197 đề hsg toán 8 diễn châu 22 23

Gọi M và N lần lượt là trung điểm DE a Chứng minh rằng AH2 BH CH.. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua O và vuông góc với AF luôn đi qua một điểm cố định c Chứng minh rằng , trực tâm của

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8

NĂM HỌC 2022-2023_MÔN TOÁN

Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức

:

P

a) Rút gọn biểu thức

b) Tìm x để P x. 16x 5

Bài 2 (6,0 điểm)

b) Không thực hiện phép tính, chứng minh rằng :

3 3

2022 22 2022 22

2022 2000 2022 2000



c) Cho a b c d, , , là các số nguyên dương thỏa mãn a3b3 5c311d3

Bài 3 (3,0 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A2x23y24xy 8x 2y18

b) Cho a b c , , 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P



Bài 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A AB AC  , đường cao AH.Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB AC, Gọi M và N lần lượt là trung điểm

DE

a) Chứng minh rằng AH2 BH CH. và AD AB AE AC.  .

b) Giả sử BC cố định, A di động nhưng vẫn thỏa mãn BAC90 Chứng minh rằng đường thẳng đi qua O và vuông góc với AF luôn đi qua một điểm cố định

c) Chứng minh rằng , trực tâm của tam giác AMNlà trung điểm của OH

Bài 5 (1,0 điểm) Chứng minh rằng, trong 29 số nguyên dương khác nhau nhỏ hơn 100 ta

luôn chọn được 2 số có ước chung lớn nhất khác 1

ĐÁP ÁN

Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức

:

P

c) Rút gọn biểu thức

ĐKXĐ: x0;x1

 

 

   

 

 

 

 

2

P

d) Tìm x để P x. 1 6x 5

2

5( ) 1

x ktm x

x tm x





 Vậy x 5

Bài 2 (6,0 điểm)

4; 5; 6; 7

13( )

2( )

4 7 18

x

x tm







e) Không thực hiện phép tính, chứng minh rằng :

3 3

2022 22 2022 22

2022 2000 2022 2000



Đặt 2022a; 22b, 2000 c a b c  Xét vế phải đẳng thức ta có

   

2

2

2022 22

2022 2000

2022 22

2022 2000

a b a ab b

a b

a c a c a ac c Thay a b c vao a ab b b c b c b b b bc c

a ac c b c b c c c b bc c

a b

a ab b a ac c

a c

a b a ab b

a c a ac c

2022 22

2022 2000

a b

dfcm

a c

f) Cho a b c d, , , là các số nguyên dương thỏa mãn a3b3 5c311d3

3 3 5 3 11 3 3 3 3 3 6 3 12 3 3 3 3 3 6

Xét hiệu a3b3c3d3 a b c d   

       

               

Khi đó a3 b3 c3 d3 a b c d    6

Mà a3b3c3d36 a b c d   6

Bài 3 (3,0 điểm)

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A2x23y24xy 8x 2y18

Ta có :

 

Dấy bằng xảy ra khi x5;y3

Vậy Min A = 1 khi x5;y3

d) Cho a b c , , 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P

 Biểu thức đã cho được viết lại :

5

y z x z y z y z x x x z y x x z

P

      

Lập luận chứng minh được P 5

Dấu bằng xảy ra khi x y zhay 2a3b3c

Vậy Pmin  5 2a3b3c

Bài 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A AB AC  , đường cao AH.Gọi D và

E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB AC, Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BH CH, .Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC tại F Gọi O là giao điểm của AHvà DE

K I

P O

F

M

N

E D

H

A

B

C

d) Chứng minh rằng AH2 BH CH. và AD AB AE AC.  .

Chứng minh được ABH∽ CAH  AH2 BH CH.

Chứng minh được ABH∽ AHD AH2 AD AB.

Chứng minh được HAE∽ CAH  AH2 AE AC.  AD AB. AE AC.

e) Giả sử BC cố định, A di động nhưng vẫn thỏa mãn BAC90 Chứng minh rằng đường thẳng đi qua O và vuông góc với AF luôn đi qua một điểm cố định

Gọi P là trung điểm của BC nên P cố định

Chứng minh được APDE Chứng minh được Olà trực tâm FAP POAF

Suy ra đường thẳng đi qua O vuông góc với AF luôn đi qua điểm cố định P

f) Chứng minh rằng , trực tâm của tam giác AMNlà trung điểm của OH

Gọi I là trung điểm của OH, gọi K là giao điểm của MI và AN

ABC

 vuông tại A, đường cao AH thì

Chứng minh được BHO∽ AHN c g c( ) OBH NAH  BOAN

Lai có MI là đường trung bình của HBO MI/ /BO MK AN

Mặt khác AH MN

Vậy trực tâm của tam giác AMNlà trung điểm I của OH

Bài 5 (1,0 điểm) Chứng minh rằng, trong 29 số nguyên dương khác nhau nhỏ hơn

100 ta luôn chọn được 2 số có ước chung lớn nhất khác 1

Từ 1 đến 100 có tất cả 26 số nguyên tố

Khi phân tích 29 số nguyên dương đã cho ra thừa số nguyên tố, có ít nhất 2 số cùng chứa

1 thừa số nguyên tố nào đó trong 26 số nguyên tố trên

Hai số này có ước chung lớn nhất khác 1 Vậy đpcm