051_Đề Hsg Toán 9_Cầu Ngang_21-22.Docx

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẦU NGANG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HUYỆN CẦU NGANG NĂM HỌC 2021 2022 ĐỀ THI MÔN TOÁN THỜI GIAN LÀM BÀI 150 PHÚT Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức 1 3 2 1 2 x x A[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CẦU NGANG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HUYỆN CẦU NGANG NĂM HỌC 2021-2022

ĐỀ THI MÔN TOÁN THỜI GIAN LÀM BÀI : 150 PHÚT

Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức

A

1

x B x





 a) Rút gọn biểu thức A

b) Khi

3 , 4

B 

hãy tính giá trị của A

c) Tìm giá trị nguyên của xđể A B. nhận giá trị nguyên

Bài 2 (6,0 điểm)

1) Giải phương trình x29x20 2 3 x10

2) Giải hệ phương trình sau :

1

3 1 5 2

y

x y

y

x y



 





 

 3) Tìm mđể y x 2m2và ym1x3cắt nhau tại một điểm có tung độ bằng 3

Bài 3 (3 điểm) Cho ABCcân tại A BAC90biết đường cao AD,trực tâm H Tính độ dài ADbiết AH 14cm BH, CH 30cm

Bài 4 (2,0 điểm) Quãng đường ABgồm một đoạn lên dốc dài 4kmvà một đoạn xuống dốc dài 5 km Một người đi xe đạp từ Ađến B hết 40 phút và đi từ B về A hết

41phút (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau) Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc

Bài 5 (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABCnội tiếp đường tròn  O .Trên cung BC

không chứa điểm Ata lấy điểm P bất kỳ Pkhác B và P khác C) Các đoạn PAvà

BC cắt nhau tại Q

a) Giả sử D là một điểm trên đoạn PAsao cho PD PB Chứng minh rằng

PDB

 đều

b) Chứng minh rằng PA PB PC 

c) Chứng minh hệ thức

PQ PB PC

Bài 6 (2 điểm) Cho các số không âm a b c x y, , , , Chứng minh rằng

a b c x y a b c x y  

ĐÁP ÁN

Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức

A

1

x B

x







d) Rút gọn biểu thức A

0

1

2

x

A

x

x



 





e) Khi

3 , 4

B 

hãy tính giá trị của A

1 9 1 4

5

2 9 2

x

x x A

x





f) Tìm giá trị nguyên của xđể A B. nhận giá trị nguyên

AB

Bài 2 (6,0 điểm)

4) Giải phương trình x29x20 2 3 x10(1)

Điều kiện

10 3

x 

 

2

1 3 10 2 3 10 1 6 9 0

3 10 1

3( )

3 0

x

x tmdk x

 



 



5) Giải hệ phương trình sau :

1

3 1 5 2

y

x y

y

x y



 





 



1

2

2

y

x y

y

x y





        

 



6) Tìm mđể y x 2m2và ym1x3cắt nhau tại một điểm có tung độ bằng 3

Hai đường thẳng cắt nhau tại A x ;3  y3m 1

2 2 3

x m

m

x

  









Vậy

1

2

m 

Bài 3 (3 điểm) Cho ABCcân tại A BAC90biết đường cao AD,trực tâm

H Tính độ dài ADbiết AH 14cm BH, CH 30cm

H

D E

A

Kẻ Cx BH/ / cắt đường thẳng ADtại E

Sẽ có DH DE BH CE,  BDH CDE

ACE

 vuông tại C có :

2

BH CE DE AE DH DH AH

Bài 4 (2,0 điểm) Quãng đường ABgồm một đoạn lên dốc dài 4kmvà một đoạn xuống dốc dài 5 kmMột người đi xe đạp từ Ađến B hết 40 phút và đi từ B về A hết 41phút (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau) Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc

Gọi vận tốc lúc lên dốc và vận tốc lúc xuống dốc thứ tự là x y x,  0,y0

Ta có hệ

4 5 40

12 60

60

x

x y

y

x y



 









  



Bài 5 (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABCnội tiếp đường tròn  O .Trên cung BC

không chứa điểm Ata lấy điểm P bất kỳ Pkhác B và P khác C) Các đoạn PA

và BC cắt nhau tại Q

D Q

O A

P

d) Giả sử D là một điểm trên đoạn PAsao cho PD PB Chứng minh rằng

PDB

Trước tiên ta nhận thấy rằng PBDcân tại P

Mặt khác, BPDBPABCA 60 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB của đường tròn (O)) Vậy nên PDBđều

e) Chứng minh rằng PA PB PC 

Ta đã có PB PD ,vậy để chứng minh PA PB PC  ta sẽ chứng minh DA PC Thật vậy, xét hai tam giác BPCvà BDAcó :



( ),

BA BC gt BD BP  BPDđều)

Lại có ABD DBC60 , PBCDBC60nên ABDPBC

Từ đó BPCBDA c g c( ) DA PC dfcm ( )

f) Chứng minh hệ thức

PQPBPC

Xét hai tam giác PBQvà PACta thấy BPQ60 , APCABC60 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Suy ra BPQAPC,PBQPBCPAC(hai góc nội tiếp cùng chắn cung PC)

PQ PC

PB PA

Theo kết quả câu b, ta có : PA PB PC  nên PQ PB PC.   PB PC.

Hệ thức này tương đương với

(dfcm)

PQ PB PC

Bài 6 (2 điểm) Cho các số không âm a b c x y, , , , Chứng minh rằng

a b c x y a b c x y  

Giải

a b c x y a b c x y

       