Tài liệu Chuyên Đề Phương Trình & Hệ Phương Trình ppt

Phương trình bậc ba 3.1 Dạng 3 2 ax +bx +cx+ =d 0 3.2 Cách giải phương trình bậc ba tổng quát của Cardano Cái này đối với học sinh THCS không quan trọng lắm nên tác giả chỉ xin đưa link

Chuyên Đề Phương Trình & Hệ Phương Trình

A Các loại phương trình và hệ phương trình cơ bản

I.Phương trình bậc nhất

1.1 Dạng : ax+b=0

1.2 Cách giải:

a≠ : phương trình có một nghiệm 0 x b

a

= − a=0 :

+b≠0 : phương trình vô nghiệm

+b=0 : phương trình có nghiệm x tùy ý

1.3 Bài tập

Bài 1:

Giải phương trình

Lấy VT-VP (*) được phân tích thành

bc ac ab

bc+ac +ab ≠ thì phương trình có nghiệm là : x= + + a b c

bc+ac +ab = thì phương trình trên đúng với mọi x

Bài 2:

Giải phương trình

1

+ + = Cộng 3 vào 2 vế của phương trình ta được :

+ + −

+ +

+ + Vậy x= + +a b c

II Phương trình bậc hai

2.1 Dạng : ax2+bx+ =c 0(a≠0)

2.2 Cách giải:

a=0 : phương trình suy biến thành bậc 1

a≠ : lập 0 2

b 4ac

Δ = −

0

Δ < : phương trình vô nghiệm

0

Δ = : phương trình có nghiệm kép x1 x2 b

2a

= = − 0

Δ > : phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1,2 b

2a

− ± Δ

= Chú ý :

Nếu x1 b

2a

− − Δ

x

2a

− + Δ

khi

1

x <x2

2

a>0 khi

1

x >x a<0

Nếu và c trái dấu thì a ac <0 nên −4ac< do đó 0 Δ > phương trình bậc hai có 2 0 nghiệm phân biệt

2.3 Hệ thức Vi-et

i) Nếu phương trình ax2 +bx+ =c 0 có 2 nghiệm x & x1 2 thì x1 x2 b& x x1 2 c

ii) Đảo lại cho 2 số bất kỳ α β ,khi đó chúng là nghiệm của phương trình ,

2

x −Sx+ =P 0 với S=α β+ và P=αβ

Định lý 1 : Cho tam thức bậc 2 2

f(x)=ax +bx+ c i) Nếu tìm được số α để af( )α ≤0 thì tam thức có nghiệm ,còn nếu af( )α <0

thì tam thức có 2 nghiệm phân biệt

ii) Nếu tìm được số α β sao cho , f( )f( )α β ≤0 thì tam thức có nghiệm ,nếu

f( )f( )α β <0 thì tam thức có 2 nghiệm phân biệt

Định lý 2 : Để phương trình 2

ax +bx+ =c 0 có nghiệm hữu tỷ điều kiện cần và đủ là biệt số là 1 số chính phương Δ

Định lý 3 : Nếu x0 p

q

= là nghiệm hữu tỷ của phương trình 2

ax +bx+ =c 0 trong đó thì q là ước của a và p là ước của

2.3 Bài tập

Bài 1:

Giải phương trình

3x x 1+3x 4x 1= 2

Tập xác định R \ 1,1

3

⎧ ⎫

⎨ ⎬

⎩ ⎭

x= : không là nghiệm 0

3

=

Đặt y 3x 1

x

= + ta quy về phương trình bậc hai 3y2−21y+30= giải ra ta được 0

nghiệm y=2 và y =5 từ đó tìm được nghiệm x 5 13

6

±

=

Bài 2:

Giải phương trình

x 9x 40+ x 11x 30+ x 13x 42 18

1

=

1

3

2

x 11x 26 0

Giải ra ta được nghiệm x= −1 và x=2

Bài 3:

Giải phương trình

(x a)(x b) (x b)(x c) (x a)(x c) 1 c(c a)(c b) a(a b)(a c) b(b a)(b c) x

Trong đó a,b,clà 3 số khác nhau và khác 0

⇔ (x a)(x b) (x b)(x c) (x a)(x c) 1 0

c(c a)(c b) a(a b)(a c) b(b a)(b c) x

Rõ ràng ta thấy là 3 nghiệm phân biệt của phương trình trên Khi quy đồng mẫu số (đk ) ,vế trái phương trình sẽ là một đa thức khác 0 do đó phương trình có không quá 3 nghiệm Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm

a,b,c

x≠0

x =a, x =b, x = c

Bài 4:

a Giả sử là hai nghiệm của phương trình Hãy tính

theo a

1 2

x −ax+1=0

7

S =x +x 7

b Tìm đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận số 7 3 7

α = + 5

2 2

a

là nghiệm

S =x +x =(x +x ) −2x x =a −

S =(x +x ) −2x x =(a −2) −

S =(x +x )(x −x x +x )=a(S − =1) a −3

S =(x +x )(x +x )−x x (x +x )=S S −S =a −7a +14a −7a

Theo Vi-et x , x1 2 là nghiệm của phương trình 2

x −αx 1+ =0 mà ta có

7 7

5+3

7 5 3

15α 105α 210α 105α 34 0

Vậy đa thức cần tìm là 7 5 3

15x −105x +210x −105x−34=0

III Phương trình bậc ba

3.1 Dạng 3 2

ax +bx +cx+ =d 0

3.2 Cách giải phương trình bậc ba tổng quát của Cardano

Cái này đối với học sinh THCS không quan trọng lắm nên tác giả chỉ xin đưa link để bạn nào muốn tìm hiểu thì tham khảo http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/cubic.pdf hoặc http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation

3.3 Hệ thức Vi-et

i) Nếu phương trình bậc ba 3 2

ax +bx +cx+ = (a 0)d 0 ≠ có ba nghiệm x , x , x1 2 3 thì :

1 2 3

1 2 2 3 3 1

1 2 3

b

a c

x x x x x x

a d

x x x

a

⎧ + + = −

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪⎩

ii) Đảo lại nếu 3 số u,v, w thỏa mãn u+ +v w=m,uv+vw+wu=n,uvw=pthì là nghiệm của phương trình

u,v, w

t −mt +nt− =p 0

Định lý Bezout :

Cho 1 đa thức P(x) ,nếu P(x)có một nghiệm là α thì P(x)chia hết cho (x−α) có nghĩa là P(x)=(x−α).Q(x) (bậc Q(x)<P(x) là 1 )

3.4 Các phương pháp chung giải phương trình bậc ba

3.4.1 Nếu biết trước một nghiệm x=x0thì phân tích phương trình

2

0

(x−x )(ax +bx+c)=0

1 1

Đặc biệt nếu :

a b c+ + + = thì d 0 x0 = (*)

a b c− + − = thì d 0 x0 = − (**)

3

( )

a = b thì x0 c

b

= − (***) Sau đó để tìm a, ta có thể sử dụng phép chia đa thức hoặc sử dụng sơ đồ Horner hay đồng nhất hóa hai vế để tìm

b,c

3.4.1 Biết một hệ thức giữa các nghiệm thì ta dùng Vi-et

3.4.2 Dùng hằng đẳng thức để biến đổi về phương trình tích

3.5 Bài tập

Bài 1:

Giải phương trình

x +2x −4x+ =8 0(1) Gợi ý sử dụng (***) giải ra ta được x= −2

Bài 2:

Giải phương trình

3 2

x −3x + + =x 1 0(2) Gợi ý sử dụng (*) ta thấy là nghiệm đa thức vế trái suy ra (2)

Đồng nhất hóa 2 vế ta được

x=1

2

(x 1)(ax bx c) 0

2

(x 1)(x 2x 1) 0

Sau đó giải ra nghiệm

Bài 3:

Giải phương trình

12x +14x −17x+ =6 0 Biết phương trình có 2 nghiệm mà tích bằng−1

Gợi ý sử dụng hệ thức Vi-et để tìm được một nghiệm sau đó làm tương tự bài trên

IV Phương trình bậc bốn

4.1 Dạng : 4 3 2

ax +bx +cx +dx+ =e 0(a≠0)

4.2 Cách giải phương trình bậc bốn tổng quát của Ferrari

Cái này đối với học sinh THCS không quan trọng lắm nên tác giả chỉ xin đưa link để bạn nào muốn tìm hiểu thì tham khảo http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/cubic.pdf hoặc http://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_equation

4.3 Các phương pháp chung giải phương trình bậc bốn

4.3.1 Dạng ax4 +bx2 + =c 0(a≠0)

Cách giải: Đặt 2 ,ta được

at +bt+ =c 0 +Giải để tìm t≥0

+Với mỗi nghiệm t0 > 0,phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1= − t , x0 2 = t0 4.3.2 Dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=k với a b+ = + c d

Cách giải : Đặt ta được phương trình bậc 2 theo Giải ra tìm ,sau đó tiếp tục giải để tìm

x 4.3.3 Dạng (x+a)4 +(x+b)4 =k

Cách giải : Đặt t x a b

2

+

= + ta được phương trình trùng phương theo t 4.3.4 Dạng 4 3 2

ax +bx +cx ±bx+ =a 0

Cách giải :

+Xét x=0 có là nghiệm của phương trình hay không

+Xét x≠0 chia 2 vế cho 2phương trình trở thành

x

2 2

Đặt t x 1

x

= ± ta được phương trình bậc 2 theo t

4.4 Bài tập

Bài 1:

Giải phương trình

(x 1)(x+ +6)(x+5)(x+2)=252

Bài 2:

Giải phương trình

4 3 2

9x −9x −52x −9x+ =9 0

Bài 3:

Giải phương trình

1

x −(x 5) =

+ Điều kiện x -≠ 5&x≠0

Đặt x+ = ≠5 y 0.Ta có 2 2

x =y −10y+ 52 Thay vào phương trình ta được

y −10y +39y −250y+625= Do 0 y ≠0nên ta có

2

2

Đặt z y 25

y

= + phương trình trở thành 2

z −10z 11− =0 z 11

=

⎡

→ ⎢ = −

⎣ Nghiệm z= −1 loại vì dễ thấy | Z| 10≥

Từ đó tính được y và x

Bài 4:

Giải phương trình

2 2

2

4x

(x 2)

− Điều kiện x≠2

Ta đặt

2

x

y

x 2

=

−

1 2

2

= −

⎡

⎣

Từ đó ta tìm được nghiệm x=1 và x = −2

V Hệ đối xứng

5.1.1 Hệ đối xứng loại 1:

Là loại hệ phương trình chứa ẩn x,y mà khi ta hoán vị x và y thì mỗi phương trình của hệ không thay đổi

5.1.2 Cách giải :

Đặt S x y,biến đổi hệ đã cho về hệ với hai ẩn S,

P xy

= +

⎧

⎨ =

Giải hệ tìm S,P

Với mỗi cặp (S,P)thì x và y là hai nghiệm của phương trình:

x −Sx P+ = Δ =0( S −4P)

5.2.1 Hệ đối xứng loại 2:

Là loại hệ phương trình chứa ẩn x,y mà khi ta hoán vị x và y thì phương trình này biến thành phương kia của hệ

5.2.2 Cách giải:

Trừ vế với vế của 2 phương trình của hệ ta được phương trình có dạng

(x−y)g(x, y)=0

Từ đó ta được hai hệ Giải hệ này ,trong đó có một hệ đối xứng loại 1

5.3 Bài tập

Bài 1:

Giải hệ phương trình

2 2

2 2

⎧ + + + =

⎪⎪

⎨

⎪⎩

Bài 2:

Giải hệ phương trình

3 3

4 4

x y 1(1)

⎪

⎨

4

Từ (2) ta có | x| 1≤ và | y| 1≤

Nếu | x| 1≤ thì từ (1) suy ra y≥0,tương tự ta có x≥0

Nếu 0< <x 1 thì 3 4 3 Vô lý!

x >x , y >y Vậy chỉ có thể x=0, y=1 hoặc x=1, y =0

Bài 3:

Giải hệ phương trình

y x

x y

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎩

VI Hệ đẳng cấp bậc hai

6.1 Dạng :

ax bxy cy d a'x b ' xy c ' y d'

⎪

⎨

⎪⎩

6.2 Cách giải :

Xét x =0, y=0có là nghiệm của hệ không

Với x=0, y=0không là nghiệm của hệ ta đặt x=tytừ đó ta được một phương trình bậc hai theo t Giải tìm t sau đó ta suy ra x,y

6.3 Bài tập

Bài 1:

Giải hệ phương trình

3x xy 3y 13

⎪

⎨

⎪⎩

Bài 2:

Giải hệ phương trình

2

3x 2xy 160

x 3xy 2y 8

⎪

⎨

⎪⎩

Bài 3:

Giải hệ phương trình

x | x | y | y | 2

⎨

⎩

B Một số phương trình và hệ phương trình không mẫu mực

Bài 1:

1

x 1

y 1

z

⎧

− =

⎪

⎪

⎪ − =

⎨

⎪

⎪

− =

⎪

⎩

y z x

Hệ này thoạt nhìn ta đã thấy đây là hệ hoán vị vòng quay nhưng với những cách đánh giá thông thường thì ta không thể tìm nghiệm bài toán này được Bài này được giải như sau :

Đặt x cot g , (0, ),

2

π

Ta thu được 2y =cot gα −tgα =2 cot g2α

Suy ra z=cot g4α ⇔ =x cot g8α

Ta nhận được cot g cot g8 k

7

π

Kết hợp với điều kiện αta có các nghiệm sau

x cot g , y cot g ,z cot g

x cot g , y cot g ,z cot g

8 7

x cot g , y cot g ,z cot g

12 7

x cot g , y cot g ,z cot g

16 7

5 5 10 20

x cot g , y cot g ,z cot g

x cot g , y cot g ,z cot g

Bài 2:

Giải phương trình

Điều kiện 0 x≤ ≤2

Phương trình viết lại

Sử dụng BĐT

4 4 4 4 a 2b 4b 2c 4c 2a

Ta suy ra

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 2 x= − ⇔ = x 1

Bài 3:

Giải phương trình

3

4x +3x=2

f(x)=4x +3x−2

suy ra đồng biến ,suy ra phương trình có duy nhất một nghiệm

2

f '(x)=12x + >3 0 f(x)

Đặt x 1(t 1)

= − , t>0

Thay vào phương trình ta nhận được

3 3

1

t

Đặt X=t3 >0 ta được

⎡ = +

= −

⎢⎣

Từ đó ta tính được sau đó tính được t

3

3

Bài 4:

Giải phương trình

3 2

4

1 x

−

Đặt x =cos ,α α∈[0, ],π ta được sin5α=cos3α

C Kỹ thuật đặt ẩn phụ để quy về hệ đối xứng loại hai trong bài toán có chứa

căn

Bài 1:

Giải phương trình

2 2

x+3(2 3x )− = 2 Đặt 2ta thu được hệ đối xứng loại 2

y = −2 3x

2 2

y 2 3x

x 2 3y

⎧ = −

⎪

⎨

= −

⎪⎩

Đến đây thì công việc hoàn toàn đơn giản

Bài 2:

Giải phương trình

x + =1 2 2x 1− Đặt y =32x−1

1 1

ta thu được hệ đối xứng loại 2

3 3

y 2x

x 2y

⎪

⎨

⎪⎩

Nhận xét: trong những bài toán trên việc đặt ẩn phụ hoàn toàn dễ dàng để có thể quy về

hệ đối xứng loại hai ,nhưng trong những bài toán khó hơn việc đặt ẩn phụ do “phản xạ” hoàn toàn không áp dụng được.Vậy chúng ta phải làm thế nào? Chúng ta có thể hiểu rõ

về “kỹ thuật đặt ẩn phụ về hệ đối xứng” trong ví dụ sau đây

Bài 3:

Giải phương trình

2

4x + 2x 1 6+ + =12x Đặt 2x 1+ =ay+b với a, là hằng số Ta được : b

2

4x 12x ay b 5 0

a y 2aby 2x b 1 0

⎪

⎨

⎪⎩

Xác định a,b sao cho hệ trên là hệ đối xứng loại 2 tức là :

5

= −

⎧

⇔ ⎨ =

⎩

Vậy ta đặt 2x 1+ = −2y+ ≥3 0 ta thu được hệ đối xứng

2

2

(x y)(2x 2y 5) 0

⎪

⎨

⎪⎩

⎧

⇔ ⎨

⎩

Đến đây thì việc giải phương trình hoàn toàn mang tính thủ tục

Bài 4:

Giải phương trình

28

+

Bài 5:

Giải phương trình

2

5− x 1+ + 2x + + = x 3 1

Bài 6:

Giải phương trình

325+ x2+ = 3 3

Bài 7:

Giải phương trình

2

(x+2) x − −x 20 =6x+20