101 đề HSG toán 8 vĩnh bảo 2016 2017

UBND HUYỆN VĨNH BẢOPHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HSG HUYỆN CẤP THCS MÔN: TOÁN 8 Bài 1.. 1 điểm Cho hình bình hành ABCD có góc ABC nhọn.. Vẽ ra phía ngoiaf hình bình hành các tam

UBND HUYỆN VĨNH BẢO

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU HSG HUYỆN CẤP THCS

MÔN: TOÁN 8 Bài 1 (3 điểm)

a) Phân tích đa thức a b c2   b c a2   c a b2  thành nhân tử

b) Cho , ,a b c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: a b c  2 a2 b2 c2

Tính giá trị của biểu thức:

P

c) Cho x y z   Chứng minh rằng: 0. 2x5  y5 z5 5xyz x 2  y2 z2

Bài 2 (2 điểm)

a) Tìm số tự nhiên n để n 18và n  41là hai số chính phương

b) Cho ,a b  thỏa mãn 0 a b  Chứng minh 1

2

Bài 3 (1 điểm)

Cho hình bình hành ABCD có góc ABC nhọn Vẽ ra phía ngoiaf hình bình hành các tam giác đều BCE và DCF Tính số đo . EAF

Bài 4 (3 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA BB CC và H là trực tâm', ', ' a) Chứng minh BC BA CB CA BC'.  '.  2

b) Chứng minh rằng:

1

HB HC HA HB HC HA

AB AC  BC AC  BC AB 

c) Gọi D là trung điểm của BC Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với DH cắt

,

AB AC lần lượt tại M và N Chứng minh H là trung điểm của MN

Bài 5 (1 điểm)

Cho hình vuông ABCD và 2018đường thẳng cùng có tính chất chia hình

vuông này thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng

2

3 Chứng minh rằng có ít nhất

505 đường thẳng trong 2018 đường thẳng trên đồng quy

ĐÁP ÁN Bài 1.

a) a b c2   b c a2   c a b2   a b c2    b a c2  c a b2  

           

           

a b c b a b b c c a b

a b b c c b a b

a b a b b c b c b c a b

a b b c a b b c a b b c a c

b) a b c  2 a2 b2 c2  ab ac bc  0

   

a  bc a  ab ac bc   a b a c 

b  ac  b a b c  c  ac  c a c b 

           

     

     

1

P

a b a c a b b c a c b c

a b a c b c

a b a c b c

c) Vì x y z   0 x y  z x y 3 z3

Hay x3 y3 3xy x y    z3 3xyz x 3 y3 z3

Do đó:

Mà x2  y2 x y 2  2xy z 2  2xy Vi x y  z

Tương tự: y2 z2 x2  2 ;yz z2 x2 y2  2zx

Vì vậy: 3xyz x 2  y2 z2 x5 y5z5 x x3 2  2yz y y3 2  2zxz z3 2 2xy

Suy ra : 2x5 y5z5 5xyz x 2 y2 z2

Bài 2.

a) Để n 18và n  41 là hai số chính phương

2

18

   và n 41q p q2 ,  

Nhưng 59 là số nguyên tố, nên:



Từ n18p2 302 900 n882

Thay vào n  41,ta được 882 41 841 29   2 q2

Vậy với n 882 thì n 18và n  41là hai số chính phương

b) Có: a b 2  0 a2 b2  2ab 0 a2 b2 2ab (*)

Dấu đẳng thức xảy ra khi a b

Áp dụng  * có:

Suy ra:

5 2

 

5 2

             

2

Với ,a b dương , chứng minh

4 (Vi a b 1)

a b a b   

Dấu bằng xảy ra khi a b

Ta được:

5 5.4 2

2

       

    Dấu đẳng thức xảy ra

1 2

a b

Bài 3.

E

F

D A

B

C

Chứng minh được ABE ECF

Chứng minh được ABEFCE c g c   AE EF

Tương tự: AF EF

AE EF AF AEF

     đều  EAF 600

Bài 4.

N M

D

H C'

A'

B' A

a) Chứng minh

'

'

BH BC

AB BB

Chứng minh

'

'

BH BA

BC BB

Từ (1) và (2)  BC BA BA BC'.  '.

Tương tự : CB CA CA BC'.  '.

b) Có

BHC ABC

BH BC BH CH BC CH S

AB BB  AB AC BB AC S

Tương tự:

;

AH BH S AH CH S

CB CA S CB AB S

1

ABC ABC

HB HC HA HB HC HA S

AB AC AC BC BC AB S

c) Chứng minh AHM CDH g g  HM AH (3)

HD CD

Chứng minh AHN BDH g g  AH HN (4)

BD HD

Mà CD BD ( ) (5)gt

Từ      3 , 4 , 5 HM HN HM HN

HD HD

H

 là trung điểm của MN

Bài 5.

Gọi , , ,E F P Q lần lượt là trung điểm của , , , AB CD BC AD Lấy các điểm ,IG trên

EF và ,K H trên PQ thỏa mãn:

2 3

IE HP GF KQ

IF HQ GE KP 

Xét d là một trong các đường thẳng bất kỳ đã cho cắt hai đoạn thẳng AD BC EF, , lần lượt tại M N G Ta có:, , '

'

2

ABMN

CDNM

AB BM AN

G G

CD CM DN





hay d qua G.

Từ lập luận trên suy ra mỗi đường thẳng thỏa mãn yêu cầu của đề bài đều đi qua một trong 4 điểm , , ,G H I K

Do có 2018đường thẳng đi qua 1 trong 4 điểm , , ,G H I K theo nguyên lý Dirichle

phải tồn tại ít nhất

2018

1 505 4

 

  đường thẳng cùng đi qua một điểm trong 4 điểm trên

Vậy có ít nhất 505 đường thẳng trong số 2018 đường thẳng đã cho đồng quy