200 câu trắc nghiệm vận dụng cao nguyên hàm tích phân và ứng dụng có đáp án và lời giải

Gọi là sình phẳng giới hạn bởi các đường Tam giác cong .Diện tích hình hình phẳng cần tính là: Câu 143: Cho hình chữ nhật có , như hình vẽ... Chọn hệ trục tọa độ sao cho Bài toán trở th

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN- DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO

I NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

Câu 1: [2D3-3] [ĐỀ SỞ BẮC GIANG 2018] Cho hàm số f x( )

có đạo hàm trên đoạn [ ]0;1

1d4

 

với

1

; 22

∈  

Tính

( )2

∫

A

32

32

−

92

92

−

Lời giải Chọn A

Đặt

( )2

1 2

Lời giải Chọn D

3

t x

Lời giải Chọn A.

3 2

3 2

Theo giả thiết ta có:

−

( )

3 2

3 2

Tính

2017 1

=

I

Lời giải Chọn D.

+

= a b

I

Lời giải Chọn D.

,

x a= ⇒ =t b x b= ⇒ =t a

a b

Cách 2: Từ giả thiết f x( ) =xf x′( )−2x3−3x2 ⇒ ( ) ( )

xf x f x

x x

Nhận xét: Đặc điểm chung của các bài toán này là đi từ khai thác đạo hàm của một thương,

tích các hàm hoặc đạo hàm của hàm hợp Ta có thể nêu một số dạng tổng quát sau:

Câu 11: [2D3-3] Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc

Vận tốc ô tô tại thời điểm bắt đầu phanh là:

1 5 35 /

.Vận tốc của chuyển động sau khi phanh là:

32

Lời giải Chọn D

Đặt

2 ln 2

2

x x

Câu 14:[2D3-3] [SGD Thanh Hóa- KSCL 14/4- Mã đề 101] Cho hàm số

1 8

I =

C I =2

5.2

I =

Lời giải Chọn D.

e e

1 2

d

f x x x

∫

52

Lời giải Chọn A.

4

( )

0 4

d4

Vậy

( )

2 0

1dx= ln 2 ln 3 ln 5

a

b

∫

x x

Chọn B

( ) 3 2 5 4 min[ ] ( ) min[ ]( 3 2 5 4) 25

12020.2021

12018.2020

154

458

5 74

Lời giải

Chọn C.

Phân tích: Nhận thấy

( )( )f3x 3 ( ) ( ) 2

17

155

−

111

1d11

3

21

−

3 4ln 22

−

1 ln 22

−

Lời giải

Chọn A.

f x

x x

2.5

C

3.5

D

4.5

Lời giải Chọn C.

Nhận xét: Từ giả thiết bài toán ta biến đổi về công thức đạo hàm và sử dụng định nghĩa tích

5

.2

B.2

.2

e

Lời giải Chọn A.

4

92

52

134

Lời giải Chọn B.

a=

và

32

3 d

I = ∫ t t 213

1432

=

Câu 32:[Sở Bắc Ninh Lần 2-2018] Cho hàm số

Gặp những bài toán mà giả thiết cho dạng

( )( )

u x

b x

.Khi có

( )2 e6

( )2 e23

( )2 e26

P= −

B

72

P=

C

52

P=

D P=2

Lời giải Chọn C.

Câu 36: Cho tích phân

3 2 6

tancos

B

731

C

516

−

D

132

Lời giải Chọn C.

dcos

f x− x=

∫

1 2 0

d1

−

∫ f x x x

2ln

9

5ln9

7ln9

8ln9

Lấy tích phân hai vế ta có:

1

2

2 1

Câu 44: [ THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước, lần 4, năm 2018 - Câu 47]

Lời giải.

Chọn A

Phân tích: Biểu thức trong tích phân có tổng của hàm logarit và hàm phân thức nên ta tách thành

2 tích phân dạng thường gặp Một là tích phân của hàm đa thức và hàm logarit ta dùng tích phântừng phần, một là tích phân của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất cơ bản

3

x x

d x x

f x

+

∫

A B C D

Lời giải Chọn D

Câu 50: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên và thỏa mãn Giá trị

Lời giải Chọn B

x f x′ − x= f

∫

( )1 0

d

I =∫ f x x

12

Câu 53: Cho hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn

Lời giải Chọn B.

0 0

⇔ x + f x =∫xde x ⇔ f − f =xe x −∫e dx x

1 0

Câu 55: [Chuyên Hùng Vương Bình Dương,thi lần 5,năm 2018]Cho hàm số liên

 

( )2

1 2

f x+ x=

2 0

2d

Câu 60: Biết với , , là các số nguyên dương Tính

+ +

Câu 63: Biết , với Tính

8f 2 4 f t td

1 0

2019.2

Tính

Lời giải Chọn B.

Hàm có nguyên hàm là

Lời giải Chọn C.

x x

Lời giải Chọn B.

Ta có

Lời giải Chọn A.

2

I

=+

2

I

a b

=+

ab

a + b

00

0

a a

π

Do

Lời giải Chọn A.

Câu 76: [Trường THPT Quỳnh Lưu 1, tỉnh Nghệ An, lần 2, năm 2018 ]

giản Mệnh đề nào sau đây đúng?

Do nên ta chia cả hai vế của cho ta được

Câu 78: [THPT QUỲNH LƯU 2, NGHỆ AN, lần 1, 2018] Cho hàm số có đạo hàm và liên

Hướng dẫn giải Chọn C.

0

I = ∫ f x  x ( ) 3 3 ( ) ( )

0 0

2

Câu 83: Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên , có , Biết rằng

biệt

1 1

3

1d2

0

1d2

f x

x

f x

A B C D.

Lời giải Chọn B

( )2

1

2d

1 2

−

=+

1 1

2d

1 2

−

=+

Kết hợp với giả thiết ta được

Mở rộng: Làm tương tự ta có bài toán tổng quát:

Câu 86: [SGD Quảng Nam - 2018] Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn , và

Lời giải Chọn D

172

192

Trong (*) thay được , suy ra

2

I

=+

2

I

a b

=+

ab

a + b

Xét tích phân

Đặt

00

0

a a

f a b x x+ −

∫

t a b x= + − ⇒ t= − x

Ta có

Do

Câu 91: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Biết , trong đó là các số tự

1cos

a b dx

A B C D

Lời giải Chọn A.

Ta có

Câu 92: Biết , trong đó và là các cặp số tự nhiên nguyên tố cùng nhau Khi

1cos

cos

dx x

3

x x

sincos

sincos

1tancos

Câu 93: Biết , trong đó là các số tự nhiên đôi một nguyên tố cùng nhau Khi đó

a b dx

4

x d x

F t

t

=

Ta có 2

( )

6 2

x a

x f x′

Mà

1 10 0

1dx11

10− f x ≥0 x∈¡

( )3

Câu 98: [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Cho hàm số , liên tục trên và

Lời giải Chọn D.

2

4 4

m m

π π

π π + +

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần và giả thiết bài toán, ta được:

Lời giải Chọn B

x t

x t

1 3ln 2

C C

Vậy .

Lời giải Chọn A.

ππ

Lời giải Chọn B

( ) ( )

0

1

1

ln 21

11

Cách 2.

Lời bình: Với cách làm này, chỉ cần học sinh nắm rõ nguyên tắc tìm một hàm số đại diện cho

lớp hàm số thỏa mãn giả thiết bài toán là có thể dễ dàng tìm được kết quả bài toán bằng máy

2d3

d3

cos

1 6

cos

1 6

3

9 4

1 6

1

d sin3

9

1 6

13

sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần ta được :

Câu 114:Cho là số thực dương Biết rằng là một nguyên hàm của hàm số

4

2 2

'( )d

I =∫t f t t

2 2 0 0

x

1

 F(2018)=e2018

;0

2017

2017 2018 2018 2018 2

và

Lời giải Chọn C

25

8

a b

a b

Theo giả thiết

Câu 121: Biết rằng trên khoảng hàm số có một nguyên hàm

Lời giải.

Chọn B

215

35

2 ( ) 3 (1f x + f −x) = 1 −x (1)

1

t= −x (1) 2 (1f − +t) 3 ( )f t = t 2 (1f − +x) 3 ( )f x = x (2)

Câu 126: [2D3-3][Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018]Cho tích phân

trong đó , là các số nguyên Khi đó tỉ số bằng:

Lời giải Chọn B

Khi đó:

Câu 128: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số có đạo

Lời giải Chọn C.

Câu 129: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số có đạo

Lời giải Chọn A.

14

154

−

Câu 134: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho là một nguyên hàm

11009

12018

C F

Câu 135: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho là một nguyên hàm

Lời giải Chọn A.

12 12

12 12

π π

π π

ò

( ) ( )

=-Câu 136: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số xác định trên

Lời giải Chọn C.

Vậy .

Câu 137: Một vật chuyển động với vận tốc thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là

Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian giây kể từ khi vật bắt đầutăng tốc

A

Lời giải

Do

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc là

Câu 138: Một ô tô đang chạy với tốc độ thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển

lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được baonhiêu mét

2

201m

4

81m

4

65m

10 ( / )m s

Lời giải Chọn B.

Câu 139: Một vật chuyển động với vận tốc thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là

Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian giây kể từ khi vật bắt đầutăng tốc

Lời giải

Do

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian

giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc là

2

201m

4

81m

4

65m

Câu 140: Biết rằng trên khoảng hàm số có một nguyên hàm

32

54

Gọi là sình phẳng giới hạn bởi các đường (Tam giác cong ).

Diện tích hình hình phẳng cần tính là:

Câu 143: Cho hình chữ nhật có , (như hình vẽ)

Chọn hệ trục tọa độ sao cho

Bài toán trở thành: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi:

quay quanh trục

Cách khác:

có chiều cao là và bán kính đáy là

1 2 96

V V V= − = π

Câu 144: Cho hình thang vuông có , , Gọi là trung điểm

Lời giải

Chọn B.

Bài toán trở thành: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi:

Câu 144: Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây.

của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol Tính thể tích của vật thể đã

5

Oxy

Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi / phút Khi chiều cao

chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm ?

Chiều cao khối trụ bằng

Xét thiết diện chứa trục theo phương thẳng đứng của đồng hồ cát là parabol Gọi là đường

Parabol phía trên Chọn hệ trục như hình vẽ

Đường tròn thiết diện có chu vi bằng suy ra bán kính của nó bằng

Thể tích phần cát ban đầu chính bằng thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay nhánh phải của

Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol,hỏi thể tích của thùng rượu là bao nhiêu?

Lời giải

Chọn D.

2 0

+ Đổi dữ liệu sang đơn vị dm :

+ Chọn hệ toạ độ như hình vẽ

Gọi phương trình

Vậy phương trình của

a b c

1,5m 2m

5m

Câu 147: Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường

nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn)

Lời giải

Chọn C.

Diện tích của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm số

Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là

(đồng)

Câu 148: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng và , biết rằng thiết diện của vật

( 2,5) ( 2,5) 1,5( 2,5) (2,5) 1,52

a b c

y= − x +

S

2

2225

2,5

2 2,5

2

225

Diện tích thiết diện là

Câu 149: Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng , trục nhỏ bằng Người ta thiết kế một

mảnh nhỏ hình thoi có bốn đỉnh là bốn đỉnh của eip trên để trồng hoa, phần còn lại trồng rau

Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn)

Lời giải Chọn B

Diện tích phần hoa là:

Diện tích phần rau là:

Vậy thu nhập đến từ mảnh vườn là:

Câu 150: Ở quảng trường một thành phố A có một miếng đất hình tròn đường kính Trong lòng hình

tròn đó người ta dự định trồng hoa hồng trên một miếng là hình elip có trục lớn bằng đườngkính và trục bé bằng một phần ba đường kính đường tròn trên ( tâm của đường tròn và elip

làm tròn đến hàng nghìn)

3 sin4

A B C D

Lời giải Chọn B

Diện tích hình tròn là:

Diện tích elip hay diện tích trồng hoa là:

Diện tích phần làm hồ là:

Vậy chi phí để thành phố phải bỏ ra là:

Câu 151: Cho là hình phẳng giới hạn bởi parabol và nửa đường tròn có phương trình

Lời giải Chọn D.

2d

Cách khác:

, trục hoành, đường thẳng x a= ; S là diện tích2

hình phẳng giới hạn bởi các ( )C

, trục tung, đường thẳng y b= ;S là diện tích hình phẳng giới

hạn bởi trục tung, trục hoành và hai đường thẳng x a y b= , = Khi so sánh S1+S2và S , ta nhận

được bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức dưới đây?

( )P y: = 3x2 ( )C y: = 4−x2 M( ) (1; 3 ,M' 1; 3− )

2 1

0

3

6d

a p

S =∫x dx−

0

a p

x p

x p− y y p−

.Mặt khác:

0

b p

S y −dy

0

1

b p p

p y p

Câu 153: Cho hình thang cong ( )H

giới hạn bởi các đường y e= x,y=0,x=0,x=ln 4 Đường thẳng

A

25ln4

k =

9ln4

k =

8ln3

k=

5ln2

k x

S =∫e dx

0

k k

x k

●

4 2

0

S +S =∫x dx

4 3 0

64

k

x kx

k k k

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )P

và trục hoành:

2 2 0

42

f m Min =  ÷  

khi

43

m=

Khi đó

4 8( ; )

x +y =

Câu 156: [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi

Lời giải Chọn D.

Gọi là thể tích khối tròn xoay do quay quanh

Câu 157: [Chuyên KHTN, Hà Nội, lần 2, năm 2018 - Câu 9]

Lời giải Chọn C

92

12

+) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và là suy ra

Câu 158: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và đồ thị hàm số

Lời giải Chọn A

1

=

x x =1; y =0

1

1

ln 22

x

+) Chọn A.

Câu 159: Cho hàm số có đồ thị , biết rằng đi qua điểm

Tiếp tuyến tại của cắt tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình

S

.2ln2

12

12ln2

112

121

12ln2

1log2

19

25

29

( 1;0)

A − ( )C ⇒ + + =a b c 0

( 1;0)

A − ( )d : y= y' 1( ) (x+1) ⇔ = − −y ( 4a 2b x) ( +1)

+) Phương trình hoành độ giao điểm của và đồ thị là

+) Có

Câu 160: Cho parabol và hai điểm thuộc sao cho Diện tích hình phẳng giới

34

43

32

+) Gọi đường thẳng

S≤

Câu 161: [THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, lần 2, 2018] Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình

Lời giải Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm là

Thể tích cần tìm là:

Câu 162: Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng , trục nhỏ bằng được chia thành 2 phần

bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn

Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn )

Lời giải Chọn B

,

13

Chứng minh: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip : (với ) là

trục đối xứng của elip nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip là

Câu 163: Một quả đào hình cầu có đường kính Hạt của nó là khối tròn xoay sinh ra bởi hình Elip

khi quay quanh đường thẳng nối hai tiêu điểm , Biết tâm của Elip trùng với tâm của khối

A B C D

Lời giải Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ sao cho tâm Elip trùng với gốc tọa độ , hai tiêu điểm nằm trên trục

Thể tích khối tròn xoay khi quay Elip trên quanh trục lớn là:

Câu 164: Trong mặt phẳng cho đường Elip có độ dài trục lớn là , độ dài trục nhỏ là ;

đường tròn tâm đường kính là như hình vẽ Tính thể tích vật thể tròn xoay

' 8

có được bằng cách cho miền hình phẳng giới hạn bởi đường Elip và đường tròn (phần hình

phẳng được tô đậm trên hình ve) quay xung quanh trục

Lời giải Chọn B

Câu 165: Từ một tấm tôn hình chữ nhật với Người ta cắt miếng tôn

theo đường hình sin như hình vẽ bên để được hai miếng tôn nhỏ Biết ,

Lời giải Chọn C

x

y a=  +b

 ÷

 

Do đồ thị hình sin đi qua , nên ta có:

Câu 166: [THPT CHUYÊN LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] Một vật chuyển động trong bốn giờ với vận

giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh và trục đối

xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại vật chuyển động chậm dần đều Tính quãng đường

mà vật di chuyển được trong giờ đó ( kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

(0; 20)

;153

3 3

Lời giải Chọn A

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ đến giờ

c

a b c b a

a b c

Câu 167: Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , , với

Lời giải Chọn B.

parabol, mỗi đường parabol có đỉnh là trung điểm mỗi cạnh dài và đi qua hai mút của canh dài đối diện Tính tỉ số diện tích phần mảnh vườn nằm ở miền trong hai parabol với diện tích phần còn lại

Lời giải Chọn D

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Khi đó tỉ số diện tích phần mảnh vườn nằm ở miền trong hai parabol với diện tích phần còn lại là:

13

33

12

2 3 27+

2

29

29

y= − x +

2

29

29

y= − x +

3 2

Câu 169: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường Đường thẳng

0

643

Câu 170: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (P) của hàm số và trục hoành Hai đường

Câu 172: Cho khối trụ có chiều cao Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng ta được thiết diện là hình elip có

độ dài trục lớn bằng Thiết diện chia khối trụ ban đầu thành hai nửa, nửa trên có thể tích ,

nửa dưới có thể tích Khoảng cách từ một điểm thuộc thiết diện gần đấy dưới nhất và điểm

thuộc thiết diện xa đáy dưới nhất tới đáy dưới lần lượt là và Tính tỉ số

Lời giải

Chọn B.

1120

911

920

611

Ta dễ dàng tính được bán kính của khối trụ

Câu 173: Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , cung tròn có phương trình

và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ bên) Tính thể tích V của

vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng quanh trục

V V

Tọa độ giao điểm là nghiệm số phương trình

Thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay quanh hình

Vậy đáp án D

Câu 174: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho đường tròn có đường kính bằng và

đường Elip lần lượt nhận đường kính vuông góc nhau của đường tròn làm trục lớn, trục bé của mỗi Elip đều bằng Diện tích phần hình phẳng bên trong đường tròn và bên ngoài Elip (phần gạch carô trên hình vẽ) gần với kết quả nào nhất trong kết quả dưới đây?