007_Đề Hsg Toán 9_Quảng Nam_21-22.Docx

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM HỌC 2021 2022 Môn thi Toán Thời gian 150 phút Ngày thi 19/4/2022 Câu 1 (4,0 điểm) a) Cho biểu thức 3 2 2 3 1[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NAM

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS

NĂM HỌC 2021-2022 Môn thi : Toán

Thời gian: 150 phút Ngày thi: 19/4/2022

Câu 1 (4,0 điểm)

a) Cho biểu thức

A

   với x0,x1

Rút gọn biểu thức Avà tìm xđể A x  3

b) Tìm giá trị của tham số mđể phương trình x22m2x m 2 1 0có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2thỏa mãn x1  x2 x x1 2

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Giải phương trình 2 x 3 x 2 2  x 3x  7 0

b) Giải hệ phương trình

2 2

x y x y y

x y x y xy







Câu 3 (3,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông cân tại A AB, 4cm Gọi M N I, , lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC AC BN, , Điểm Dthuộc đoạn thẳng AM

sao cho AM  4AD

a) Tính diện tích tam giác DMN

b) Chứng minh tam giác DINvuông cân

Câu 4 (4,0 điểm) Cho tam giác ABCnhọn AB AC  , nội tiếp trong đường tròn

 O Dựng các đường cao AD BE CF, , của tam giác ABC Đường thẳng EFcắt đường tròn  O tại M và N M N, lần lượt nằm trên cung nhỏ AB AC, ).Gọi I là giao điểm của BM và DF J, là giao điểm của CNvà DE

a) Chứng minh EBlà tia phân giác của DEM

b) Chứng minh AM AN

c) Chứng minh tứ giác MNJI nội tiếp trong đường tròn

Câu 5 (5,0 điểm)

a) Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho tổng của số đó với tổng các chữ số của nó bằng 2023

b) Cho ba số thực dương x y z, , thỏa mãn xyz 1 Tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức :

H

x y z y z x z x y

ĐÁP ÁN Câu 1 (4,0 điểm)

c) Cho biểu thức

A

   với x0,x1

Rút gọn biểu thức Avà tìm xđể A x  3

1

A x   x  x  x x   x x   x tmdk

d) Tìm giá trị của tham số mđể phương trình x22m2x m 2 1 0có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2thỏa mãn x1 x2 x x1 2

' m 2 1. m 1 4m 3

      

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi

3

4

Áp dụng hệ thức Vi-et :  

2

1 2

1 2

1

x x m







1 2 2( 2) 0

m   m    m 

2

1 2 1 0 1 0, 2 0

Khi đó x1  x2 x x1 2  x1  x2 x x1 2  x x1 2 x1 x2  0

3( )

m ktm

m tm





 Vậy m 3

Câu 2 (4,0 điểm)

c) Giải phương trình 2 x 3 x 2 2  x 3x  7 0

Điều kiện :   3 x 2

Đặt t 2 x 3x t 0  2 2  x 3x  t2 5

Phương trình đã cho trở thành :

12 0

3( )

t ktm

t t

t tm





     



    2 1( )

2( )

x tm

x tm





 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x2,x1

d) Giải hệ phương trình

2 2

x y x y y

x y x y xy





 Cộng vế theo vế của hai phương trình ta được :

2x y x y     4x2 y2  2x y  4xy  0 2x y x y      2x y 2 (2x y ) 0 

1

2

1; 2

1 3

3 2 1 0

5; 8 2

x

y

x y x y

x

     









 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x y  ;    1; 2 , 5;8   

Câu 3 (3,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông cân tại A AB, 4cm Gọi M N I, , lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC AC BN, , Điểm Dthuộc đoạn thẳng

AM sao cho AM  4AD

H

K

D

B

A

c) Tính diện tích tam giác DMN

Gọi H là trung điểm của AM.Suy ra NH AM

1

2

DMN

Ta có :  

NH  CM   DM  AM   cm

 2

2.

DMN

d) Chứng minh tam giác DINvuông cân

Gọi K là trung điểm của AN

Ta có IM / /KN IM, KNsuy ra MNKIlà hình bình hành

Hơn nữa, IKvuông góc KN  MNKIlà hình chữ nhật

Lại có

1

/ / 4

AD AK

KD CM

AM AC   mà CM AM  CM KD

Suy ra 5 điểm M N K D I, , , , cùng nằm trên một đường tròn đường kính KM

Mà đường tròn đường kính KM cũng chính là đường tròn đường kính IN

Suy ra DN DI

Lại có DINDMN  45 nên tam giác DINvuông cân tại I

Câu 4 (4,0 điểm) Cho tam giác ABCnhọn AB AC , nội tiếp trong đường tròn

 O Dựng các đường cao AD BE CF, , của tam giác ABC Đường thẳng EF cắt đường tròn  O tại M và N M N, lần lượt nằm trên cung nhỏ AB AC, ).Gọi Ilà giao điểm của BM và DF J, là giao điểm của CN và DE

H

K

J I

M

N E

D

A

B

C

d) Chứng minh EBlà tia phân giác của DEM

Tứ giác ABDEnội tiếp đường tròn nên BEDBAD

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.Tứ giác AEHFnội tiếp đường tròn nên

Suy ra BEDFEHhay EBlà tia phân giác của DEM

e) Chứng minh AM AN

Gọi K là giao điểm của OAvà EF, ta có tứ giác BCEFnội tiếp nên có

1 2

OAC

 cân ở O nên

1

2

Do đó AEF OAC 90   OA MN  AM AN

f) Chứng minh tứ giác MNJI nội tiếp trong đường tròn

Tứ giác AFDCnội tiếp đường tròn nên AFD ACB 180 

Tứ giác BFECnội tiếp đường tròn nên BFE ACB180

Suy ra AFDBFE BFIBFN

Lại có MBANBA(vì chắn hai cung bằng nhau)

Do đó BFI BFN g c g .  BI BN FI, FN

Suy ra FB là trung trực của INhay AB là trung trực IN, do đó AI AN

Câu 5 (5,0 điểm)

c) Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho tổng của số đó với tổng các chữ số của

nó bằng 2023

Gọi số ntự nhiên thỏa đề, S n là tổng các chữ số của số n

Theo đề bài ta có n S n  2023

Ta có n0,S n 0, do đó 0 n 2023 S n 28

(Khi n1999,S n     1 9 9 9 28)

Suy ra 2023 28   n 2023hay 1995  n 2023

Nên nlà số có 4 chữ số

1 2

a

n abcd

a





 Nếu a 1 n1bcd n S n ( ) 1000 bcd   1 b c d 2023

101.b 11c 2d 1 1023

Mà 0b c d; ;  9 b9,11c2d113 c9,d 7 Suy ra n 1997

Nếu a 2 n2bcd n S n ( ) 2000 101  b11c2d 2 2023

           Suy ra n 2015

Vậy có hai số thỏa mãn đề bài là 1997và 2015

d) Cho ba số thực dương x y z, , thỏa mãn xyz 1 Tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức :

H

x y z y z x z x y

   

   

2 2

2

1

0

x y z

x y z x x y z x x y z x y z

x y z x x y z x x y z x y z

x y z x x y z

,

y z x y x y z z x y z x y z

H

x x y z y x y z z x y z

Hay

2 2 2

x  y  z   x y z      

1

0 2

 

Dấu bằng xảy ra khi x  y z 1

Vậy Min H  0 x  y z 1