02 Ham so p1 bgiang LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng Trung tâm Luyện thi Đại học Moon vn – 25B/66 Thái Thịnh 2 www moon vn 02 CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VỀ HÀM SỐ P1 (Tài liệu[.]
Trang 102 CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VỀ HÀM SỐ - P1
(Tài liệu bài giảng)
I MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ CỰC TRỊ VÀ TIẾP TUYẾN
DẠNG 1 TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ
Bài 1: Cho hàm số y= −x3 (m−1)x2+(3m+1)x+ −m 2
Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm (2; 1) A −
Đ/s : m= −2
(2 1) ( 3) 2
y= −x m+ x + m+ x−
Gọi d là tiếp tuyến tại điểm x0 =2. Tìm m để ( ; ) 7
17
d O d =
Đ/s : 1; 2153
1313
m= m=
Bài 3: Cho hàm số 3
2
x y
x
−
= + Viết pttt biết tt cách đều hai điểm ( 1; 2), (1; 0)A − − B
Đ/s : y= − −5x 1
Bài 4: Cho hàm số y= −x3 6x2+9x−1 Viết pttt biết tt cách đều hai điểm (2; 7), ( 2; 7)A B −
Đ/s : y= −1;y=3;y=24x+7;y= − +3x 7
Bài 5: Cho hàm số 1 3 2
y= x − +x
Tìm điểm M trên đồ thị sao cho tt tại M vuông góc với đường thẳng : 1 2
3 3
d y= − x+
Đ/s : ( 2; 0), 2;4
3
Bài 6: Cho hàm số 4 2
6
y= − − +x x
Viết pttt với đồ thị, biết tt vuông góc với đường thẳng : 1 1
6
d y= x−
Đ/s : y= − +6x 10
Bài 7: Cho hàm số y= −x3 6x2+9x−2 Viết pttt tại đểm M thuộc đồ thị, biết rằng M và các điểm cực trị
tạo thành một tam giác có diện tích bằng 6
Đ/s : M(0; 2),− M(4; 2)
Bài 8: Cho hàm số 3, ( )
2
x
x
+
=
− và đường thẳng d y: =2x+m
Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tâm I của đồ thị các đều các tt với đồ thị tại A, B
Đ/s : m= −3
Bài 9: Cho hàm số
3
3 4
y= + −x Viết pttt biết tt song song với đường thẳng d x: + − =y 8 0
Trang 2Đ/s : ; 9
16
y= −x y= − +x
Bài 10: Cho hàm số
2
4 2
x x
y= + +
Viết pttt với đô thị biết khoảng cách từ điểm (0;3)A đến tt bằng 9
4 5
Đ/s : x0 = ±1
Bài 11: Cho hàm số 1
2( 1)
x y x
−
= +
Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyên tại M cắt các trục tọa độ tại A, B đồng thời trọng tâm của tam giác OAB thuộc đường thẳng d: 4x+ =y 0
Đ/s : 0 1; 0 3
x = − x = −
Bài 12: Cho hàm số 3 2
y= −x x +m Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục tọa độ tại A, B sao cho đường tròn ngoại tiếp
tam giác OAB có chu vi bằng 2 5
8
π
Đ/s : m=0;m= −2
Bài 13: Cho hàm số y= −x3 mx+ −m 1
Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt đường tròn 2 2 1
( ) : ( 2) ( 3)
5
T x− + −y = theo dây cung nhỏ nhất ?
Đ/s : 1; 5
2
m= m= − (trường hợp tiếp xúc)
Bài 14: Cho hàm số y= −x3 3x2+m
Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục tọa độ tại A, B sao cho 3
2
OAB
S =
Đ/s : m=2;m= −5
Bài 15: Cho hàm số
2 +
−
=
x
x m
y có đồ thị là (H m), với m là tham số thực Tìm m để đường thẳng
0 1
2
2
: x+ y− =
d cắt (H m) tại hai điểm cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích là
8
3
=
S
Lời giải:
PT hoành độ giao điểm:
2
1
2 =− + +
+
−
x x
m x
2 ,
0 ) 1 ( 2
2 2+ + − = ≠−
Pt (1) có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt khác−2
−
≠
<
⇔
≠
− +
−
−
>
−
=
∆
⇔
2 16 17 0
) 1 ( 2 2 ) 2 (
2
0 16 17
2
m
m m
m
Trang 3
Ta có 17 16
2
2 4
) (
2 ) (
2 ) (
) (x2 x1 2 y2 y1 2 x2 x1 2 x2 x1 2 x1x2 m
Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d là
2 2
1
=
h
2
1 8
3 16 17 2
2 2 2
1 2
1
2
=
Bài 16: Cho hàm số y=x3−mx m+ −1 (Cm) Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm M có hoành
độ x= −1 cắt đường tròn (C) có phương trình (x−2)2+ −(y 3)2 =4 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất
Lời giải:
Ta có: y′ =3x2−m ⇒ y′ − = −( 1) 3 m; y( 1) 2− = m−2 (C) có tâm I(2;3), R = 2
PTTT d tại M( 1;2− m−2): y= −(3 m x m) + +1 ⇔ (3−m x y m) − + + =1 0
2
4
−
Dấu "=" xảy ra ⇔ m = 2 Do đó d I d( , ) đạt lớn nhất ⇔
Tiếp tuyến d cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho AB ngắn nhất ⇔ d I d( , ) đạt lớn nhất ⇔ m = 2
Khi đó: PTTT d: y= +x 3
Bài 17*: Cho hàm số y= −x3 3x2+1
Tìm các điểm A, B thuộc đồ thị sao cho tt với đồ thị tại A, B song song với nhau và ( ; ) 10
5
d O AB =
DẠNG 2 TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM
Bài 1: Cho hàm số y=2x3−3x2+5 Viết ptt kẻ từ 19; 4
12
A
đến đồ thị hàm số đã cho
Đ/s : 4; 12 15; 21 645
32 128
y= y= x− y= − x+
Bài 2*: Cho hàm số 3
3 2
y= − +x x− Tìm các điểm trên đường y= −4 mà kẻ được 2 tt đến đồ thị
Đ/s : ( 1; 4), (2; 4), 2; 4
3
− − − − −
Bài 3*: Cho hàm số y=3x−x3 Tìm các điểm trên đường y= −x mà kẻ được 2 tt đến đồ thị
Đ/s : M( 2; 2),− M(2; 2)−
Bài 4*: Cho hàm số
7 2
x x
y= − − + x+ Tìm các điểm trên đường 5 61
4 24
x
y= + sao qua từ điểm đó có thể kẻ được 3 tt đến đồ thị có các tiếp tiếp tương ứng là x x x1; 2; 3 thỏa mãn x1<x2 < <0 x3
Đ/s : 1 5 ; 5
6< <m 18 m< −2
Bài 5*: Cho hàm số y=x3−3x+2
Tìm trên đường thẳng d y: =4 các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (C)
Lời giải:
Gọi M m( ;4)∈d PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y=k x m( − ) 4+
Trang 4∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm: x x k x m
3 2
− =
Thay (2) vào (1) ta được: (x+1) 2 x2−(3m+2)x+3m+2=0 (3)
⇔ x
1
YCBT ⇔ (3) có đúng 2 nghiệm phân biệt
+ TH1: (4) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng –1 ⇔ m= −1
+ TH2: (4) có nghiệm kép khác –1 ⇔ m= −2;m=2
3
Vậy các điểm cần tìm là: ( 1;4) ; − −
2;4
3 ; (2; 4)