SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2021 2022 MÔN TOÁN Thời gian làm bài 120 phút I PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) Câu 1[.]
Trang 1SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 NĂM HỌC 2021-2022
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài : 120 phút
I.PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)
Câu 1.Cho
3 3
1
2 3
2 3
Tính giá trị của biểu thức P a 3 3a 2022
Câu 2.Tính giá trị của biểu thức
.
Câu 3.Cho các số x y z, , thỏa mãn x y ; 0và
Tính giá trị của biểu thức 2
2 2
2 3
2
P
Câu 4 Giải phương trình
1
2 x 3x 2 3
x
Câu 5.Giải hệ phương trình
Câu 6.Tìm bốn chữ số tận cùng của 52022viết trong hệ thập phân
Câu 7.Cho hình vuông cạnh 2avà hai nửa đường tròn bán kính cùng bằng a, tiếp xúc nhau như hình vẽ Một đường tròn I tiếp xúc với hai nửa đường tròn đã cho
và tiếp xúc với cạnh của hình vuông Tính diện tích của hình tròn I
Trang 2Câu 8.Cho đường thẳng d :y m x 23với
3
2
Biết rằng đường thẳng
d luôn cắt trục tọa độ Ox Oy, tại hai điểm A B, phân biệt Tính giá trị nhỏ nhất của
Câu 9.Cho tam giác nhọn ABCcân tại A, đường cao AD,trực tâm H biết
AH cm BH 14 cm Tính độ dài đoạn AD
Câu 10 Trên bảng có 2022 số tự nhiên khác nhau từ 1 đến số 2022 Lần thứ nhất
xóa đi 2 số bất kỳ và viết tổng của chúng lên bảng, lúc này trên bảng còn 2021 số Lần thứ hai xóa đi 2 số bất kỳ và viết tổng của chúng lên bảng và cứ tiếp tục như vậy Hỏi lần thứ 2021, trên bảng còn lại số nào ?
II PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Câu 11.Giải phương trình nghiệm nguyên x42x36x2 4y232x4y39 0
Câu 12.Cho đường tròn O đường kính BCvà điểm A di động trên đường tròn
O (A khác Bvà C) Gọi Hlà chân đường vuông góc kẻ từ Ađến cạnh BCcủa tam giác ABC.Gọi D là trung điểm của HC.Qua Hkẻ đường thẳng vuông góc với AD
cắt ABtại E
a) Chứng minh rằng HD HE AD AH.
b) Chứng minh rằng Blà trung điểm của AE.Tìm quỹ tích điểm E
Câu 13 Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn ab a b 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 1
P
Trang 3ĐÁP ÁN I.PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)
Câu 1.Cho
3 3
1
2 3
2 3
Tính giá trị của biểu thức P a 3 3a 2022
2 3
Câu 2.Tính giá trị của biểu thức
.
Ta có:
1
2022 2
x
A
Câu 3.Cho các số x y z, , thỏa mãn x y ; 0và
Tính giá trị của biểu
thức
2
2 2
2 3
2
P
Ta có :
7
5
z x
P
y
Câu 4 Giải phương trình
1
2 x 3x 2 3
x
ĐKXĐ:
2 3
x
Ta có :
Trang 4
2
2
1
2
3 1
2
x
x
x
Câu 5.Giải hệ phương trình
ĐKXĐ:
1 0
x
y
Ta có : x2y x 1 x2 8y2 x2 4y2 x2y 4y2 2xy0
x 2y x 2y x 2y 2y x 2y 0 x 2y x 4y 1 0
Vì
1
2 0.
0
x
y
Do đó x4y1thay vào phương trình x y y x 1 x 2y được :
4y 1 y y 4y 4y 1 2y 2y 1 y 1 0 y 1 y 1
Hệ phương trình có nghiệm x y ; 5;1
Câu 6.Tìm bốn chữ số tận cùng của 5 2022viết trong hệ thập phân
Ta có : 5 8 1 5 4 1 5 4 1 16.39 5 4 1 16
Do đó 5 2022 5 5 6 8 252 5 5 6 8 1252 5 6 5 6
(mod 10000).Mà 56 15625
Do đó 4 chữ số tận cùng là 5625
Câu 7.Cho hình vuông cạnh 2avà hai nửa đường tròn bán kính cùng bằng a, tiếp xúc nhau như hình vẽ Một đường tròn I tiếp xúc với hai nửa đường tròn đã cho và tiếp xúc với cạnh của hình vuông Tính diện tích của hình tròn
I
Trang 5Gọi điểm tiếp xúc của 2 nửa đường tròn là E Hình vuông ABCD,đường tròn I tiếp xúc với AD tại P cắt PE tại Q và tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tại N Kẻ tiếp tuyến chung của đường tròn (I) với đường tròn (O) cắt AD tại M
Ta có MP MN MDnên PNDvuông tại N
thẳng hàng Dễ dàng chứng minh được DPEOlà hình vuông Xét DPQvà ODM có :
2
Suy ra diện tích hình tròn I là
2 16
a
Câu 8.Cho đường thẳng d :y m x 23với
3
2
Biết rằng đường thẳng d luôn cắt trục tọa độ Ox Oy, tại hai điểm A B, phân biệt Tính giá trị nhỏ nhất của 2 2
Gọi I x y 0 ; 0là điểm cố định mà đường thẳng d luôn đi qua với mọi m
Khi đó ta có : y0 m x 0 2 3 m x 0 2 3 y0với mọi m
Trang 6Suy ra
Suy ra tọa độ điểm I2;3 Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ Ođến AB
Áp dụng hệ thức lượng ta có : 2 2 2 2
13
13
Min
Trang 7Câu 9.Cho tam giác nhọn ABCcân tại A, đường cao AD,trực tâm H biết
AH cm BH 14 cm Tính độ dài đoạn AD
K
D
A
Gọi E là giao điểm của BH với AC Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC
Dễ dàng chứng minh được BHCKlà hình thoi ta có :
Hay ABKvuông tại B
Ta có BH2 BK2 KD KA. Đặt HD x 0 KD x
2
Do đó
7 105
Trang 8Câu 10 Trên bảng có 2022 số tự nhiên khác nhau từ 1 đến số 2022 Lần thứ nhất xóa đi 2 số bất kỳ và viết tổng của chúng lên bảng, lúc này trên bảng còn
2021 số Lần thứ hai xóa đi 2 số bất kỳ và viết tổng của chúng lên bảng và cứ tiếp tục như vậy Hỏi lần thứ 2021, trên bảng còn lại số nào ?
Mỗi lần xóa đi hai số a,b lại viết thêm lên bảng số bằng a b nên tổng các số trên bảng không thay đổi Do đó sau 2021 lần thực hiện thì trên bảng còn số
2022.2023
2
II PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Câu 11.Giải phương trình nghiệm nguyên x42x36x2 4y232x4y39 0
Ta có :
2 2
4 2 3 6 2 4 2 32 4 39 0 2 2 10 2 1
Suy ra x2 2x 10là số chính phương
Đặt x2 2x 10 a2 a2 x 12 9 a x 1 a x 1 9,a
Do a x1 a x1và a x1 0 nên chỉ xảy ra các trường hợp sau :
18 5
1 4
3
2
y x
x
x
y
4
1 3
y
Vậy phương trình có tập nghiệm x y ; 3;3 , 3;2 , 1;5 , 1; 4 , 5; 17 , 5;18
Trang 9Câu 12.Cho đường tròn O đường kính BCvà điểm A di động trên đường tròn O (A khác Bvà C) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ Ađến cạnh
BCcủa tam giác ABC.Gọi D là trung điểm của HC.Qua Hkẻ đường thẳng vuông góc với ADcắt ABtại E
I
E
K
D
B
A
a) Chứng minh rằng HD HE AD AH.
Ta có BAC 90 CADAEH và ACDBAH
( )
b) Chứng minh rằng Blà trung điểm của AE.Tìm quỹ tích điểm E
Mặt khác ADC∽ EHA
2
Hay B là trung điểm của AE
Gọi I là điểm đối xứng với O qua B Ta có :
( )
Vì O B, cố định nên I cố định Do đó điểm E chạy trên đường tròn I OA;
Trang 10Câu 13 Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn ab a b 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 1
P
Ta có
2
2
4
a b
a b ab a b a b
a b 2 a b 6 0 a b 2
a b a b ab a b a b Do đó :
2
2 2
2
P
Áp dụng BĐT Cauchy ta có :
2
a b
a b
3
12 a b a b 2 a b 2
Do đó :
3
P
Vậy
1
1 6
Max P a b