Đây là một trong hai dạng toán khoảng cách mà đề thi HSG, đề thi Đại học hay đề cập đến: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
a) Phương pháp chung
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b Cách 1:
+ Xác định đoạn vuông góc chung của a và b + Tính độ dài đoạn vuông góc chung.
b a
N M
Cách 2:
+ Tìmmp P( )chứa b và song song với a
+ Khi đó ( , )d a b =d a P( ,( ))=d M P( ,( )) với M là một điểm bất kỳ thuộc a
Cụ thể tôi chia làm 3 trường hợp, trong đó trường hợp 1,2 đơn giản; trường hợp 3 nhiều bài là câu hỏi phân loại trong các đề thi.
Trường hợp 1: 1 trong hai đường thẳng là đường cao.
+ Từ chân đường cao H dựng HK ⊥b tại K
+HKlà đoạn vuông góc chung của a và b nên ( , )d a b =HK Trường hợp 2: Tìm được a⊥( ), ( )P P b.
+ Chọn mặt phẳng ( )P chứa b và vuông góc với a tại M.
+ Trong ( )P dựng MN ⊥b tại N.
+ Đoạn MN là đoạn vuông góc chung của a và b d a b( ), =MN
Trường hợp 3: Tìm được a/ /( ), ( )P P b
Mục tiêu: Chuyển bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thường về tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, từ đó
P
b a
a' M
a
b H
K
P
b a
M N
đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng mà ta đã giải quyết được dễ dàng.
+ Dựng mặt phẳng ( )P chứa b và song song với a.
+ d a b( ), =d a P( ,( ) )=d M P( ,( ) )
Chú ý:
- Mặt phẳng ( )P có thể có sẵn hoặc phải dựng. Ta luôn luôn tìm được mp P( ) chứa b và song song với a mà việc tạo ra mp P( )rất đơn giản, đó là từ 1 điểm trên b dựng đường thẳng '/ /a a , khi đó mp P( )mp a b( ', ).
+ Với mô hình là hình chóp thường tạo ra mặt phẳng chứa đường thẳng
không nằm trong mp đáy và song song với đường nằm trong mặt đáy.
+ Với mô hình là hình lăng trụ việc tạo ra khó hơn cần tinh ý phát hiện song song theo tính chất đường trung bình hay định lí talet.
- Có thể chuyển về khoảng cách giữa mặt phẳng song song:
+ Dựng hai mặt phẳng ( ) ( )P , Q sao cho a( )P ,b( )Q , ( ) / /( )P Q . + Khi đó d a b( ), =d( ( ) ( )P , Q )=d M Q( ,( ) )
b) Ví dụ
* Ví dụ cho trường hợp 1
Ví dụ 1. Cho hình chóp có mặt đáy là hình chữ nhật với vuông góc với mặt đáy và Tính khoảng cách giữa và theo
Hướng dẫn giải:
a
b P
M
P
Q
b M a
.
S ABCD ABCD
, 2 ,
AB=a AD= a SA SA=a.
SA BD a.
+ Trongmp ABCD( ) kẻ AH ⊥BD tại H + Vì tại nên SA⊥AH tại A
AH là đoạn vuông góc chung của và
+ 2 2
. 2 5
( , )
5
AB AD a
d SA BD AH
AB AD
= = =
+
Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD A B C D. có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa BB và AC.
Hướng dẫn giải:
- Cách 1: + Gọi I = ACBD . Ta có BI ⊥ AC
' (ABCD) '
BB ⊥ BB ⊥BI
BI là đường vuông góc chung của BB và AC
+ ( ; ) 2
2 d BB AC =IB= a .
- Cách 2: (Đưa về khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song)
Vì ( )
( )//
AA C C AC AA C C BB
nên d BB AC( ; )=d BB( ;(AA C C ) ).
Gọi I =ACBD.
a
a
2a S
A D
B H C
( )
SA⊥ ABCD A
SA BD
a a
I B' C'
A' D'
A D
B C
Vì ABCD A B C D. là hình lập phương nên BI ⊥(A CA C).
Suy ra ( ; ) ( ;( ) ) 2
2 d BB AC =d BB AA C C =IB= a .
* Ví dụ cho trường hợp 2
Ví dụ 3. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh Biết hai mặt bên và cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và Tính khoảng cách giữa và
Hướng dẫn giải:
Vì hai mặt bên và cùng vuông góc với mặt phẳng đáy nên .
+ Trong mp SAB( ) kẻ AH ⊥SB H, SB + Vì AD⊥(SAB) AD⊥ AH tại A
AHlà đường vuông góc chung củaADvà SB
2 2
. 6
( , ) ( , )
3 AS AB a d AD SB d A SB AH
AS AB
= = = =
+
Ví dụ 4. Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hai mặt bên (SAB), (SAC)cùng vuông góc với đáy, SA=a 3 . Ilà trung điểm của AB. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CI .
.
S ABCD ABCD a.
(SAB) (SAD) SA=a 2.
AD SB
a
a a 2
a a
B C
A D S
H
(SAB) (SAD)
( )
SA⊥ ABCD
Phân tích:
+ (SAB), (SAC)cùng vuông góc với đáy nên giao tuyến SAvuông góc với đáy + CIvuông góc với mp SAB( )chứa SB.
Hướng dẫn giải:
+ Trong mp SAB( )kẻ IH ⊥SB tại H
+ CI AB ( )
CI SAB CI IH CI SA
⊥
⊥ ⊥
⊥
IH là đoạn vuông góc chung của SB và CI ( , )
d SB CI IH
=
+ 3
4
IH SA a
BHI BAS IH
IB SB
= =
Ví dụ 5. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD .
Hướng dẫn giải:
a
a a
a 3
I S
A
B H C
+ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
+ Vì BCD và ACD là các tam giác đều cạnh bằng a nên 3 2 AN =BN = a
và AN CD
BN CD
⊥
⊥
CD⊥(ABN)CD⊥MN (1)
Mặt khác, vì AN =BN ABN cân tại N MN ⊥ AB (2) Từ (1) và (2) MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
+ Do đó: ( )
2 2
2 2 3 2
, 2 2 2
a a a
d AB CD =MN = AN −AM = − = .
Vậy ( , ) 2
2 d AB CD = a
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của S trên (ABC) trùng với trung điểm của BC. Biết SA hợp với đáy một góc 30°.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC .
a M
N A
D
C B
Phân tích: H là trung điểm của BC . Ta thấyBC⊥(SAH) (, SAH)SA
Hướng dẫn giải:
+ Gọi H là trung điểm của BCSH ⊥(ABC)
SH BC
⊥ (1)
Vì ABC đều
(2) 3 2 AH BC AH a
⊥
=
Từ (1) và (2) BC⊥(SAH).
Trong (SAH), kẻ HK ⊥SA K,( SA) (3)
+ Vì ( )
( )
BC SAH
BC HK HK SAH
⊥ ⊥
(4)
Từ (3) và (4) HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC
( , )
d SA BC HK
= .
+ Vì SH ⊥(ABC) HA là hình chiếu của SA trên (ABC)
( )