KIEN THUC CAN NHO... Và nếu x, y là nghiệm của hệ thì y, x cũng là nghiệm của hệ.
Trang 1Bai 3:
HE PHUONG TRINH DOI XUNG LOẠI 2
I KIEN THUC CAN NHO
1 Dang: Ty) =0
— lfy,x)=0
2 Cách giải: Ta thường biến đổi về hệ tương đương:
f(x, y) ~ f(y,x) =0 V f(x, y) ~ f(y, x) =0
II CAC VI DU
Vi du 1:
Hãy xác định a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất:
yŸ =xÌ—4x” +ax (1)
b =y -4y°+ay (2)
(ĐH Quốc Gia TPHCM Khối A năm 1996) (1) - (2): (x-y)] x? +y? +Xy~4(X+y)+a+y+x |=0
©y=xvx7 ty? +xy—3(x+y)+a=0
& x =0v f(x) =x? -5x+a=0 (1)
Để chỉ có một nghiệm duy nhất, (1) phải có: | vA<0
f(0)=0 A=0
f(0)=0VN
A<0©25~4a<0©a»^
* x?+y“ +xy—3(x+y)+a=0 © yˆ +(x—3)y+(x” -3x+a) =0
A=(x~3)” -4(x7 -3x+a)=—3x” +6x+9—4a
= -3(x -1)? +(12-4a) <0
Khi = Vậy khi a> “hệ có 1 nghiệm duy nhất: x = y =0
Chứng minh rằng hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
2
2x* = yt a
) *, (a#0)
2y* =x¢
X Giải
Điều kiện x >0, y>0
2x y=y?+aˆ y=y NHÀ #v=v2+aˆ y +a
Hé no
(x-y)Qxy+x+y)=0
2y*x =x" +a?
2x”—x?=a Đặt f(x) =2x3 —x* > f(x) =6x” -2x ; I(x) =O x=0Vx=—
Bang bién thién:
x —o 0 ~ +00
Do (*) có nghiệm duy nhất, Bảng biến thiên => (I) có nghiệm duy
nhất
Trang 2Vi du 3:
Định m để hệ phương trình:
b =x? + Ty? —my
Có nghiệm duy nhất:
Giải
Ta nhận thấy x =0, y = 0 là nghiệm của hệ
Và nếu (x, y) là nghiệm của hệ thì (y, x) cũng là nghiệm của hệ Vậy
để hệ có nghiệm duy nhất là x = y
=> phương trình : x? —x* —7x? + mx =0 x? —8x? + mx =0 có
nghiệm duy nhất
x? —8x? +mx =0 x(x? —8x+m)=0 (*)
x =0
=| x“-8x+m=0 (**) 9
Để (*) có nghiệm duy nhất © (*) có nghiệm x = 0 và (**) VN
©A'=l6-m<0<m>]6
II BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
x? =2x+y
3.1 Giải hệ phương trình:
yì =2y+x 3.2 Định m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :
Vx? +2 +|y|=m
Vy +2 +|x|=m
3.3 Giải và biện luận hệ : x(3— 4y”) =m(3—4m”)
y(3— 4x7) =m(3—4m”)
Hướng dẫn và giải tóm tắt
yÌ=2y+x (2)
(1)—-(2): xÌ=y°=x—y©(x—y)Œ +yˆ®+xy—l)=0
x=y
x? +y? +xy-1=0
Hệ đã cho tương đương với:
2,2
x +y =3(x+y)
X =2x+y
Giải Đi V x=v3 V x=-v3
y=0 |y=v3 ly=-v3
(x+y) —xy-1=0
(x+y)[ (x+y) - 3xy | =3(x+y)
s(s” —3p) =3s s“=l=p sĩ =3p+3 p=xXy s=0 x=l x=-l
Dap Sé: (0,0), (V3,V3), (4-),(-1,)),(-V3,-v3) Giải (I):(ID©
Vx? +24 ly| =m Nếu hệ có nghiệm (xạ,yạ)thì cũng có
Vy? +2 +|x|=m nghiệm(—xg,—y).(ÿo.Xạ)»(—Yo›—Xo)
Vậy điêu kiện để hệ có nghiệm duy nhất là Xo =yo =0 thế vào hệ ta
được m=^/2 Thử lại m=^/2
Vx? +2 +|y|=v2 Vx? +2 +|x|=x2
Trang 3[2
x +2>V2 Iv|>0
[2
|x|>0
.Nếu với
Vậy x = y =0 là nghiệm khi m=42
33 bộ ~4y?)=m(3~4m2) (1)
y(3— 4x7) =m(3—4mˆ”) (2)
()— @): &- y) (3 +4xy) =0
THI:x=y: (4x7 -3x+3m—4m” =0
©>(x- m)(4x” +4mx— 3+ 4m) = 0
xXx=m
= 4x°+4m°-3+4m=0 2 2 (3)
A'=4(m” - 4m +3)
.m<lvm>3: phương trình (3) có 2 nghiệm x,,x, => hệ có 3 nghiệm m=lvm =3:Phương trình (3) có nghiệm kép: xị = x¿ = > => hé
cố 2 nghiệm
TH 2: 34 dyx =O xy ==
Mặt khác (1) + (2): 3(x + y)—4xy? —4x’y =2m(3 -4m”)
& (x+y)3—4xy) =2m(3— 4m?)
m(3—4m”)
>xt+y= ————
2
sa m@-4m), 3o
3 4
=> x,y là nghiệm phương trình: t
giải tương tự như trên