Phương trình ban đầu là bậc 3, phương trình 2 là bậc 2 và bậc một, từ đó ta lien tưởng đến hằng đẳng thức a + b3, vậy ta phải cố gắng tìm 1 hệ số nhân vào phương trình 1 hoặc phương trìn
Trang 1Nhất
Duy
11A8
11 HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
1 Giải hệ phương trình:
x3− y3 = 35 2x2+ 3y2 = 4x − 9y
Lời giải Phân tích: Đây có lẽ là bài quen thuộc đối với nhiều bạn, để giải hệ này ta phải quan sát các hạng
tử của 2 phương trình Phương trình ban đầu là bậc 3, phương trình 2 là bậc 2 và bậc một, từ đó
ta lien tưởng đến hằng đẳng thức (a + b)3, vậy ta phải cố gắng tìm 1 hệ số nhân vào phương trình 1 hoặc phương trình 2 để khi cộng hoặc trừ 2 vế ta sẽ ra hằng đẳng thức đó
Giải:
Ta nhân phương trình (2) cho 3 Khi đó ta có hệ mới là:
(
x3− y3 = 35 6x2+ 9y2 = 12x − 27y
Ta lấy phương trình (1) trừ đi phương trình (2), ta được:
x3− y3− 35 − 6x2− 9y2+ 12x − 27y = 0
⇔ (x3− 6x2 + 12x − 8) − (y3+ 9y2+ 27y + 3) = 0
⇔ (x − 2)3 = (y + 3)3 ⇔ x = y + 5 Thay x = y + 5 vào một trong 2 phương trình ban đầu ta sẽ tìm được nghiệm
Đáp số: (x; y) = (3; −2); (2; −3)
Vậy ý tưởng giải quyết bài dạng này là tìm 1 hệ số α nhân vào phương trình chứa bậc 2 và bậc 1 để khi cộng trừ 2 vế phương trình ta sẽ thu được hằng đẳng thức (a + b)3
(1) + (2).α ⇔ (x + a)3 = (y + b)3
Sau đây là một số bài tương tự để các bạn rèn luyện thêm:
1)
(
x3+ y3 = 91
4x2 + 3y2 = 16x + 9y Đáp số: (x; y) = (3; 4); (4; 3) 2)
(
x3 + y3 = 9
x2+ 2y2 = x + 4y Đáp số: (x; y) = (2; 1); (1; 2) 3)
(
x3+ 3xy2 = −49
x2− 8xy + y2 = 8y − 17x Đáp số: (x; y) = (−1; −4); (−1; 4)
2 Giải hệ phương trình:
−x3+ 3x + 4 = y 2y3− 6y − 2 = x Lời giải Phân tích: Thoạt nhìn bài này, có nhiều bạn sẽ cố gắng dùng các phương pháp thế hoặc tìm hệ
số nhân cho 1 phương trình nào đó để biến đổi, nhưng các cách đó sẽ rất phức tạp hoặc khó khăn trong việc xoay sở và tìm kiếm Vì thế ta liên tưởng đến việc dùng phương pháp đánh giá để tìm nghiệm hệ phương trình (nếu bạn nào nhanh mắt có thể đoán nghiệm của phương trình rồi cố gắng tách để so sánh với nghiệm đó để biện luận nghiệm duy nhất)
Giải:
Ta có hệ phương trình đã cho tương đương với:
Trang 2Nhất
Duy
11A8
−(x3− 3x − 2) = y − 2 2(y3− 3y − 2) = x − 2 ⇔
−(x + 1)2(x − 2) = y − 2 (1) 2(y + 1)2(y − 2) = x − 2 (2)
Từ đó, ta xét: Nếu x > 2 thì từ phương trình (1) ta suy ra y < 2, nhưng y < 2 thì sẽ không thỏa phương trình (2) vì thế ta loại Tương tự nếu x < 2 ta cũng loại
Vậy x = 2 ,suy ra y = 2 Thử lại ta thấy đó là nghiệm của hệ
Đáp số: (x; y) = (2; 2)
3 Giải hệ phương trình:
x4+ y2 = 698
81
x2+ y2+ xy − 3x − 4y + 4 = 0
Lời giải Phân tích: Các bạn sẽ rất khó giải nếu cứ chú ý tới phương trình 1, vì nó là một cái bậc 4 và 1 cái bậc 2 không liên quan gì nhau Hãy quan sát phương trình 2 ta thấy đó là phương trình bậc cao nhất là bậc 2 đối với các hạng tử.Vì thế ta sẽ phân tích tích nghiệm của phương trình 2 theo ẩn x
và theo ẩn y Một là nếu ∆ là số chính phương thì ta có thể phân tích thành nhân tử rồi kết hợp với phương trình 1 tìm nghiệm,hai là ta có thể tìm điều kiện của x và y để biện luận phương trình Giải:
Từ phương trình (2) ta có:
x2+ (y − 3)x + (y − 2)2 = 0
Để phương trình có nghiệm thì:
∆ = (y − 3)2− 4(y − 2)2 ≥ 0 ⇔ 1 ≤ y ≤ 7
3 Tương tự ta viết phương trình (2) thành:
y2+ (x − 4)y + x2− 3x + 4 = 0
Để phương trình có nghiệm thì:
∆ = (x − 4)2− 4(x2− 3x + 4) ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 4
3
Từ đó ta suy ra:
x4+ y2 ≤ 256
81 +
49
9 =
687
81 <
698 81 Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
4 Giải hệ phương trình:
4
py2x3− 6x2y2+ 81 + 3 + 2012
s
x2y2− 9y2x +18x
2
y2 = y2
x(x4+ y4) = y6(1 + y4)
Lời giải Xét y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình,
ta chia 2 vế của phương trình (2) cho y5 Từ phương trìnnh thứ 2, ta có:
x5
y5 +x
y = y
5+ y Xét hàm f (t) = t5+ t, f0(t) = 5t4+ 1 > 0∀t ⇔ x = y2
Thay vào phương trình (1) ta được:
4
√
x4− 6x3+ 81 + 2012√
x3− 9x2+ 18x = x − 3 Đặt √4
x4− 6x3+ 81 = a, 2012√
x3− 9x2 + 18x = b (a, b > 0) Ta có:
Trang 3Nhất
Duy
11A8
a + b = x − 3
a4− 6b2012 = (x − 3)4 ⇒ (a + b)4 = a4− 6b2012 ⇒ b = 0
⇒ x = 6 hoặc x = 3 (nghiệm x = 0 loại)
Đáp số: (x; y) = 3; ±√
3 ; 6; ±√6
5 Giải hệ phương trình:
x + 6√
xy − y = 6 (1)
x + 6(x
3+ y3)
x2+ xy + y2 −p2(x2+ y2) = 3 (2)
Lời giải Phân tích: Dùng bất đẳng thức đề đánh giá nghiệm
Giải:
Điều kiện:
(
xy ≥ 0
x2+ xy + y2 6= 0
Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì hệ phương trình vô nghiệm
Nếu x ≤ 0, y ≤ 0(x, y không đồng thời bằng 0) thì VT của (2) âm, PT (2) không thỏa mãn Do đó
x > 0, y > 0 Vì 2√
xy ≤ x + y nên PT (1) suy ra:
6 = x +√
xy − y ≤ x + 3(x + y) − y = 4x + 2y ⇒ 2x + y ≥ 3 (3)
Mặt khác, ta có:
xy ≤ x
2+ y2
2 ⇒ x2+ xy + y2 ≤ 3(x
2+ y2)
2 ⇒ 3(x
3+ y3)
x2+ xy + y2 ≥ 2(x
3+ y3)
x2+ y2 (4)
Ta chứng minh rằng:
2(x3+ y3)
x2+ y2 ≥p2(x2+ y2) (5) Thật vậy BDT (5) tương đương với:
2(x3+ y3)2 ≥ (x2+ y2)3 ⇔ x6+ y6+ 4x3y3 ≥ 3x4y2+ 3x2y4 (6)
Áp dụng BDT Cauchy ta có:
x6+ x3y3+ x3y3 ≥ 3px3 12y6 = 3x4y2
y6+ x3y3+ x3y3 geqpx3 6y12 = 3x2y4
Cộng vế theo vế ta được BDT (6) , suy ra BDT (5) đúng
Từ (4) và (5) suy ra 3(x
3+ y3)
x2+ xy + y2 ≥p2(x2+ y2) Kết hợp với PT (2) và lưu ý rằng:p2(x2+ y2) ≥ x + y , ta được :
3 = x + 6(x
3+ y3)
x2+ xy + y2 −p2(x2+ y2) ≥ x +p2(x2+ y2) ≥ x + (x + y) = 2x + y (7)
Từ (3) và (7) suy ra 2x + y = 3 và x = y Ta được x = y = 1 ( thỏa mản điều kiện)
Đáp số: (x; y) = (1; 1)
6 Giải hệ phương trình:
x + y
1 + xy =
1 − 2y
2 − y
x − y
1 − xy =
1 − 3x
3 − x Lời giải Phân tích: Bài này nhìn vào rất phức tạp, không biết định hướng đi từ đâu, vì thế phãi cố gắng tìm cách đặt ẩn đề đưa về một phương trình đơn giản hơn
Giải:
Trang 4Nhất
Duy
11A8
Đặt: x = u − 1
u + 1, y =
v − 1
v + 1,
u − v
u + v =
2 − u
u + 2(1)
uv − 1
uv + 1 =
3 − v
3 + v (2)
Từ phương trình (1) ta có
u − v
u + v =
2 − u
u + 2 =
2 − v
2 + v + 2u =
2 + v − 2u
2 − v ⇒ (2 − v)2 = (2 + v)2− 4u2 ⇒ u2 = 2v
Từ phương trình (2) ta có :
uv − 1
uv + 1 =
3 − v
3 + v =
3u − uv 3u + uv =
3u − 1 3u + 1 + 2uv =
3u + 1 − 2uv 3u − 1
⇒ (3u − 1)2 = (3u + 1)2− 4u2v2 ⇔ u2v2 = 3u Vậy ta có hệ:
(
u2 = 2v
u2v2 = 3u (3) Xét u = 0 ⇒ v = 0 ⇒ x = y = −1 ⇒ xy = 1 (loại do 1 − xy 6= 0)
Như vậy (3) tương đương:
(
u2 = 2v
uv2 = 3
Từ hệ trên suy ra u > 0 ⇒ u2v4 = 9 ⇒ 2v.v4 = 9 ⇒ v =r 95
2 ⇒ u2 =√5
144 ⇒ u =√5
12 (do u > 0) Đáp số: (x; y) =
5
√
12 − 1
5
√
12 + 1;
5
q
9
2 − 1
5
q
9
2 + 1
7 Giải hệ phương trình:
pxy + (x − y)(√xy − 2) +√
x = y +√
y (x + 1)y +√xy + x(1 − x) = 4
Lời giải Phân tích: Ta thử và dự đoán hệ phương trình sẽ có nghiệm x = y Vì thế ta sẽ tìm cách để phân tích thành phương trình tích xuất hiện (x − y)( ) Từ đó ta quan sát và thấy phương trình (1) là khả thi nhất
Giải:
Điều kiện: x ≥ 0; y ≥ 0 Phương trình (1) tương đương:
⇔pxy + (x − y)(√xy − 2) − y + (√
x −√ y) = 0
⇔ y(x − y) + (x − y)(
√
xy − 2) pxy + (x − y)(√xy − 2) + y +
x − y
√
x +√
y = 0
⇔ (x − y) y +
√
xy − 2 pxy + (x − y)(√xy − 2) + y +
1
√
x +√ y
!
= 0
Từ PT (2) suy ra :
y +√
xy = 4
x + 1 − x(1 − x) = 4
x + 1 + (x + 1) + (x − 1)
2− 2 ≥ 2
r 4
x + 1.(x + 1) + (x − 1)
2− 2 ≥ 2
Từ đó ta suy ra x = y Thay x = y vào phương trình (2) Ta có:
x3− 2x2 − 3x + 4 = 0 ⇔ (x − 1)(x2− x − 1) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x2− x − 1 = 0
Xét x = 1 ⇔ y = 1
Xét x2− x − 1 = 0 x = 1 +
√ 5
2 ⇔ y = 1 +
√ 5
2 , x =
1 −√ 5
2 (loại vì x ≥ 0) Đáp số: (x; y) = (1; 1), 1 +
√ 5
2 ;
1 +√ 5 2
!
Trang 5Nhất
Duy
11A8
8 Giải hệ phương trình:
px2− y2 = xy (x + 3)
x2(1 − 4xy2) = y2(1 + 8x2)
Lời giải Phân tích: Ta chú ý rằng: Phương trình (2) biến đổi một chút ta được :
x2− 4x3y4 = y2+ 8x2y2 ⇐⇒ x2− y2 = 4x3y4+ 8x2y2 Phương trình (1) sau khi điều kiện ta bình phương hai vế cũng thu được :
x2− y2 = x2y2(x + 3)2 Tới đây ta sẽ nghỉ đến phép thế và bắt nhân tử chung ngay nên việc còn lại chỉ là giải các phương trình cơ bản
Giải:
Từ phương trình (1) ta biến đổi :
px2− y2 = xy(x + 3) ⇐⇒
xy(x + 3) ≥ 0
x2− y2 = x2y2(x + 3)2
(3)
Ta lại có phương trình (2) ta biến đổi thành :
x2− 4x3y4 = y2+ 8x2y2 ⇐⇒ x2− y2 = 4x3y4+ 8x2y2 Thế vào (3) ta được hệ phương trình :
xy(x + 3) ≥ 0
4x3y4+ 8x2y2 = x2y2(x + 3)2 ⇐⇒
xy(x + 3) ≥ 0
x2y2(x + 1)2 = 0
⇐⇒
xy(x + 3) ≥ 0
x = 0
y = 0
x = −1
(4)
Với :
?) x = 0 =⇒ y = 0
?) y = 0 =⇒ x = 0
?) x = −1 =⇒ y = ±
√ 5 5 Đáp số: (x; y) = (0; 0), −1; ±
√ 5 5
!
9 Giải hệ phương trình:
x3− 8x = y3+ 2y
x2− 3 = 3(1 + y2) Lời giải Phân tích: Nếu bài này ta làm như bình thường là thế thì sẽ là rất khó khăn trong việc xử lý Nên ta sẽ tìm 1 phương pháp khác, đó là phương pháp thế vào một hệ số nào đó của 1 phương trình bằng 1 phương trình trong hệ để tạo sự đồng bậc giữa 2 phương trình
Giải:
Hệ đã cho tương đương với:
x3− y3 = 2(4x + y)
x2− 3y2 = 6
⇐⇒
3(x3− y3) = 6(4x + y)
x2− 3y2 = 6 Thế x2− 3y2 = 6 vào phương trình (1) khi đã nhân 3, ta được:
3(x3− y3) = (x2− 3y2)(4x + y) ⇐⇒ x3+ x2y − 12xy2 = 0 (∗)
Trang 6Nhất
Duy
11A8
Xét y = 0 không là nghiệm của hệ, ta chia y2 cho 2 vế của phương trình (∗), ta được:
(∗) ⇐⇒ x
3
y3 +x
2
y2 − 12x
y = 0 Đặt t = x
y, suy ra:
(∗) ⇐⇒ t3+ t2− 12t = 0 ⇐⇒ t(t2+ t − 12) = 0 Xétt = 0 ⇐⇒ x = 0 ( không là nghiệm)
Xét t = 3 ⇐⇒ x = 3y
Xét t = −4 ⇐⇒ x = −4y
Thay lần lượt vào 1 trong hai phương trình ban đầu ta giải ra nghiệm
Đáp số: (x; y) = (3; 1), (−3; −1),−4q6
13;
q
6 13
,4
q
6
13, −
q
6 13
Sau đây là một bài tương tự để các bạn rèn luyện thêm:
1) Giải hệ phương trình:
x3+ 4y = y3 + 16x
1 + y2 = 5(1 + x2)
Đáp số: (x; y) = (−1; 3), (1; −3), (0; 2), (0; −2)
10 Giải hệ phương trình:
(x − 3y) (6x + 18y + 5) = 4x (x2+ 2xy + 4y2) (8x − 16y − 9) + 9x2+ 4x = 78y − 18xy + 26
Lời giải Phân tích: Do 2 phương trình của hệ đều có phương trình tích nên ta sẽ phân phối và rút gọn cho bớt cồng kềnh Sau đó sẽ dùng các biện pháp để giải
Giải:
Ta có:
(x − 3y)(6x + 18y + 5) = 4x ⇐⇒ 6x2+ x = 54y2+ 15y (x2+ 2xy + 4y2)(8x − 16y − 9) + 9x2+ 4x = 78y − 18xy + 26 ⇐⇒ 8x3+ 4x = 64y3+ 36y2+ 78y + 26 Như vậy ta viết hệ thành:
6x2+ x = 54y2+ 15y 8y3+ 4x = 64y3+ 36y2+ 78y + 26
Ta nhân phương trình thứ nhất với 2 rồi cộng với phương trình thứ hai thì thu được:
(2x + 1)3 = (4y + 3)3
Từ đây ta có: x = 2y + 1 Tới đây các bạn thế vào (1) hoặc (2) giải sẽ ra nghiệm
Đáp số: (x; y) = 12
5 ;
7 10
, 1
3; −
1 3
11 Giải hệ phương trình:
(x +√
x2+ 1)(y +py2+ 1) = 1
y +√ 1 5x2− 1 +
−3
2 = 0 Lời giải Phân tích: Ta biến đổi bằng cách dùng biểu thức liên hợp từ phương trình đầu
Giải:
Từ phương trình đầu ta có :
(x +√
x2+ 1)(x −√
x2+ 1)(y +py2+ 1) = x −√
x2+ 1 ⇐⇒ y +py2+ 1 =√
x2+ 1 − x Tương tự ta cũng có:
x +√
x2+ 1 =py2+ 1 − y
Trang 7Nhất
Duy
11A8
Cộng vế theo vế ta được x + y = 0 Thay vào phương trình 2 ta được :
y + 1 p5y2− 1−
3
2 = 0
Ta chuyển vế sau đó bình phương , ta được:
(y − 1)(2y + 1)(10y2− 25y + 13) = 0
Ta chỉ nhận các nghiệm : y = 1, y = −1
2, y =
5 −q21
5
4 , Từ đó ta suy ra nghiệm của hệ.
Đáp số: (x; y) = (−1; 1), 1
2; −
1 2
,
−5 +q21
5
4 ;
5 −
q
21 5
4