003_Đề Hsg Toán 9_Anh Sơn_21-22.Docx

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ANH SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021 2022 MÔN TOÁN 9 Câu 1 (4,0 điểm) 1 Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 1 1 x A x x x          với 6 2 5[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN ANH SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN 9

Câu 1 (4,0 điểm)

1 Tính giá trị của biểu thức

:

x A

2 Cho

2 sin ,

3

x 

với xlà góc nhọn Tính giá trị của biểu thức sau :

18cos 9sin 3cos 6sin

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Giải phương trình x1 6 x3

b) Cho n  *và

P

Hỏi P có là số hữu tỉ không ? Vì sao ?

Câu 3 (4,0 điểm)

a) Tìm x y, nguyên thỏa mãn y22xy 3x 2 0

b) Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn ab bc ca   1.Chứng minh rằng

3 2

Câu 4 (6,5 điểm ) Cho tam giác ABCcó AB AC ;BAC45, vẽ các đường cao ,

BM CN

a) Chứng minh AM AC AN AB.

b) Chứng minh BC2  2MN2

c) Từ A kẻ đường thẳng song song với BM cắt đường thẳng BCtại Q Chứng

minh

AQ AC AB

Câu 5 (1,5 điểm) Bên trong hình vuông có cạnh bằng 1cmlấy 51 điểm phân biệt không có ba điểm nào thẳng hàng, chứng minh tồn tại ít nhất 3 điểm trong 51 điểm

đó tạo thành một tam giác có diện tích bé hơn 0, 04cm2

ĐÁP ÁN Câu 1 (4,0 điểm)

3 Tính giá trị của biểu thức

:

x A

   

 2

0

:

1

.

1

2 5

5

x x A

x



 







4 Cho

2 sin ,

3

x 

với xlà góc nhọn Tính giá trị của biểu thức sau :

18cos 9sin 3cos 6sin

18cos 9sin 3cos 6sin

18 9 3 6 18 5

Câu 2 (4,0 điểm)

c) Giải phương trình x1 6 x 31  x 6

Đặt x1t, 6 x u t u  , 0 Ta có hệ :

2

5( ) 1

2

2 2

t

x tmdk u

tu

x tmdk u

  

 

  





  



 



d) Cho n  *và

P

Hỏi P có là số hữu tỉ không ? Vì sao ?

2 3 3 4 2 2 1

1 2

2 2 1

P

n

n

 

Câu 3 (4,0 điểm)

c) Tìm x y, nguyên thỏa mãn y22xy 3x 2 0

y  xy x   x  xy y x  x  x y  x x

VT của (*) là số chính phương; VP (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải

có 1 số bằng 0

Vậy x y  ;    1;1 ; 2;2   

d) Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn ab bc ca   1.Chứng minh rằng

3 2

Áp dụng :  

1 2

1 a ab bc ca a    a b a c 

2

1

2 1

a b a c

a b a c

a b a c a

Từ      1 , 2 , 3 ta có :

a b b a a c c a b c c b

a  b  c     

Câu 4 (6,5 điểm ) Cho tam giác ABCcó AB AC ;BAC45, vẽ các đường cao

,

BM CN

P

M N

B

A

Q

C

d) Chứng minh AM AC AN AB.

Xét AMB&ANCcó : AMBANC 90 , MABCAN 45

e) Chứng minh BC2  2MN2

Xét ANM&ACBcó :

AC  AB (Vì AM AC. AN AB. ); NAM BAC45 ( ) AN MN

Xét ANCvuông tại N có cos

AN A AC



cos 45

f) Từ A kẻ đường thẳng song song với BM cắt đường thẳng BCtại Q

Chứng minh

AQ AC AB

Ta có: MB/ /AQ gt MB( ), AC AQAC QAC90

90 45 45

          

45

      là phân giác của tam giác vuông QAC

Từ B kẻ BPAQtại P

Xét tứ giác APBM có APBPAM AMB 90   APBM là hình chữ nhật

Mà ABlà phân giác của PAM  APBM là hình vuông

Suy ra

1 2

BM BP AB

Xét AQCcó BP/ /ACvì cùng  1

BP QB AQ

AC QC

AQC

 có BM / /AQvì cùng vuông góc với  2

AC



AB AB

Câu 5 (1,5 điểm) Bên trong hình vuông có cạnh bằng 1cmlấy 51 điểm phân biệt không có ba điểm nào thẳng hàng, chứng minh tồn tại ít nhất 3 điểm trong 51 điểm đó tạo thành một tam giác có diện tích bé hơn 0, 04cm2

Diện tích của hình vuông là 1cm2 Ta chia hình vuông cạnh 1cm thành 25 hình vuông nhỏ cạnh 0, 2cm Khi đó 51 điểm sẽ nằm trong 25 hình vuông nhỏ cạnh

0, 2cm

Mà 51 25.2 1   nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất 3 điểm nằm trong 1 hình vuông cạnh 0, 2cm, ta sẽ chứng minh rằng tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm này thỏa mãn điều kiện đề bài

Thật vậy, ta gọi 3 điểm là A B C, , nằm trong hình vuông MNPQ Vẽ hình chữ nhật

GHIKcó các cạnh song song với các cạnh của hình vuông MNPQvà có A B C, , nằm trên cạnh của nó Khi đó :

0, 04