Cd tich phan ham an co dap an va loi giai

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM ẨN Chuyên đề phát triển từ câu 41 của đề tham khảo môn Toán 2021 của Bộ Giáo Dục KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1... Phân tích hướng dẫn giải 1.. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toá

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM ẨN Chuyên đề phát triển từ câu 41 của đề tham khảo môn Toán 2021 của Bộ Giáo Dục

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Các tính chất tích phân:

với a c b 

k f x x kf x x k 

d

b

b a a

f x x F x F b  F a



d

b

b a a

f x x f x f b  f a



2 Công thức đổi biến số: f u x u x dx      f u du u u x  ,   

 

     

 

 

 

u b b

f u x u x dx  f u du u u x

Phương pháp đổi biến số thường được sử dụng theo hai cách sau đây:

♦ Giả sử cần tính

 

b

a

g x dx



Nếu ta viết được g x  dưới dạng f u x u x     

thì

 

 

u b

b

g x dx f u du

Vậy bài toán quy về tính

 

 

 

u b

u a

f u du



, trong nhiều trường hợp thì tích phân mới này đơn giản hơn

♦ Giả sử cần tính

 

f x dx





Đặt x x t  

thỏa mãn  x a ,  x b 

thì

         

f x dx f x t x t dt g t dt







, trong đó g t  f x t   .x t 

T BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Cho hàm số

2 2

( )

f x



2

0







bằng:

A

23

23

17

17

3 .

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm giá trị của tích phân của hàm số.

2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Dựa vào biểu thức bên trong dấu tích phân, ta sử dụng phương pháp đổi biến số để xử lý bài toán.

B2: Sử dụng tính chất

f x x f x x f x x  c a b

B3: Lựa chọn hàm f x  thích hợp để tính giá trị tích phân.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn B

Xét

2

0



1

Đổi cận:

3 2

.



.

Bài tập tương tự và phát triển:

⮲ Mức độ 3

Câu 1 Cho hàm số

2 2

e

2

0 ( )

0

f

x

x

khi x x





 



1

e

f x x



 



(

a

b là phân số tối

giản) Giá trị a b c  bằng

Lời giải Chọn C

Ta có:

4

Vậy a b c  9.

Câu 2 Cho hàm số

 2 1

3 ( )

3

1 4

khi x

f x

kh















4

2 e

e

(ln ) d

f

x



bằng:

A

40

ln 2

95

ln 2

189

ln 2

189

ln 2

Lời giải

Chọn D

Xét

4

2

(ln ) d

e

e

f

x

1

x

Đổi cận:

2 4

2 2

1

2

4

189

4

x

.

Câu 3. Cho hàm số

1 )

1

1 1

(

x

khi x

f x

khi

x

x









  Tích phân 2

3

1 1

n

x









(

m

n là phân số tối giản), khi đó

2

m n bằng:

Lời giải Chọn A

Xét

3 1 7





Đặt t31 x 3t t2d dx

Đổi cận:

25

12

I  t f t t x f x x  x x x x x 

.

Câu 3 Cho hàm số f x  liên tục trên  và  

1 0

f x x 



,

  3 0

f x x 



1 1



A I 3 B I 5 C I 6 D I 4.

Lời giải Chọn B

Đặt u2x1

1

2

Khi x 1 thì u 1 Khi x 1 thì u 3.

3 1

1

d 2



1

1

.

Xét

  1 0



Đặt xu  dx du Khi x 0 thì u 0 Khi x 1 thì u 1.

Nên

  1 0

1 0

d



0 1

d



.

Ta có

  3 0

3 0

.

Nên

1

2



2

.

Câu 4 Cho F x 

là một nguyên hàm của hàm số f x  1 x  1 x

trên tập  và thỏa mãn F 1 3

Tính tổng F 0 F 2 F3

.

Lời giải:

Chọn C

Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối:

Ta có:        

2 1



mà  

nên F 2 5

.

1

0



mà

 

2 1 0

nên F 0 2

.

0 1





mà  

2 0 1

nên F  13

.

1 3







mà

 

nên F  3 7

Vậy F 0 F 2 F3   2 5 7 14

.

Câu 5 Biết

5

1

x

x

với a b  , Tính S a b.

A S 9 B S 11 C S 3 D S 5.

Lời giải:

Chọn D

Ta có

2

x



Do đó

.

5ln 2  2 2 3ln  5

4 8ln 2 3ln 5



8 3

a b









Câu 6 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f x 33x13x2

, với mọi x  

 

5

d

xf x x



A

31 4



17

33

49

Lời giải Chọn C

Từ giả thiết ta có f x 33x1 3x2

nên suy ra f  1 2, f  5 5.

5 1

I xf x x xf x   f x x  f x x

Đặt x t 3 3 1t  dx3t2 3 d t

Với x 1 t0;x 5 t1

Do đó

59

4

Vậy

23

.

Câu 7 Cho hàm số yf x 

xác định và liên tục trên  thoả f x 54x3 2x   1, x

Tích phân

  8

2 f x dx



32

Lời giải Chọn B

Đặt x t 5 4t 3 dx5t44dt

.

Đổi cận:







.

Câu 8 Cho hàm số yf x( )xác định và liên tục trên  thỏa mãn 2 f x( )33 ( ) 5f x  x với   x .

Tính

10

5 ( )

I f x dx

.

A I 0 B I 3 C I 5 D I 6

Lời giải Chọn B

Đặt tf x( ) 2t33t  5 x dx(6t23)dt và

3

3

Vậy

2

I f x dxt t  dt 

.

Câu 9 Cho hàm số f x  xác định

1

2

 

 

 



thỏa   2 ,  0 1

x

 và f  1 2. Giá trị của biểu thức f  1  f  3 bằng

Lời giải

Chọn C

Ta có   2

f x

x



 

1

2

1

1

2

x









 0 1 1 1

f   C  và f  1  2 C2 2.

Do đó

 

 

 

1

2

2

f x

f







Câu 10 Cho hàm số

( )

2

f x

x





  2

2







bằng A.

15

17

2 .

Lời giải:

Chọn A

Đặt tsinx dtcosxdx Đổi cận

1 2

1 2











   

Do

( )

2

f x

x







2

15

2



.

Câu 11 Cho hàm số

( )

3 h

2



1 0

3 2

I f  x dx

bằng A.

41

41

41

21.

Lời giải Chọn C

Đặt

1

2

t  x dt dx dx dt

Đổi cận





Do

( )

3 h

2





   

2

.

Câu 12 Cho hàm số

khi

2 ( )

3

2

2

f x

x

x

x









 





2 0



bằng A.

35

19

10

3 .

Lời giải:

Chọn A

Đặt tcosx 1 dt sinxdx Đổi cận

1 2









Do

khi

2 ( )

3

2

2

f x

x

x

x









 







3

2 2

2 3 1

2

35

12

.

Câu 13 Cho hàm số

( )

f x

x







  2

2







bằng A.

2 3



1 3



4 3



Lời giải:

Chọn A

Đặt tsinx dtcosxdx Đổi cận

1 2

1 2











   

Do

( )

f x

x









2

2 3



.

Câu 14 Cho hàm số

( )

1

3

f

x

x x

x











0

1

I xf x  dx

bằng

A.24 B.

73

74

Lời giải:

Chọn B

Đặt

2

t x   dt xdx xdx dt

Đổi cận





Do

( )

1

3

f

x

x x

x













2

.

Câu 15 Cho hàm số

1

2 ( )

1

4 khi

2

f x







 Tính tích phân

2

0





.

17

13

21

Lời giải:

Chọn B

Xét

2 0



Đặt sin x t  cos dx xdt

Với x  0 t 0

x 2







17

4

I f t tf x xf x xf x x x xx x

Câu 16 Cho hàm số

2

2

( )

f x





3

0







.

A

33

15

19

24 .

Lời giải:

Chọn D

Xét

3 0



Đặt 3cosx 2t 

1

3

Với x  0 t 1

x 3







1 2

t 

2



Câu 17 Cho hàm số

2

( )

f x



 Tính tích phân

4

2











.

A

11

43

31

31

10.

Lời giải:

Chọn C

Xét

4

2







Đặt 5sin 2x1t 

1

10

Với x 2





4

x

2

Câu 18 Cho hàm số

3

( )

f x



1

1

e

e

x





.

A

69

25

Lời giải:

Chọn A

1

1

e

x

Đặt 2 ln x t  

1

dx dt

Với

1

x e



x e  t 3

3

69

2

I f t tf x xf x xf x x  x x x  x x

Câu 19 Cho hàm số

2

( )

f x



 Tính tích phân ln 2  

0

3 x 1 e dx



.

A

13

102 33



94 9



25

9 .

Lời giải:

Chọn C

ln 2

0

I f e  e x

Đặt 3e x 1 t 

1

3

e x t e x t

Với x  0 t 2

ln 2

2

I  f t t f x x f x x   x x   x x

⮲ Mức độ 4

Câu 1 Giá trị của tích phân

2

0 max sin , cosx x xd





bằng

1

2 .

Lời giải Chọn C

Ta có phương trình sinx cosx0 có một nghiệm trên đoạn

0;

2



  là x 4





Bảng xét dấu

Suy ra

4



0

4







.

0

.

A

9

17

19

11

4 .

Lời giải:

Chọn B

Đặt f x x3 x

ta có bảng xét dấu sau:

Dựa vào bảng xét dấu ta có.

.

s x 1;2 , f x  0 x3 x 0 x3  x maxx x3,  x3

.

2

3 0

max x x x, d max x x x, d

.

2

3 0

.

Câu 3 Cho hàm sốyf x liên tục trên \ 0; 1   thỏa mãn

 

 

      2

1

f













Tính a2b2.

A.

25

9

5

13

4 .

Lời giải Chọn B

Ta có x x 1  f x  f x x2x (1)

Chia cả 2 vế của biểu thức (1) cho x 12

ta được

 

 2  

1

f x





  , với  x \ 0; 1   .  

1

x

f x

x x x







1

x

x



Mặt khác, f  1 2 ln 2  2 1 ln 2  C 2ln 2 C 1

Do đó f x  x 1x ln x 1 1

x



Với x 2 thì   31 ln 3 3 3ln 3

Suy ra

3 2

a 

và

3 2

b 

Vậy

2 2 9

2

a b 

.

Câu 4 Cho hàm số yf x 

có đạo hàm trên  thỏa mãn

   







,

x y   Tính  

1 0

1 d



A.

1

1 4



1

7

4.

Lời giải Chọn C

Lấy đạo hàm theo hàm số y

    3 2 6

f x y  f y  x  xy

,   x Cho y 0 f x  f 0 3x2  f x  1 3x2

 f x f x dx x   3 x C mà f  0 1 C 1 Do đó f x  x3 x 1

.

Vậy

1 0

1 d

0 1 d

f x x





0 3 1

1

1 d

4





.

Câu 5 Cho hàm số f x 

có đạo hàm liên tục trên 0;1

thỏa mãn f  1 0

,

 

1

2 0



và

 

1

2

0

1 d 3

x f x x 



Tích phân

  1

0 d

f x x



bằng

A.

7

7

Lời giải Chọn A

Ta có

1

2



Suy ra

 

1 3 0

1

x f x dx

Hơn nữa ta dễ dàng tính được

1 6 0

1 d

x

x 



Do đó

1

2 3 0

Suy ra f x 7x3, do đó   7 4

4

Vì f  1 0 nên C74

Vậy

4

.

Câu 6 Xét hàm số f x 

có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện f  1 1

và f  2 4

Tính

2

2 1

d



.

A J  1 ln 4 B J  4 ln 2 C

1

ln 2 2

1

ln 4 2

J  

Lời giải

Chọn D

Ta có

2

2 1

d

.

2



2

2 1

d

   

2

1

Câu 7 Cho hàm số f x( ) xác định trên \2;1

thỏa mãn

  2 ,  3  3 0,  0 1

2

1

3

  Giá trị của biểu thức f 4 f  1  f  4 bằng

A

ln 20

ln 2

Lời giải Chọn B

1

f x

 

1

2

3

1

3

1

3

x













3 10

.

Câu 8 Cho hàm số f x 

xác định và liên tục trên  đồng thời thỏa mãn

 

 

2

0,

1 0 2

x

f

















Tính giá trị của f ln 2

.

A ln 2 1

4

B ln 2 1

3

C ln 2 ln 2 1

2

D   2 1

2

Lời giải

Chọn B

Ta có f x  e f x 2 x

 

  2

x

f x

e



( do f x   0)

 

 

f x



Mà  0 1 01 1 1

  1 ln 2 ln 21 1

x

Câu 9 Cho hai hàm f x 

và g x 

có đạo hàm trên 1;4

, thỏa mãn

   











1;4

x 

Tính tích phân    

4 1

I  f x g x dx

.

Lời giải Chọn D

Từ giả thiết ta có f x g x  x f x   x g x  

        0

f x x f x g x x g x

         x f x  x g x  0

x

4

x

Câu 10 Cho hai hàm f x( ) và g x( )có đạo hàm trên 1;2 thỏa mãn f(1)g(1) 0 và

  2

3

2

1

x

x

x x

x







 



 



Tính tích phân

2 1

1

1







.

A

1 2

I 

B I 1 C.

3 2

I 

D I 2 Lời giải

Chọn A

Từ giả thiết ta có:

  2

2

1

1

x

x x









 



 



Suy ra:

1

1









Câu 11 Cho hàm số

( )

f x



 Tính tích phân 2  2 

0







.

A

21

13

20

5

6.

Lời giải:

Chọn A

Xét 2  2 

0



Đặt

3

Với x  0 t 1

2

x

   

3

( )

f x







 Tính tích phân 13  

1

3 2 d



.

A

231 5



97

16

113

Lời giải:

Chọn B

1

3 2 d

Đặt x 3 2 t x   3 t 2 x  3 (t 2)2 dx2(t2)dt

Với x  1 t 0

13

x   t 2

2

97

6

Câu 13 Cho hàm số

( )

f x





 Tính tích phân

2

2

4











.

A

2

1

21

5

12.

Lời giải:

Chọn A

Xét

2

2

4







Đặt

4

Với x 4





2

x

Câu 14 Cho hàm số

4 2

2

( )

f x





4

1

1

e

x





.

A

16

11

6

11.

Lời giải:

Chọn C

4

1

1

e

x

Đặt

2 1

x

Với x  1 t 2

4

x e  t 0

I t f t t x f x x x f x x x f x x

11

6

Câu 15 Cho hàm số

2



4

2 4

1

cos

x











.

A

201

34

155

109

21 .

Lời giải:

Chọn D

Xét

4

2 4

1

cos

x







x

Với x 4





4

x

2

Câu 16 Cho hàm số

( )

f x

x







2 2



bằng A.

7

8

10

3 .

Lời giải:

Chọn D

Ta có:

2 2

1 2



Đặt tsinx dtcosxdx Đổi cận

1 2









1

2

Do

( )

f x

x









2 1

2 3



.

Đặt

1

2

t  x dt  dx dx dt

Đổi cận





2

Do

( )

f x

x









2 2

4



Vậy 1 2

10 3

I  I I 

Câu 17 Cho hàm số

( )

4

2

x

f x





2

2

1 1

x





Lời giải:

Chọn A

Ta có:

2

1 2 2

1 1

x





Đặt t x2 1 t2 x2 1 2tdt2xdx xdx tdt Đổi cận





1

Do

( )

4

2

x

f x







2 1 1

.

Đặt

2

t e  dt e dx e dx dt

Đổi cận





   

2

Do

( )

4

2

x

f x





 10 2 5

1

2

Vậy I  I1 I2 84

Câu 18 Cho hàm số

( )

2

1

x

f x

  1   2   3

0 4

tan







với

a

b là

phân số tối giản Giá trị của tổng a b bằng

Lời giải:

Chọn A

  1   2   3

1 2

0 4

tan







1 tan

cos

x

Đổi cận

1 4

3 3











   

1

Đặt  2 

1 1

2









2

Do

( )

2

1

x

f x



1

3

1 2

Vậy a b 69

Câu 19 Cho hàm số

khi 0 x<2 ( )

1

5

2 2

i











 

 

2

ln

với

a

b là

phân số tối giản Giá trị của hiệu a b bằng

Lời giải:

Chọn A

 

2 6

2

1 2

ln

x

Đặt

1 ln

x

Đổi cận 2

2





1

Đặt t x2 1 t2 x2 1 2tdt2xdx xdx tdt Đổi cận





2

Do

khi 0 x<2 ( )

1

5

2 2

i













1 2

Vậy a b 77

Câu 20 Cho hàm số

( )

f x



 

2 2

0

ln

e

e



với

a

b là

phân số tối giản Giá trị của tích a b bằng

A 305 B 305 C 350 D 350.

Lời giải:

Chọn B

 

2 2

1 2 0

ln

e

e

x



dt

Đổi cận

1 2









1

Do

( )

f x





2



.

Đặt

1 ln

x

Đổi cận 2

1 2





2

Do

( )

f x





 

2 2 1

29 1

6

.

1 2

377

72

Vậy a b 305