082 đề hsg toán 8 lai châu 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LAI CHÂU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn P b) Với x > 0 thì giá trị của biểu thức P không nhận những giá trị n[.]

111Equation Chapter 1 Section 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LAI CHÂU

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022-2023 Bài 1 (4,0 điểm)

Cho biểu thức

2

:

P

a) Rút gọn P

b) Với x > 0 thì giá trị của biểu thức P không nhận những giá trị nào

Bài 2 (4,0 điểm)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử : x319x 30

b) Tìm các số nguyên n để B n 2 n13là số chính phương

Bài 3 (4,0 điểm)

a) Giả sử đa thức f x chia cho x-2 dư 11, chia cho x2 x1dư 3x+2 Tìm phần dư khi chia f x cho g x x3 3x23x 2

b) Cho

1 1 1

0

x yz  Tính giá trị của biểu thức sau : 2 2 2

yz zx xy B

x y z

Bài 4 (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB, trên đoạn thẳng ABlấy điểm C sao cho AC CB , trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB dựng các hình vuông ACNM BCEF, .Gọi H là giao điểm của AE và BN, D là giao điểm của BE và AN Chứng minh rằng :

a) AEBN

b) M D H F, , , thẳng hàng

c) Đường thẳng MF luôn đi qua một điểm cố định khi C di chuyển trên AB

Bài 5 (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức

2 2

2 3 2

x x A

x

 





ĐÁP ÁN Bài 1 (4,0 điểm)

Cho biểu thức

2

:

P

c) Rút gọn P

2

2

3

:

0

3

3

x

P

x

x

x





d) Với x > 0 thì giá trị của biểu thức P không nhận những giá trị nào

3

3

1: 1 0 6( )

3 3

2 : 1

1

3 3 0

3 3

1

1 0

3 3

1

3 3

1

x

x

Th P x ktm

P

th P x

P

P

P x

P

P P

P

P

P







  



  





 

 

 

 









 Vậy với x 0thì P không nhận các giá trị thỏa mãn    1 P 1

Bài 2 (4,0 điểm)

c) Phân tích đa thức thành nhân tử : x319x 30

2 2

19 30 9 10 30

3 ( 3) 10( 3) ( 3) 3 10

           

d) Tìm các số nguyên n để B n 2 n 13là số chính phương

Do n2 n13là số chính phương

Đặt n2  n13a a Z2  , n Z

4 4 52 4 4 2.2 1 1 51 4

2 2 1 2 2 1 1.51 1 51 51 1 51.1 3.17 3 17 17 3 17.3

a n

a n

n

a

Vậy n2 n13là số chính phương khi n      3; 4; 13; 17

Bài 3 (4,0 điểm)

c) Giả sử đa thức f x chia cho x-2 dư 11, chia cho x2 x1dư 3x+2 Tìm phần

dư khi chia f x cho g x x3 3x23x 2

Có g x  x3 3x23x 2x 2 x2 x1

Đặt đa thức khi chia f(x) cho g(x) là ax2bx c Ta có :

  : 2

f x x  dư 11 nên f  2 11

Vì f x g x Q x  ( )ax2bx c

         hay 4a2b c 11

Vì f x g x Q x( ) ( ) ax2bx c  f x x2 x 1 g x Q x x  ( )  2 x 1

Nên f x x2  x1

dư 3x 2 ax2bx c x  2 x1

dư 3x+2

3

1 1 2

b a

b c

c a

 



 

 , có 4a2b c 11 4a3b c b  11 2 

Từ (1) và (2) suy ra 4a3b12mà a b  3 4a4b12 b 0 a3

Mà b c  1 c1

Vậy phần dư khi chia f(x) cho g(x) là 3x 2 1

d) Cho

1 1 1

0

x y z  Tính giá trị của biểu thức sau : 2 2 2

yz zx xy B

x y z

Xét bài toán phụ a b c  0.Chứng minh a3b3c33abc *

0

3 ( ) 3 ( ) 3

a b c a b c

a b c a b a b ab a b ab c abc

     

Áp dụng bài toán (*) có :

 

x yz   x  y  z xyz Ta có :

3

Bài 4 (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB, trên đoạn thẳng ABlấy điểm C sao cho

,

Gọi H là giao điểm của AE và BN, D là giao điểm của BE và AN Chứng minh rằng :

F

H O

D M

E N

d) AEBN

Có MNCA là hình vuông (gt) DAB45

EFBC là hình vuông (gt) DBA45 Có :

                    BDAN

Xét NABcó : BDAC cmt NC( ), AB gt BD CN( );   E Elà trực tâm NAB

AE BN

e) M D H F, , , thẳng hàng

Gọi MC giao với AN tại O mà MNCA là hình vuông (gt) nên O là trung điểm MC, AN

Và MC=AN , AEBN cmt( ) AH BN ANHvuông tại H

Mà O là trung điểm của AN (cmt) nên

1 2

suy ra

1

2

MHC

  vuông tại H nên CHM 90 Tương tự : CHF 90

Ta có MHFMHC CHF90 90  M H F, , thẳng hàng (1)

Gọi FEAN X

AMNC là hình vuông 45

MN AC XAC





 



EFBClà hình vuông  FCB45

/ /

XAC FCB XA CF

    (hai góc đồng vị ) (2)

EFBC là hình vuông (gt) EF/ /BC hay XF / /AC 3

Từ (2) và (3) suy ra XFCA là hình bình hành

XF AC

  mà MN=AC(gt) nên XF=MN

EFBC là hình vuông (gt) BEF 45  XEDBEF 45(đối đỉnh)

Mà BDAN EDX 90  EDX vuông cân tại D DE DX

Chứng minh tương tự : DE=DN => DX=DN

XFCA là hình bình hành  XF/ /AC gt( )

ACNM là hình vuông suy ra AC MN/ /  XF MN/ /  MNDFXD(so le trong)

MDN FDX

   Mà MDN MDX 180  FDX  MDX 180

180 , ,

     thẳng hàng (4)

Từ (1) và (4) ta có M, D, F thẳng hàng

f) Đường thẳng MF luôn đi qua một điểm cố định khi C di chuyển trên AB

( )

     là trung điểm của MF (cmt)

Kẻ DZ AB Z AB, mà MAAB FB, AB(hình vuông) suy ra DZ/ /MA FB/ /

MABF

 là hình thang Mà D là trung điểm của MF(cmt) suy ra Z là trung điểm AB

 DZ là đường trung bình của hình thang MABF(định nghĩa)

MA AC

MA BF AC CB AB DZ

BF CB





Có AB cố định nên 2

AB

cố định nên DZ cố định, mà Z là trung điểm của AB cố định nên D cố định lại có 2 ( );

AB

(cách vẽ) nên điểm D thuộc hai đường thẳng song song AB và cách AB một khoảng bằng 2

AB

Vậy MN đi qua điểm D thuộc hai đường thẳng //AB và cách AB một khoảng bằng 2

AB

Bài 5 (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức

2 2

2 3 2

x x A

x

 



 Xét :

Max A x

Xét :

A