009_Đề Hsg Toán 9_Hải Dương_21-22.Docx

ĐỀ THI HỌC GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM 2021 2022 MÔN TOÁN 9 Câu 1 (2,0 điểm) 1) Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn 6a b c   và 4a b c   Chứng minh rằng       10 5 5 5 5 5 5 a b c a b c[.]

ĐỀ THI HỌC GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM 2021-2022

MÔN TOÁN 9 Câu 1 (2,0 điểm)

1) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c   6và a b c 4

10

2) Cho  

3 2

1 3 3

x

f x



  Hãy tính giá trị của biểu thức sau :

Af   f    f   f  

Câu 2 (2,0 điểm)

1) Giải phương trình :

3 6 3

3

x

2) Giải hệ phương trình : 2 2 2

1 7

1 13

  





  



Câu 3 (2,0 điểm)

1) Tìm các số nguyên x y; thỏa mãn đẳng thức 8x y2 2x2y2 10xy

2) Cho p x y, , là các số tự nhiên thỏa mãn px2 x p1y2y Chứng minh rằng

1

px py  là số chính phương

Câu 4 (3,0 điểm)

1) Cho đường tròn tâm O, bán kính R Điểm Anằm bên ngoài đường tròn tâm O Qua Avẽ hai tiếp tuyến AB AC, với đường tròn B C, là các tiếp điểm) Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB AC H, ; là giao điểm của AOvới BC.Lấy điểm E bất

kỳ trên đường tròn (Ekhác B và C) Qua Evẽ tiếp tuyến với đường tròn tâm O, tiếp tuyến này cắt đường thẳng MN tại K

a) Chứng minh rằng : MN2 AH HO.

b) Chứng minh rằng KA KE

2) Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn O R;  Gọi D E F, , lần lượt

là giao điểm của các đường thẳng AOvới BC,BOvới AC CO, với AB

Chứng minh rằng :

9 2

R

AD BE CF  

Câu 5 (1,0 điểm) Cho a b c; ; là các số thực dương thỏa mãn a b c   1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 2 2 2 2 2 2

S

ĐÁP ÁN Câu 1 (2,0 điểm)

3) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c   6và a b c 4

10

Từ giả thiết ta có :

 a b c2  16  ab bc ca  5

Suy ra a   5 a ab bc ca  a b  a c

Tương tự ta có :

5

5

Do đó :

10

4) Cho  

3 2

1 3 3

x

f x



  Hãy tính giá trị của biểu thức sau :

Af   f    f   f  

Trước hết,ta chứng minh được : Nếu x y 1thì f x  f y 1

Thật vậy

 

3 3

1 1

x x



Suy ra

3 3

1

x x



1011 1 1

2022 2 2

f  f  

Ta có :

A f  f    f   f   f  

(biểu thức trên có 1010dấu ngoặc vuông, mỗi biểu thức trong ngoặc vuông có giá trị bằng 1)

Vậy

1

1010 1010,5

2

 

Câu 2 (2,0 điểm)

3) Giải phương trình :

3 6 3

3

x

Điều kiện xác định :  7   x 1 2hoặc x  1 2

7

3

x

Từ    

2

2  3 x 1  y 7

Ta có :



   





3

y x







  



2

2

1

4

9 21 5

x x

x x





  











Vậy tập nghiệm của phương trình là

73 5 69 7

;

4) Giải hệ phương trình : 2 2 2

1 7

1 13

  





  

 Nhận xét : y 0không thỏa mãn hệ  y0

Chia cả 2 vế của mỗi phương trình cho yta được :

2

2 2

1

7

1 7

1

13

x

x

x





  

Đặt

1 ,

a x

y x

b

y



 





 

 ta có :

4 3

12

a b

b

 







 



 



2

1

3

x

Th

y







2

1 5

12 5

2 :

12

x

x

Th

y



 

Vậy hệ phương trình có nghiệm    

1

; 1; , 3;1

3

x y    

 

Câu 3 (2,0 điểm)

3) Tìm các số nguyên x y; thỏa mãn đẳng thức 8x y2 2x2y2 10xy

Ta có: 8x y2 2x2y2 10xy x2 2xy y 2 8xy 8x y2 2  x y 2 8xy1 xy

Do x y 20với mọi x y, nên 8xy1 xy 0 0xy1

Mặt khác do x y,    xy0hoặc xy 1

Th xy  x y

1

2 : 1

1

 



    

 Vậy , các cặp số nguyên x y; thỏa mãn bài toán 0;0 , 1; 1 ; 1;1     

4) Cho p x y, , là các số tự nhiên thỏa mãn px2 x  p1 y2y Chứng minh rằng

1

px py  là số chính phương

Ta có : px2  x p 1 y2 y p x 2  y2 x yy2  x y px py     1 y2

Đặt

1

x y d





 









Vì x y px py    1 y2 y d2  y d mà x y d   x d  px py d 

Ta có :

px py d







 









Vậy x y px py ;  1là hai số nguyên tố cùng nhau, mà x y px py    1là số chính phương nên px py 1là số chính phương

Câu 4 (3,0 điểm)

3) Cho đường tròn tâm O, bán kính R Điểm Anằm bên ngoài đường tròn tâm

O Qua Avẽ hai tiếp tuyến AB AC, với đường tròn B C, là các tiếp điểm) Gọi

,

M Nlần lượt là trung điểm của AB AC H, ; là giao điểm của AOvới BC.Lấy điểm E bất kỳ trên đường tròn (Ekhác B và C) Qua Evẽ tiếp tuyến với đường tròn tâm O,tiếp tuyến này cắt đường thẳng MN tại K

I

K

H N

M

C

B

O A

E

c) Chứng minh rằng : MN2 AH HO.

Ta có ABCcân tại A suy ra AB AC

OBC

 cân tại O suy ra OB OC

Suy ra AOlà đường trung trực của BC AOBCtại trung điểm Hcủa BC

Xét ABOvuông tại B có đường cao BHnên

2

 

Vì MNlà đường trung bình của ABCnên 2

BC

MN 

2

4

BC

d) Chứng minh rằng KA KE

 vuông tại E,ta có :

 

Vì MN/ /BC BC, AO MN AO.Gọi I là giao điểm của MNvà AO,ta có :

Do MN/ /BC M, là trung điểm của AB Ilà trung điểm của AH

 

Từ    1 , 2  KE2 KA2  KE KA

4) Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn O R;  Gọi D E F, , lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AOvới BC, BOvới AC CO, với AB

Chứng minh rằng :

9 2

R

AD BE CF  

D

E F

O A

B

C

Ta có :

AOC AOB AOB AOC ADC ABD ABC

OA



AOB OBC AOC OBC ABC ABC

   

OA OB OC

R

Theo bất đẳng thức AM GM ta có :

3

3

3

2

R

AD BE CF R AD BE CF

Dấu bằng xảy ra khi ABCđều

Câu 5 (1,0 điểm) Cho a b c; ; là các số thực dương thỏa mãn a b c   1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 2 2 2 2 2 2

S

Ta có :

do a b c

Chứng minh tương tự :

Gọi

x

1

Áp dụng bất đẳng thức

1 1 4

, x y; 0.

x y x y   Ta có :

2

2

1

4 1

a x



Chứng minh tương tự, ta có :

2 2

4

4

y

z

Suy ra S   x y z 12 Dấu bằng xảy ra khi

1 3

a b c  

Vậy

1 12

3

Min S   a b c  