062 đề hsg toán 8 vũng tàu 22 23

TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (3,0 điểm) 1) Chứng minh chia hết cho 9 với mọi số nguyên n 2) Phân tích da thức thành nhân tử Bài 2 (3,0 điểm) Cho biểu thức với 1[.]

TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU

ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2022-2023

Bài 1 (3,0 điểm)

1) Chứng minh    

n  n  n chia hết cho 9 với mọi số nguyên n 2) Phân tích da thức  2 2  2 2  2 2

thành nhân tử

Bài 2 (3,0 điểm)

:

1) Rút gọn biểu thức C

2) Khi cho x2 y C2 8

, hãy tính giá trị của biểu thức

M x x  y y  xy x y  xy

Bài 3 (3,0 điểm)

1) Giải phương trình 2

3

x



2) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x y, thỏa mãn điều kiện

2

2x  2xy x y   2 0

Bài 4 (3,0 điểm)

1) Cho số thực xthay đổi thỏa mãn x 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

x

2) Tìm tất cả các số tự nhiên nsao cho 3n19là số chính phương

Bài 5 (6,0 điểm) Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn, lấy điểm M là trung điểm BC.Qua điểm D thuộc đoạn BM,vẽ đường thẳng song song với AM,đường thẳng này cắt hai đường thẳng AB AC, lần lượt tại E và F Qua A vẽ đường thẳng song song với BCvà cắt

EF tại K

1) Chứng minh AKEACB MAC

2) Tính giá trị của DE DF  2AM

3) Chứng minh K là trung điểm của đoạn thẳng EF

Bài 6 (2,0 điểm) Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn Trên đường cao AHcủa tam giác

ABClấy điểm M (M nằm giữa A và H) Tia BMcắt AC tại I, tia CM cắt AB tại K Chứng minh HAlà tia phân giác của KHI

ĐÁP ÁN Bài 1 (3,0 điểm)

n  n  n chia hết cho 9 với mọi số nguyên n

Ta có :

            

Có 9n2  1 9,  n Z 1

3n 15n3n  3n18n3 n1 n n1 18 n 9

     

4) Phân tích da thức x y 2 z2y z 2 x2z x 2 y2

thành nhân tử

Ta có :

2

x y z y z yz yx zx zy x y z y z yz y z x y z

y z xy xz yz x y z z x y x x y y z z x x y

               

Bài 2 (3,0 điểm)

:

3) Rút gọn biểu thức C

Với xyta có :

   

   

2 2

:

: :

x xy xy xy y x xy xy y xy

         

4) Khi cho x2  y C2  8

, hãy tính giá trị của biểu thức

M x x  y y  xy x y  xy

Theo cmt ta có :

x y2

C

x y





 với xy

Vì  2 2

8

2

3

x y



Thay x y 2vào (*) ta có :    

Vậy M 4với x y, thỏa mãn đề

Bài 3 (3,0 điểm)

3) Giải phương trình 2

3

x



2

2

3 2

3

7 7 15 15 9 9 0



4) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x y, thỏa mãn điều kiện

2

2x  2xy x y   2 0

Giả sử tồn tại x y Z,  thỏa mãn đề bài Ta có :

2

2 1 2 1 3 2 1 1 3 3.1 1.3 1 3 3 1

1( ) 0( )1 2

x

x y

y

           

                



Vậy x y ;   1;5 , 2; 4   

là các cặp giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu

Bài 4 (3,0 điểm)

3) Cho số thực xthay đổi thỏa mãn x 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

x

2

           

2

x    x

Áp dụng bất đẳng thức AM GM cho

1

8 2

x

 

x

Từ      

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

 22 0 1

2( )

8 2 2

x x

x tm x

x

  













 Vậy

1

2 4

4) Tìm tất cả các số tự nhiên nsao cho 3n19là số chính phương

Đặt 3n19a2 1

*) Xét n2 ,k k N Khi đó, (1) trở thành :3 2k 19 a2  a 3k a 3k 19

Nhận thấy

2

3 1

3 19

k

k

a

a

  



 



*)Xét n2k1,k N Khi đó (1) trở thành :

Lại có 9 1 mod 4   9k 1 mod 4  3.9k 3 mod 4 mà

19 3 mod 4 3.9k 19 2 mod 4

Mặt khác a2không thể đồng dư với 2 mod 4

Do đó n2k1k N không thỏa mãn

Vậy n 4thì 3n19là số chính phương

Bài 5 (6,0 điểm) Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn, lấy điểm M là trung điểm BC. Qua điểm D thuộc đoạn BM,vẽ đường thẳng song song với AM,đường thẳng này cắt hai đường thẳng AB AC, lần lượt tại E và F Qua A vẽ đường thẳng song song với

BCvà cắt EF tại K

F

E

M

A

B

C D

4) Chứng minh AKEACB MAC

Xét tứ giác AKDM có : AK/ /DM (vì AK/ /BC D M; , BC)

/ / / / ,

DK AM DF AM K DF suy ra tứ giác AKDM là hình bình hành nên

 1

Ta có AMDlà góc ngoài của AMC AMDMAC MCA 2

Từ (1) và (2) suy ra AKDMAC MCAhay AKEACB MAC dfcm( )

5) Tính giá trị của DE DF  2AM

Ta có : DE DF DE DE EF  2DE2EK KE KF cmt    2DE EK  2DK

Mà DK AM(vì tứ giác AKDM là hình bình hành)

6) Chứng minh K là trung điểm của đoạn thẳng EF

Xét AKEvà BHAcó :

  (vì tứ giác AKDM là hình bình hành); KAEMBA AK / /BC

 

AKE BMA g g

  ∽   BM AK AM KE  1

Lại có BM CM (vì M là trung điểm của BC) (3)

Từ      1 , 2 , 3  KE FK hay K là trung điểm của EF (đpcm)

Bài 6 (2,0 điểm) Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn Trên đường cao AHcủa tam giác ABClấy điểm M (M nằm giữa A và H) Tia BM cắt AC tại I, tia CM cắt AB tại

K Chứng minh HAlà tia phân giác của KHI

P

S

K

I

H

A

M

Qua A kẻ đường thẳng song song với BCcắt BI CK HK HI, , , lần lượt tại P Q R S, , ,

BH KB BC Tương tự  2

Chia từng vế (1) cho (2) ta được .  3

 4

HC MH BH  AP HB Từ (3) và (4) suy ra 1

AR

HRS

 cân tại H , AR AS  HAlà tia phân giác của KHI dfcm 