trung điểm của ta có nên là hình chiếu của lên

Do đó góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là

Vậy tang của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

Câu 5 (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho hình chóp có đáy

là hình vuông cạnh , vuông góc với đáy và Gọi là góc giữa và Giá trị bằng

3 3

2 3

1 3

D A

tan

3

3 2 4

a MH MBH

3.

S ABCD

SD (SAC) sin

2 4

2 2

3 2

2 3

Câu 6 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho tứ diện đều

cạnh Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh Tính tan của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1 2

2

Chọn C

+ Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

Vì là tứ diện đều cạnh nên

+ Gọi là chân đường vuông góc từ xuống

là trung điểm của

* Những trường hợp đặc biệt đề hay ra:

Trường hợp 1: Hai tam giác cân ACD và BCD có chung cạnh đáy CD

Gọi H trung điểm của CD, thì góc giữa hai mặt phẳng

b

(2) (1) Q