006_Đề Hsg Toán 9_Nam Đàn_21-22.Docx

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NAM ĐÀN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 NĂM HỌC 2021 2022 Môn TOÁN Thời gian làm bài 150 phút Câu 1 (3,5 điểm) a) Rút gọn biểu thức 1 1 4 2 2 x A x x x [.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN NAM ĐÀN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9

NĂM HỌC 2021-2022 Môn : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1 (3,5 điểm)

a) Rút gọn biểu thức

x A

   với x0,x4

b) Cho

3 5 13 48 2.

2 6

 Tính giá trị của biểu thức :

 2 3 12022

M  x  x

Câu 2 (3,0 điểm) Giải các phương trình sau :

a) x 2 2 x 1 3

b) x2 4x 5 2 2x3

Câu 3 (4,5 điểm)

a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương thỏa mãn phương trình :

2x  2y  5xy x  2y  3 0

b) Tìm số tự nhiên nđể : Bn2  82 36

là một số nguyên tố c) Tìm số tự nhiên nđể n2 3n 11 49 

Câu 4 (3 điểm)

a) Cho a1;b1;c1.Chứng minh 1 1 1 12

b  c  a  b) Tìm các số thực x để : x 3;x22 3và

2

x x



đều là các số nguyên

Câu 5 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABCvuông tại A Đường cao AH,trung tuyến AM H M( , thuộc

).

BC Gọi D, E thứ tự là hình chiếu của Htrên AB AC, .Chứng minh rằng :

a) AD AB AE AC 

b) AM vuông góc với DE

c) BD2CE2 BC2 3AH2

ĐÁP ÁN Câu 1 (3,5 điểm)

c) Rút gọn biểu thức

x A

   với x0,x4

0

4

2

2

x x

A

x

x x

x









d) Cho

3 5 13 48 2.

2 6

 Tính giá trị của biểu thức :

 2 3 12022

M  x  x

2

2

3 5 2 3 1

3 5 13 48

3 1

x



1 2 3.1 12022 1

M

Câu 2 (3,0 điểm) Giải các phương trình sau :

c) x 2 2 x 1 3

        

d) x2 4x 5 2 2x3

   

2

2

3

4 3 2 2 2 3

2

4 3 2 2 3 2

1 ( 3) 2 2 3 1

2 2 3 1

1 ( 3)

2 3 1 4

2 3 1

4

2 3 1

x

x x

x

x

x

       

 

 

 

 

Câu 3 (4,5 điểm)

d) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương thỏa mãn phương trình :

x y xy x y

x y xy x y

x x y y x y x y

x y x y

     

     

) 1; 2

m

x y



  

 Vậy x1;y2

e) Tìm số tự nhiên nđể : Bn2  82 36

là một số nguyên tố

16 100 20 100 36

Vì B là số nguyên tố nên

6 10 1; 6 10 à

6 10 1; 6 10 à





Mà n   n  0 n2 6n 10 1  Do đó:

2

2

6 10 1

3( )

6 10:

n n

n tmdk





 



f) Tìm số tự nhiên nđể n2 3n 11 49 

Giả sử tồn tại ntự nhiên sao cho n2 3n 11chia hết cho 49, khi đó ta có :

2

3 11 49 4 3 11 49

4 12 44 49 4 12 9 35 49 2 3 35 49 1

Do 35 và 49 đều chia hết cho 7 nên suy ra  

2

2n 3  7

Vì 7 là số nguyên tố nên    

2

2n 3 7  hay 2n 3  49 2

Từ (1) và (2) suy ra điều giả sử sai Vậy ta có đpcm

Câu 4 (3 điểm)

c) Cho a1;b1;c1.Chứng minh 1 1 1 12

b  c  a 

a b c  a  b  c 

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương ta có :

b  c  a  b c a  a b c

1

a

a

 Đẳng thức xảy ra khi a 4

Tương tự, ta có : 1 4; 1 4

b  c  Vậy

3

3 4.4.4 12

b  c  a  

Dấu bằng xảy ra khia b c   4

d) Tìm các số thực x để : x 3;x22 3và

2

x x



đều là các số nguyên

x

Từ a x  3 x a  3 ;b x 22 3 x2  b 2 3

2

Nếu  

1

b a

a

 

4

3 0

b

b a



 Với x 3 1  a1,b4,c2nguyên

Câu 5 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABCvuông tại A Đường cao AH,trung tuyến AM H M( , thuộc BC).Gọi D, E thứ tự là hình chiếu của Htrên AB AC, .Chứng minh rằng :

I

D

M

C

d) AD AB AE AC.  .

AHB

 vuông tại H có HDABtại D (gt)

AHC

 vuông tại H có HEACtại E (gt)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

2

.

.

AH AD AB

AD AB AC AE

AH AC AE





e) AM vuông góc với DE

AM là đường trung tuyến của ABCnên

1 2

AM MB MC  BC

(tính chất đường trung tuyến tam giác vuông)  AMBcân tại M ABM MAB

Gọi AM giao với DE tại I

Tứ giác ADHElà hình chữ nhật có O là trung điểm AH (gt) nên O là trung điểm

DE mà DE AH  OA OD OH OE    AODcân tại D nên OADODA

Mà OAD  B 90   ODA  B 90 , lại có  B MAB

90

        vuông tại I nên AM DE

f) BD2CE2 BC2 3AH2

Có :

BC  AH  BH HC  AH BH HC  BH HC AH

Mà BH HC AH2

BD CE HD HE AH BD CE DE AH

Mà tứ giác ADHElà hình chữ nhật nên DEAH  DE2 AH2

Do đó : BC2 3AH2 BD2CE2