11 HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

Phương trình ban đầu là bậc 3, phương trình 2 là bậc 2 và bậc một, từ đó ta lien tưởng đến hằng đẳng thức a + b3, vậy ta phải cố gắng tìm 1 hệ số nhân vào phương trình 1 hoặc phương trìn

Nhất

Duy

11A8

11 HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

1 Giải hệ phương trình:







x3− y3 = 35 2x2+ 3y2 = 4x − 9y

Lời giải Phân tích: Đây có lẽ là bài quen thuộc đối với nhiều bạn, để giải hệ này ta phải quan sát các hạng

tử của 2 phương trình Phương trình ban đầu là bậc 3, phương trình 2 là bậc 2 và bậc một, từ đó

ta lien tưởng đến hằng đẳng thức (a + b)3, vậy ta phải cố gắng tìm 1 hệ số nhân vào phương trình 1 hoặc phương trình 2 để khi cộng hoặc trừ 2 vế ta sẽ ra hằng đẳng thức đó

Giải:

Ta nhân phương trình (2) cho 3 Khi đó ta có hệ mới là:

(

x3− y3 = 35 6x2+ 9y2 = 12x − 27y

Ta lấy phương trình (1) trừ đi phương trình (2), ta được:

x3− y3− 35 − 6x2− 9y2+ 12x − 27y = 0

⇔ (x3− 6x2 + 12x − 8) − (y3+ 9y2+ 27y + 3) = 0

⇔ (x − 2)3 = (y + 3)3 ⇔ x = y + 5 Thay x = y + 5 vào một trong 2 phương trình ban đầu ta sẽ tìm được nghiệm

Đáp số: (x; y) = (3; −2); (2; −3)

Vậy ý tưởng giải quyết bài dạng này là tìm 1 hệ số α nhân vào phương trình chứa bậc 2 và bậc 1 để khi cộng trừ 2 vế phương trình ta sẽ thu được hằng đẳng thức (a + b)3

(1) + (2).α ⇔ (x + a)3 = (y + b)3

Sau đây là một số bài tương tự để các bạn rèn luyện thêm:

1)

(

x3+ y3 = 91

4x2 + 3y2 = 16x + 9y Đáp số: (x; y) = (3; 4); (4; 3)

2)

(

x3 + y3 = 9

x2+ 2y2 = x + 4y Đáp số: (x; y) = (2; 1); (1; 2)

3)

(

x3+ 3xy2 = −49

x2− 8xy + y2 = 8y − 17x Đáp số: (x; y) = (−1; −4); (−1; 4)

2 Giải hệ phương trình:







−x3+ 3x + 4 = y 2y3− 6y − 2 = x Lời giải Phân tích: Thoạt nhìn bài này, có nhiều bạn sẽ cố gắng dùng các phương pháp thế hoặc tìm hệ

số nhân cho 1 phương trình nào đó để biến đổi, nhưng các cách đó sẽ rất phức tạp hoặc khó khăn trong việc xoay sở và tìm kiếm Vì thế ta liên tưởng đến việc dùng phương pháp đánh giá để tìm nghiệm hệ phương trình (nếu bạn nào nhanh mắt có thể đoán nghiệm của phương trình rồi cố gắng tách để so sánh với nghiệm đó để biện luận nghiệm duy nhất)

Giải:

Ta có hệ phương trình đã cho tương đương với:

Nhất

Duy

11A8

−(x3− 3x − 2) = y − 2 2(y3− 3y − 2) = x − 2 ⇔

−(x + 1)2(x − 2) = y − 2 (1) 2(y + 1)2(y − 2) = x − 2 (2)

Từ đó, ta xét: Nếu x > 2 thì từ phương trình (1) ta suy ra y < 2, nhưng y < 2 thì sẽ không thỏa phương trình (2) vì thế ta loại Tương tự nếu x < 2 ta cũng loại

Vậy x = 2 ,suy ra y = 2 Thử lại ta thấy đó là nghiệm của hệ

Đáp số: (x; y) = (2; 2)

3 Giải hệ phương trình:







x4+ y2 = 698

81

x2+ y2+ xy − 3x − 4y + 4 = 0

Lời giải Phân tích: Các bạn sẽ rất khó giải nếu cứ chú ý tới phương trình 1, vì nó là một cái bậc 4 và 1 cái bậc 2 không liên quan gì nhau Hãy quan sát phương trình 2 ta thấy đó là phương trình bậc cao nhất là bậc 2 đối với các hạng tử.Vì thế ta sẽ phân tích tích nghiệm của phương trình 2 theo ẩn x

và theo ẩn y Một là nếu ∆ là số chính phương thì ta có thể phân tích thành nhân tử rồi kết hợp với phương trình 1 tìm nghiệm,hai là ta có thể tìm điều kiện của x và y để biện luận phương trình Giải:

Từ phương trình (2) ta có:

x2+ (y − 3)x + (y − 2)2 = 0

Để phương trình có nghiệm thì:

∆ = (y − 3)2− 4(y − 2)2 ≥ 0 ⇔ 1 ≤ y ≤ 7

3 Tương tự ta viết phương trình (2) thành:

y2+ (x − 4)y + x2− 3x + 4 = 0

Để phương trình có nghiệm thì:

∆ = (x − 4)2− 4(x2− 3x + 4) ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 4

3

Từ đó ta suy ra:

x4+ y2 ≤ 256

81 +

49

9 =

687

81 <

698 81 Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm

4 Giải hệ phương trình:











4

py2x3− 6x2y2+ 81 + 3 + 2012

s

x2y2− 9y2x +18x

2

y2 = y2

x(x4+ y4) = y6(1 + y4)

Lời giải Xét y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình,

ta chia 2 vế của phương trình (2) cho y5 Từ phương trìnnh thứ 2, ta có:

x5

y5 +x

y = y

5+ y Xét hàm f (t) = t5+ t, f0(t) = 5t4+ 1 > 0∀t ⇔ x = y2

Thay vào phương trình (1) ta được:

4

√

x4− 6x3+ 81 + 2012√

x3− 9x2+ 18x = x − 3 Đặt √4

x4− 6x3+ 81 = a, 2012√

x3− 9x2 + 18x = b (a, b > 0) Ta có:

2 Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh - tỉnh Đồng Tháp

Nhất

Duy

11A8

a + b = x − 3

a4− 6b2012 = (x − 3)4 ⇒ (a + b)4 = a4− 6b2012 ⇒ b = 0

⇒ x = 6 hoặc x = 3 (nghiệm x = 0 loại)

Đáp số: (x; y) = 3; ±√

3
; 6; ±√6

5 Giải hệ phương trình:







x + 6√

xy − y = 6 (1)

x + 6(x

3+ y3)

x2+ xy + y2 −p2(x2+ y2) = 3 (2)

Lời giải Phân tích: Dùng bất đẳng thức đề đánh giá nghiệm

Giải:

Điều kiện:

(

xy ≥ 0

x2+ xy + y2 6= 0

Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì hệ phương trình vô nghiệm

Nếu x ≤ 0, y ≤ 0(x, y không đồng thời bằng 0) thì VT của (2) âm, PT (2) không thỏa mãn Do đó

x > 0, y > 0 Vì 2√

xy ≤ x + y nên PT (1) suy ra:

6 = x +√

xy − y ≤ x + 3(x + y) − y = 4x + 2y ⇒ 2x + y ≥ 3 (3)

Mặt khác, ta có:

xy ≤ x

2+ y2

2 ⇒ x2+ xy + y2 ≤ 3(x

2+ y2)

2 ⇒ 3(x

3+ y3)

x2+ xy + y2 ≥ 2(x

3+ y3)

x2+ y2 (4)

Ta chứng minh rằng:

2(x3+ y3)

x2+ y2 ≥p2(x2+ y2) (5) Thật vậy BDT (5) tương đương với:

2(x3+ y3)2 ≥ (x2+ y2)3 ⇔ x6+ y6+ 4x3y3 ≥ 3x4y2+ 3x2y4 (6)

Áp dụng BDT Cauchy ta có:

x6+ x3y3+ x3y3 ≥ 3px3 12y6 = 3x4y2

y6+ x3y3+ x3y3 geqpx3 6y12 = 3x2y4

Cộng vế theo vế ta được BDT (6) , suy ra BDT (5) đúng

Từ (4) và (5) suy ra 3(x

3+ y3)

x2+ xy + y2 ≥p2(x2+ y2) Kết hợp với PT (2) và lưu ý rằng:p2(x2+ y2) ≥ x + y , ta được :

3 = x + 6(x

3+ y3)

x2+ xy + y2 −p2(x2+ y2) ≥ x +p2(x2+ y2) ≥ x + (x + y) = 2x + y (7)

Từ (3) và (7) suy ra 2x + y = 3 và x = y Ta được x = y = 1 ( thỏa mản điều kiện)

Đáp số: (x; y) = (1; 1)

6 Giải hệ phương trình:







x + y

1 + xy =

1 − 2y

2 − y

x − y

1 − xy =

1 − 3x

3 − x Lời giải Phân tích: Bài này nhìn vào rất phức tạp, không biết định hướng đi từ đâu, vì thế phãi cố gắng tìm cách đặt ẩn đề đưa về một phương trình đơn giản hơn

Giải: