051 đề HSG toán 9 vĩnh bảo 2013 2014

Chứng minh OMN là tam giác vuông.. Bài 4: 2 điểm Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I.. Gọi M là giao điểm của AE và DF;

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

HUYỆN VĨNH BẢO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2013-2014 MÔN: TOÁN LỚP 9

Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề

Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức:

1 xy



a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của P với x 2

2 3





Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) và (L) lần lượt là

đồ thị của hai hàm số: y 1x 3

  và yx a) Vẽ đồ thị (D) và (L)

b) (D) và (L) cắt nhau tại M và N Chứng minh OMN là tam giác vuông

Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: 6x4  5x3  38x2  5x 6 0 

Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a, vẽ một

đường thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I

Chứng minh rằng: 1 2 12 12

AM  AI a .

Bài 5: (6 điểm)

Cho hai đường tròn ( O ) và ( O/ ) ở ngoài nhau Đường nối tâm OO/ cắt đường tròn ( O ) và ( O/ ) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng

Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF, E ( O ) và F  ( O/ ) Gọi M là giao điểm của

AE và DF; N là giao điểm của EB và FC Chứng minh rằng:

a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật

b) MN AD

c) ME.MA = MF.MD

Hết

-ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014-MÔN: TOÁN LỚP 9

a) Mẫu thức chung là 1 – xy

( x y)(1 xy) ( x y)(1 xy) 1 xy x y 2xy



x x y y y x x x y y y x 1 xy



2( x y x) 2 x (1 y) 2 x

(1 x)(1 y) (1 x)(1 y) 1 x

0,5 đ 0,5 đ

0,5 đ

4 3

2 3







2

x  ( 3 1)  3 1  3 1

2

2( 3 1) 2 3 2

P

1 ( 3 1) 1 3 2 3 1

2( 3 1) 6 3 2

P

13

5 2 3



0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

0,5 đ 2

a) Đồ thị y 1x 3

  có :

3

x 0 y

2

y 0 x 3



  





   



Đồ thị y x x khi x 0

x khi x 0







Đồ thị như hình vẽ:

(L) (D)

3/2

3

N

3

- 3

1 1

M

x

y

O

0,5 đ

0,5 đ

1 đ

b) Đồ thị (D) và (L) cắt nhau tại hai điểm có tọa độ M(1; 1) và N( - 3; 3)

Ta có: OM = 12 12  2  OM2 = 2

ON = 32  ( 3)2 3 2 ON2 = 18

MN = (1 3) 2 (1 3) 2  20 MN2 = 20

Vì: OM2 + ON2 = MN2

Vậy: tam giác OMN vuông tại O

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ 0,5 đ

3 Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình

Chia cả 2 vế của phương trình cho x2 ta được:

6x2 5x 38 5 62 0

x x

2

2

6(x ) 5(x ) 38 0

Đặt y x 1

x

  thì: 2 2

2

1

x

Ta được pt: 6y2 – 5y – 50 = 0 <=> (3y – 10)(2y + 5) = 0

Do đó: y 10 và y 5

* Với y 10

3

 thì: x 1 10 3x2 10x 3 0

x 3

<=> (3x – 1)(x – 3) = 0 <=> 1

2

1 x 3

x 3













* Với y 5

2

 thì: 1 5 2

<=> (2x + 1)(x + 3) = 0 <=> 3

4

1 x

2













1 đ

1 đ

1 đ

1 đ 4

J

M

C

B A

Vẽ Ax  AI cắt đường thẳng CD tại J

Ta có  AIJ vuông tại A, có AD là đường cao thuộc cạnh huyền IJ, nên:

12 12 12

AD AJ  AI (1)

Xét hai tam giác vuông ADJ và ABM, ta có:

0,5 đ 0,5 đ

AB = AD = a; DAJ BAM (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

ADJ = ABM

   Suy ra: AJ = AM

Thay vào (1) ta được: 1 2 1 2 12 12

AD AM  AI a (đpcm)

0,5 đ 0,5 đ 5

H

D

E

M

F

O

I

N

O /

A

a) Ta có AEB CFD 90  0 (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

Vì EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O/), nên:

OE  EF và OF  EF => OE // O/F

=> EOB FO D  / (góc đồng vị) => EAO FCO  /

Do đó MA // FN, mà EB  MA => EB  FN

Hay ENF 90 0

Tứ giác MENF có E N F 90   O, nên MENF là hình chữ nhật

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

0,5 đ b) Gọi I là giao điểm của MN và EF; H là giao điểm của MN và AD

Vì MENF là hình chữ nhật, nên IFN INF

Mặt khác, trong đường tròn (O/): IFN FDC 1 sđ FC

2

=> FDC HNC

Suy ra FDC đồng dạng HNC (g – g)

=> NHC DFC 90  O hay MN  AD

0,5 đ

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ c) Do MENF là hình chữ nhật, nên MFE FEN

Trong đường tròn (O) có: FEN EAB 1 sđ EB

2

=> MFE EAB 

Suy ra MEFđồng dạng MDA (g – g)

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

=>ME MF

MDMA, hay ME.MA = MF.MD

0,5 đ