Casio bài 32 cực trị của số phức

Trang 1/9 PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 32 CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1 Bất đẳng thức thường gặp  Bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho các số thực , , ,a b x y ta luôn có     2 2 2 2[.]

PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 32 CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC

I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1 Bất đẳng thức thường gặp

 Bất đẳng thức Bunhiacopxki :Cho các số thực a b x y, , , ta luôn có

ax by  a b x y Dấu = xảy ra a b

x y

 Bất đẳng thức Vectơ : Cho 2 vecto u x y ; 

và v x y '; '

ta luôn có u  v  uv

' '

x y

x y

2 Phương pháp mẹo sử dụng sử tiếp xúc

 Dạng 1: Cho số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn  C

bán kính R Với mỗi điểm M thuộc đường tròn  C thì cũng thuộc đường tròn  C '

tâm gốc tọa độ bán kính OM  a2b2

+)Để z lớn nhất thì OM lớn nhất đạt được khi đường tròn  C tiếp xúc trong với '

đường tròn  C và OM OIR

+)Để z nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất đạt được khi đường tròn  C tiếp xúc ngoài với '

đường tròn  C và OM OIR

 Dạng 2 : Cho số phức z có tập hợp các điểm biễu diễn số phức z là đường thẳng  d

Với mỗi điểm M thuộc  d thì cũng thuộc đường tròn  C '

+)Để z nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất khi đó OM vuông góc với  d và

 

OM d O d

W W W.THICH HOC CHUI XYZ

 Dạng 3 : Cho số phức z có tập hợp các điểm biễu diễn số phức z là Elip có đỉnh

thuộc trục lớn A a ; 0 và đỉnh thuộc trục nhỏ B0;b Với mỗi điểm  M thuộc  d

thì cũng thuộc đường tròn  E

+)Để z lớn nhất thì OM lớn nhất khi đó M trùng với đỉnh thuộc trục lớn và

max z OM OA

+)Để z nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất khi đó M trùng với đỉnh thuộc trục nhỏ và

max z OM OB

 Dạng 4 : Cho số phức z có tập hợp các điểm biễu diễn số phức z là Hyperbol

 

2 2

2 2 :x y 1

H

a b  có hai đỉnh thuộc trục thựcA'a;0 , A a ; 0 thì số phức z có

môđun nhỏ nhất nếu điểm biểu diễn số phức z này trùng với các đỉnh trên (môđun

lớn nhất không tồn tại)

II) VÍ DỤ MINH HỌA

VD1-[Thi thử THPT Vĩnh Chân – Phú Thọ lần 1 năm 2017]

Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i  z2i Tìm số phức z có môđun nhỏ

nhất

A.z   B.1 i z  2 2iC z 2 2i D.z 3 2i

GIẢI

W W W.THICH HOC CHUI XYZ

 Cách Casio

 Trong các số phức ở đáp án, ta sẽ tiến hành xắp xếp các số phức theo thứ tự môđun

tăng dần :

1 i 2 2i 2 2i 3 2i

        

 Tiếp theo sẽ tiến hành thử nghiệm từng số phức theo thứ tự môđun tăng dần, số phức

nào thỏa mãn hệ thức điều kiện z 2 4i  z2i đầu tiên thì là đúng

Với z   Xét hiệu : 1 i  1 i 2 4i    1 i2i

qc(p1+b)p2p4b$pqcp1+b

p2b=

Ra một giá trị khác 0 vậy z   không thỏa mãn hệ thức  Đáp án A sai 1 i

 Tương tự như vậy với z 2 2i

qc2+2bp2p4b$pqc2+2bp2b=

Vậy số phức z 2 2i thỏa mãn hệ thức  Đáp số C là đáp số chính xác

 Cách mẹo

Gọi số phức z có dạng z a bi z thỏa mãn z 2 4i  z2i

a b i a b i

a a b b a b b

4a 4b 16

4 0

a b

   

Trong các đáp án chỉ có đáp án C thỏa mãn a b  4 0 Đáp án chính xác là C

 Cách tự luận

Gọi số phức z có dạng z a bi z thỏa mãn z 2 4i  z2i

a b i a b i

a a b b a b b

4a 4b 16

4

a b

  

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki :

16 a b  1 1 a b  z a b  8

2 2

z

4

a b

a b







  



W W W.THICH HOC CHUI XYZ

VD2-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017]

Với các số phức z thỏa mãn 1i z  1 7i  2 Tìm giá trị lớn nhất của z

A.max z 4 B max z  C max3 z  D max7 z  6

GIẢI

 Cách mẹo

 Gọi số phức z có dạng z a bi z thỏa mãn 1i z  1 7i  2

a b a b i

2 2

2a 2b 50 12a 16b 2

2 2

6 8 25 1

a b a b

a 32 b 42 1

Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I3; 4 bán kính R 1 Ta

gọi đây là đường tròn  C

 Với mỗi điểm M biểu diễn số phức z a bi thì M cũng thuộc đường tròn tâm

0; 0

O bán kính a2b2 Ta gọi đây là đường tròn  C , Môđun của ' z cũng là

bán kính đường tròn  C '

 Để bán kính  C lớn nhất thì ' O I M, , thẳng hàng (như hình) và  C tiếp xúc trong '

với  C

Khi đó OM OIR   5 1 6

 Đáp số chính xác là D

 Cách tự luận

 Gọi số phức z có dạng z a bi z thỏa mãn 1i z  1 7i  2

a b a b i

2 2

2a 2b 50 12a 16b 2

2 2

6 8 25 1

a b a b

a 32 b 42 1

z a b  a b  a  b  Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : 6a38b4 6a38b4

6 8  a 3 b 4  10

Vậy z2 36 z 6

 đáp án D là chính xác

 Bình luận

W W W.THICH HOC CHUI XYZ

 Việc sử dụng bất đẳng thức để đánh giá z là rất khó khăn, đòi hỏi học sinh phải nắm

rất vững bất đẳng thức Bunhiacopxki và các biến dạng của nó

 Trong tình huống của bài toán này, khi so sánh 2 cách giải ta thấy dùng mẹo tiếp xúc

tỏ ra đơn giản dễ hiểu và tiết kiệm thời gian hơn

VD3-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 5 năm 2017]

Cho số phức z thỏa mãn z4  z4 10, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần

lượt là :

A.10 và 4 B 5 và 4 C 4 và 3D 5 và 3

GIẢI

 Cách mẹo

 Gọi số phức z có dạng z a bi z thỏa mãn z4  z4 10

a bi a bi

20 a 4 b 100 16a

5 a 4 b 25 4a

25 a 8a 16 b 625 200a 16a

9a 25b 225

2 2

1

25 9

a b

Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là đường Elip đỉnh thuộc đáy lớn là A5;0 ,

đỉnh thuộc đáy nhỏ là B0;3

 Với mỗi điểm M biểu diễn số phức z a bi thì M cũng thuộc đường tròn tâm

0; 0

O bán kính a2b2 Ta gọi đây là đường tròn  C , Môđun của ' z cũng là

bán kính đường tròn  C '

 Để bán kính  C lớn nhất thì ' M trùng với đỉnh thuộc trục lớn và

5;0

M  A OM  5

max z 5

 Để bán kính  C lớn nhất thì ' M trùng với đỉnh thuộc trục nhỏ và

0;3

M B OM  3

min z 3

 Đáp số chính xác là D

 Cách tự luận

 Gọi số phức z có dạng z a bi z thỏa mãn z4  z4 10

a bi a bi

W W W.THICH HOC CHUI XYZ

 2 2  2 2

Theo bất đẳng thức vecto ta có :

                   

2 2

10 4a 4b

10 2 z z 5

 Ta có  2 2  2 2

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :

2

100 a4 b  a4 b  1 1  a4 b  a4 b 

100 2 2a 2b 32

2 2

2a 2b 32 50

2 2

9

a b

Vậy z2 9 z 3

 3 z   đáp án D là chính xác 5

VD4-Trong các số phức z thỏa mãn z2 z2  , tìm số phức 2 z có môđun nhỏ nhất

A.z 1 3i B.z  1 3iC z 1 D z 3 i

GIẢI

 Cách mẹo

 Gọi số phức z có dạng z x yi z thỏa mãn z2  z2  2

x yi x yi

2

x x

     

1 4x 4x x 4x 4 y

2 2

1 3

y x

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là Hypebol  

2 2

3

y

H x   có 2 đỉnh thuộc thực là A'1;0 , B1; 0

 Số phức z x yi có điểm biểu diễn M x y và có môđun là  ;  OM  a2 b2 Để

OM đạt giá trị nhỏ nhất thì M trùng với hai đỉnh của  H

M AM z

W W W.THICH HOC CHUI XYZ

 Đáp án chính xác là C

II) BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1-Cho các số phức z thỏa mãn 2z 2 2i  Môđun z nhỏ nhất có thể đạt được là bao 1

nhiêu :

A 1 2 2

2

 

B.1 2 2

2



C 2 1 D 2 1

Bài 2-Trong các số phức z thỏa mãn z3i  i z3 10 Hai số phức z và 1 z có môđun 2

nhỏ nhất Hỏi tích z z là bao nhiêu 1 2

A.25 B.25 C.16 D.16

Bài 3-Trong các số phức z thỏa mãn iz3  z   Tính giá trị nhỏ nhất của z 2 i

A.1

2 B.

1

1

5 D.

1 5

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1-Cho các số phức z thỏa mãn 2z 2 2i  Môđun z nhỏ nhất có thể đạt được là bao 1

nhiêu :

A 1 2 2

2

 

B.1 2 2

2



C 2 1 D 2 1

GIẢI

 Cách mẹo

 Gọi số phức z x yi thỏa mãn 2z 2 2  i  1 2x 2 2yi2i  1

2x 22 2y 22 1

4

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn  C có tâm I1; 1  bán kính

1

2

R 

 Với mỗi điểm M x y biểu diễn số phức z ;   x yi sẽ thuộc đường tròn tâm O bán kính

2 2 '

R  z  x y Vì vậy để R z nhỏ nhất thì đường tròn  C phải tiếp xúc ngoài với '

đường  C '

Khi đó điểm M sẽ là tiếp điểm của đường tròn  C và  C và '

1 2 2 2

z OM OIR 

s(1p0)d+(p1p0)d$pa1R2=

 Đáp số chính xác là A

W W W.THICH HOC CHUI XYZ

Bài 2-Trong các số phức z thỏa mãn z3i  i z3 10 Hai số phức z và 1 z có môđun 2

nhỏ nhất Hỏi tích z z là bao nhiêu 1 2

A.25 B.25 C.16 D.16

GIẢI

 Cách mẹo

 Gọi số phức z x yi thỏa mãn z3i  i z3 10

x y i y xi

2

20 x y 3 100 12y

25x 16y 400

2 2

1

16 25

x y

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường Elip  

2 2

16 25

x y

E   có 2 đỉnh thuộc trục nhỏ là A4; 0 , ' 4;0 A  

 Với mỗi điểm M x y biểu diễn số phức z ;   x yi sẽ thuộc đường tròn tâm O bán kính

2 2 '

R  z  x y Vì elip  E và đường tròn  C có cùng tâm O nên để OM nhỏ nhất

thì M là đỉnh thuộc trục nhỏ

1

     , M Az2  4

Tổng hợp z z  1 2  4 4 16

 Đáp số chính xác là D

 Mở rộng

 Nếu đề bài hỏi tích z z với 1 2 z1 , z có giá trị lớn nhất thì hai điểm 2 M biểu diễn hai số phức

trên là hai đỉnh thuộc trục lớn B0; 5 , ' 0;5  B  

1

     , M  Az2 5i

1 2 5 5 25 25

z z  i  i   i 

Bài 3-Trong các số phức z thỏa mãn iz3  z   Tính giá trị nhỏ nhất của z 2 i

A.1

2 B.

1

1

5 D.

1 5

GIẢI

 Cách mẹo

 Gọi số phức z x yi thỏa mãn iz3  z  2 i

y xi x y i

       

W W W.THICH HOC CHUI XYZ

2 2 2 2

2 1 0

x y

2

20 x y 3 100 12y

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d :x2y  1 0

 Với mỗi điểm M x y biểu diễn số phức z ;   x yi thi z OM OH với H là hình chiếu

vuông góc của O lên đường thẳng  d và OH là khoảng cách từ điểm O lên đường thẳng

 d

Tính  ;   1.0 2.0 12 2 1

5

1 2

OH d O d    



5

z 

 Đáp số chính xác là D

2 2

1 x y 1 2xyi x xy x x yi y i yi 2xy

x yi

W W W.THICH HOC CHUI XYZ