(SKKN 2022) ỨNG DỤNG mô ĐUN của số PHỨC và PHƯƠNG PHÁP HÌNH học tọa độ của ĐƯỜNG THẲNG và ĐƯỜNG TRÒN vào GIẢI một số bài TOÁN cực TRỊ số PHỨC

Trong ma trận đề thiTHPT Quốc Gia, chủ đề “ Cực trị số phức” có một câu xuất hiện trong đề, mức độ 8+ đến 9+, đây là câu học sinh cần chinh phục được để tăng điểm số bài thi.Mặt khác, sá

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiên kinh nghiệm 32.3.Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 42.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,

với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài.

Một điều đặc biệt là ba năm học vừa qua học sinh các lớp 12 đã phải họctrong tình trạng dịch bệnh covid kéo dài, điều kiện thời gian học trực tiếp bị giánđoạn, có những lúc phải học tập online, sự tương tác của học sinh với thầy cô bịhạn chế, chương trình tinh giảm, xoáy vào vấn đề trọng điểm Việc học bồidưỡng tại trường bị hạn chế, do đó khả năng làm bài tập các chuyên đề thiTHPT quốc gia cũng bị ảnh hưởng nhiều Vấn đề đặt ra là thầy cô cần cóphương pháp trọng tâm, trúng đích, dựa trên gợi ý, định hướng của Bộ giáo dục

và đào tạo thông qua đề thi Minh họa, đề thi tham khảo Trong ma trận đề thiTHPT Quốc Gia, chủ đề “ Cực trị số phức” có một câu xuất hiện trong đề, mức

độ 8+ đến 9+, đây là câu học sinh cần chinh phục được để tăng điểm số bài thi.Mặt khác, sách giáo khoa chỉ trình bày kiến thức trong hai bài học cơ bản, ngắngọn, học sinh khó có thể định hướng làm bài, nội dung này thường được giảibằng phương pháp hình học, phương pháp bất đẳng thức, phương pháp lượnggiác,…trong đó, phương pháp Bất đẳng thức thì học sinh khá ở lớp đại trà còn e

dè, sợ sệt, mới chỉ dám tiếp cận những bài mức độ thông hiểu, còn phương pháphình học thì dễ hiểu và tiếp cận hơn, nhưng các em chưa để ý và chưa biết cáchkết nối liên môn giữa phân môn Hình học và Đại số Chính vì vậy, tôi chọn biện

pháp “ Ứng dụng mô đun của số phức và phương pháp hình học tọa độ của

đường thẳng và đường tròn vào giải một số bài toán cực trị số phức ”

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Đề tài nghiên bài toán tìm cực trị của số phức giải được bằng phươngpháp hình học tọa độ của đường thẳng và đường tròn và tính chất mô đun của sốphức

- Học sinh các lớp 12A1, 12A3, 12A5, 12A7 trường THPT Bỉm Sơn

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

a Môđun của số phức:

Số phức z a bi  được biểu diễn bởi điểm M a b ;  trên mặt phẳng Oxy

Độ dài của véctơ OM

được gọi là môđun của số phức z Kí hiệu

Lưu ý:

 Quỹ tích điểm M (x,y) biểu diễn số phức z thỏa mãn

z a bi   z c di là đường trung trực đoạn AB vớiA a b B c d , ,  ,   Khi đó min z d O( , ).

Quỹ tích điểm M (x,y) biểu diễn số phức z thỏa mãn

x a 2y b 2 R2 hoặc z a bi R   0 là đường tròn tâm I a b ;  ,bán kính R Khi đó min z OI R ;max z OI R .

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Bài toán số phức mức độ 8+ đến 9+ trong đề thi THPT Quốc gia đối với

số đông học sinh lớp đại trà, học sinh có lực học khá là khó, các em có phươngpháp tiếp cận chưa tự tin trên nền kiến thức vốn có của bản thân nên có tâm lí bỏqua Trong các phương pháp cơ bản để giải bài toán dạng này, có phương pháp

sử dụng Bất đẳng thức đòi hỏi tư duy cao, kĩ năng sẵn có thì mới có phản xạ để

sử dụng, nhiều học sinh lực học khá đã có định kiến bỏ qua bài toán bất đẳngthức từ năm lớp 10, phương pháp lượng giác với nhiều công thức, các em họccuối lớp 10, đầu năm lớp 11, nên cũng quên nhiều, ít phản xạ, phạm vi sử dụngcũng không nhiều, trong đó phương pháp khai thác các yếu tố hình học tọa độcủa đường thẳng, đường tròn khá đơn giản dễ tiếp thu, chỉ có điều các em chưabiết kết hợp liên môn trong giải toán Trong các chủ đề thi THPT Quốc gia ởmức độ vận dụng và vận dụng cao, chủ đề Số phức với các bài toán cực trị theo

đề minh họa của Bộ giáo dục và đào tạo gửi cho các trường trong cả nước thamkhảo, tôi cho rằng các em có cơ hội tiếp cận, rèn luyện phương pháp, kĩ năng đểlấy được điểm số phần này và nâng cao kết quả bài thi THPT Quốc gia củamình

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Giải pháp thực hiện

- Bổ sung, hệ thống các kiến thức cơ bản liên quan mà học sinh cần sử

dụng, hướng dẫn học sinh tìm được các quỹ tích hình học cơ bản của điểm M(x,

y) thông qua biểu thức đại số cơ bản, đặc trưng từ đó hình thành được phương

- Yêu cầu học sinh nhận diện bài toán thông qua ví dụ, phân tích hìnhthành phương pháp giải, vận dụng tại lớp sau đó trình bày trước lớp hướng giảihoặc lời giải chi tiết và ra bài tập về nhà để học sinh củng cố kiến thức, ghi nhớphương pháp và rèn luyện kỹ năng làm bài

- Kiểm tra đánh giá để rút kinh nghiệm

2.3.2 Tổ chức thực hiện.

Dựa vào cách xác định điểm biểu diễn của số phức và đẳng thức mô đuncủa số phức ta đưa bài toán cực trị số phức về bài toán cực trị cơ bản giữa cácyếu tố: điểm, đường thẳng và đường tròn của hình học tọa độ hoặc sử dụng bấtđẳng thức mô đun của số phức để đánh giá

Câu 1: Cho số phức z thoả mãn z 2 3 i 1 Giá trị lớn nhất của P  z 1 i là:

A. 13 2 B 4 C 6 D 13 1 

Lời giải

Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn của số phức z trên

Nhận xét: Qua bài trên học sinh rút ra được đặc trưng của dạng toán sau:

Dạng 1: Cho số phức z thoả mãn z z 0 R Tìm GTNN, GTLN của P z z1

Phương pháp: Đặt M z I z   ; 0 ;E z 1 lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z z z; ; 0 1 Khi đó từ giả thiết z z 0 R IM  R M thuộc đường tròn tâm

I bán kính R Ta có: P z z1 ME lớn nhất  MEmax và Pmin  MEmin.

Khi đó: Pmax IE R và Pmin IE R .

Bài 2: Cho số phức z thoả mãn z 4 i  z i Gọi z a bi a b   ;   là số phứcthoả mãn z 1 3i nhỏ nhất Giá trị của biểu thức T  2a 3b là:

A T 4 B T 4 C T 0 D T 1

Lời giải

Đặt M z A ; 4;1 ; B0; 1  lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z;4 i i; Khi đó từ giả thiết suy ra MA MB , tập hợp điểm biểu diễn của số phức z làđường trung trực  của AB Ta có  đi qua I2;0 và có VTPT n AB   4; 2  

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình

x y

Dạng 2: Cho số phức z thoả mãn z z 1  z z2 Tìm GTNN của P z z3

Phương pháp:

- Đặt M z A z ;  1 ;B z 2 ;C z 3 là điểm biểu diễn của các số phức z z z z; ; ; 1 2 3 Khi

đó từ giả thiết z z 1  z z2 suy ra MA MB hay tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường trung trực  của đoạn AB.

Ta có: P z z3 CM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của C lên   Pmin d C ; 

Câu 3: Cho số phức z1 thoả mãn

P 

B P min 5 C P min 2 5 D min

3 5 5

Vậy min

3 5 5

P 

Chọn D.

Nhận xét: Qua bài trên học sinh rút ra được đặc trưng của dạng toán tương tự

Ta có: P MN , do đó: Pmin d I ;   R

Câu 4: Cho số phức z thoả mãn

13 3

2

z  i

Gọi z a bi a b   ;   là số phứcthoả mãn biểu thức

T 

3 2

T 

13 2

T 

D

9 2

R 

có phươngtrình:      

Nhận xét: Qua bài trên học sinh rút ra được đặc trưng của dạng toán sau:

Dạng 4: Cho số phức z thoả mãn z z 0 R Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

P z z  z z

Phương pháp: Đặt M z A z ;  1 ;B z   2 ;I z0 lần lượt là điểm biểu diễn của các

Do đó Pmin  IMmin  M là hình chiếu

vuông góc của I lên 

2 2

Nhận xét: Qua bài trên học sinh rút ra được đặc trưng của dạng toán sau:

Dạng 5: Cho số phức z thoả mãn z z 1  z z2 Tìm GTNN của

Nhận xét: Qua bài trên học sinh rút ra được đặc trưng của dạng toán sau:

Dạng 6: Cho hai số phức z z1 ; 2 thoả mãn z1  w 1 R1 và z2  w 2 R2 trong đó

Ta có: P MN Dựa vào các vị trí tương đối của hai đường tròn để tìm

khi đó z  1 i AM với M thuộc đường tròn

5 5 sin

Nhận xét : Như vậy học sinh có đến hai cách làm đơn giản, so với cách giải

bằng phương pháp lượng giác thì dễ hơn rất nhiều, phù hợp tư duy đối với số đông học sinh đại trà và có lực học khá Các em có tâm lí thoải mái để tiếp cận bài toán từ đó thúc đẩy khả năng tìm tòi và khám phá các phương pháp mới.

Câu 8: (Đề Minh Họa THPT Quốc gia của Bộ giáo dục năm học 2020-2021)

Xét hai số phức z z1 , 2, thóa mãn z1  1,z2  2 và z1  z2  3 Giá trị lớn nhất của

M 

B M  1 13 C M 4 5 D M 9

Lời giải

Gọi A0;1, B1;3 , C1; 1  Ta thấy A là trung điểm của BC Gọi M(a ; b) biểu diễn số phức z Khi đó MA z i .

Khoảng cách từ I đến  là:

 22

M'

và chỉ khi độ dàiMN nhỏ nhất.Dễ thấy MNmin d I ;   R 3 2  2 2 2 

Nhận xét : Kết hợp tính chất mô đun của số phức và phương pháp hình học tọa

độ của đường thẳng và đường tròn, học sinh giải bài toán nhẹ nhàng.

Câu 12: Cho hai số phức z w, thỏa mãn z  3 2  2, w 4 2i 2 2 Biết rằng

z w đạt giá trị nhỏ nhất khi z z 0, w w 0 Tính 3z0  w0

A 2 2 B 4 2 C 1 D 6 2

Lời giải

Ta có: z  3 2  2, suy ra tập hợp điểm biểu

diễn M biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm

3 2 ;0

I

, bán kính r  2

Từ w 4 2i 2 2, suy ra tập hợp điểm biểu diễn

N biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm

A 2 17. B 3 29. C 17 29. D 17 2 29.

Lời giải

Đặt z1  a bi z, 2  c di a b c d  , , , ; Gọi M a b ; ,  N c d ; , A1;2 , 3;3 B  lầnlượt là điểm biểu diễn các số phức z z1 , , 1 2 , 3 3i 2   i  trong mặt phẳng tọa độ.(Ta có AB  17)

Câu 14:(mã 101-đợt 1-thi THPTQG năm 2021)

Xét các số phức z w, thỏa mãn z 1 và w 2. Khi z iw  6 8 i đạt giá trị nhỏnhất, z w bằng

Câu 15:(mã 111-đợt 2-thi THPTQG năm 2021)

Xét các số phức z và w thay đổi thỏa mãn z w 3 và z w 3 2 Giá trị nhỏnhất của biểu thức P   z 1 i w 2 5 i bằng

A 5 B 17 C 29 2 D 5 3 2 

Lời giải:

Cho

1 3

Câu 16: (Đề khảo sát chất lượng đợt 2 môn Toán năm học 2021-2022, Sở

giáo dục và đào tạo Thanh Hóa )

điểm đối xứng với J qua đường thẳng , khi đó ta tìm

được K(4; 3) suy ra phương trình đường thẳng IK x : 4

Do đó P đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi C IK   và

J

Đáp số : 313 16  ( đáp án A).

Câu 8: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong , Nam Định, năm 2019) Cho hai số

phức z z1 , 2 thoả mãn z1   2 i  z1  4 7  i  6 2và iz2   1 2i  1 Tìm giá trị nhỏnhất của biểu thức T z1 z2

Câu 11: (THPT Chuyên Ngữ-Hà Nội, năm 2019) Cho các số phức z z z, ,1 2

thay đổi thỏa mãn các điều kiện sau: iz+ + =2i 4 3, phần thực của z1 bằng 2,phần ảo của z2 bằng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = -z z12+ -z z22

Câu 14: Xét các số phức z z z, , 1 2 thỏa z1 - - 4 5i = z2 - = 1 1 và z+ = - +4i z 8 4i.Tính M= -z1 z2 khi P= -z z1 +z z- 2 đạt giá trị nhỏ nhất.

sử dụng đề tài) (các lớp đều học chương trình nâng cao; lớp 12A1, 12A5 là lớpkhối D có lực học tương đương nhau; lớp 12A3, 12A4 là lớp khối A1 có lựchọc tương đương nhau – đánh giá qua quá trình trực tiếp giảng dạy và qua kếtquả thi học kì 2 của hai lớp) Tôi nhận thấy, ở lớp 12A1, 12A5 đa số các em chỉ

có một vài em làm được bài toán “tìm cực trị của số phức” ở mức độ đơn giảnnhất, khi kiểm tra tỉ lệ điểm số ở mức độ trung bình của các em còn cao, phản

xạ giải bài toán vận dụng ở các em chưa có nhiều Ở lớp 12A3, 12A4 tôi thấy

có hiệu quả rõ rệt, các em có hứng thú, đam mê học tập hơn hẳn, các e có thể tựlàm được các bài khó hơn và các bài cực trị số phức trong đề thi thử THPT Quốcgia của các trường phổ thông trên toàn quốc

Năm học 2021-2022, tôi tiếp tục đứng lớp 12 ôn thi trung học phổ thôngquốc, khi dạy chuyên đề “ Cực trị số phức ” tôi chọn lớp 12A5, 12A7 làm lớpdạy học thực nghiệm (lớp sử dụng đề tài) Đồng thời cũng nội dung như trên tôichọn lớp 12A1, 12A3 làm lớp dạy học đối chứng (không sử dụng đề tài) (cáclớp đều học chương trình nâng cao; lớp 12A1, 12A3 là lớp khối D có lực họctương đương nhau; lớp 12A5, 12A7 là lớp khối A1 có lực học tương đươngnhau – đánh giá qua quá trình trực tiếp giảng dạy và qua kết quả thi học kì 2 củahai lớp) Kết quả thu được ở năm học thứ hai áp dụng đề tài cũng tương tự nhưkết quả năm thứ nhất áp dụng đề tài

Tôi nhận thấy sau khi được ôn tập hệ thống hóa kiến thức cơ bản liênquan, các em đã hình dung được phương pháp mình nên tiếp cận để giải bàitoán, điều mà trước đây các em không dám làm, không nghĩ rằng mình sẽ làmđược Đặc biệt, trong kì thi THPT quốc gia năm học 2020-2021, các em sử dụng

biện pháp “Ứng dụng mô đun của số phức và phương pháp hình học tọa độ của đường thẳng và đường tròn vào giải một số bài cực trị số phức ” đã làm

rất tốt các câu 44-mã 101-đợt 1, câu 42-mã 102-đợt 1, câu 42-mã 103-đợt 1,

câu 48-mã 108-đợt 1, câu 45-mã 111-đợt 2, câu 44-mã 121-đợt 2, câu 42-mã 101-đợt 2,… các em đều có điểm số môn Toán từ 8,0 đến 9,4 và trường THPT

Bỉm Sơn tiếp tục đứng thứ 3 môn Toán, chỉ sau trường chuyên Lam Sơn vàTHPT Hàm Rồng

Tôi cho rằng đó là một thành công nho nhỏ đã giúp các em khơi gợi cảmxúc Toán học, năng lực tư duy và biết cách áp dụng cho những chủ đề ôn thitương tự

Sau khi dạy học thực nghiệm và đối chứng, tôi tiến hành cho học sinh bốnlớp làm bài kiểm tra 45 phút và thu được kết quả thống kê theo bảng sau:

Kết quả môn Toán THPTQG năm học 2020-2021

bình của lớp

Điểm trung bình Trường

Điểm trung bình toàn quốc

Trong đợt khảo chất lượng đợt 2 môn Toán năm học 2021-2022,Sở giáo dục Thanh Hóa, Các em khối 12 trường THPT Bỉm Sơn, có điểm trung bình môn Toán 7,64 xếp thứ 3 toàn tỉnh( Sau chuyên Lam Sơn 8,08 và THPT Hàm Rồng 7,74 )

Qua quá trình thực nghiệm với những kết quả trên đây tôi mạnh dạnkhẳng định những giải pháp mà đề tài đưa ra là hoàn toàn khả thi và có thể ápdụng trong dạy học chủ đề “Cực trị số phức” của Giải tích 12

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1.Kết luận.

Với mục đích rèn luyện và nâng cao năng lực tư duy, tính sáng tạo tronggiải toán, tạo niềm say mê học tập của học sinh trung học phổ thông, tôi đã

mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Ứng dụng mô đun của số phức và phương pháp hình học tọa độ của đường thẳng và đường tròn vào giải một số bài toán cực trị số phức” Để giải quyết hiệu quả bài toán dạng này học sinh cần nắm

vững cả kiến thức, phương pháp đã nêu trong sách giáo khoa và phương pháptrong báo cáo để vận dụng linh hoạt cho từng bài toán cụ thể

Qua quá trình nghiên cứu và áp dụng đề tài vào giảng dạy, tôi nhận thấyphương pháp nêu trong báo cáo có tính khả thi và ứng dụng cao Nội dung củabáo cáo này giúp ích cho học sinh trong việc làm toán, giúp các em dễ dàng vàbiết cách khai thác kiến thức, kĩ năng đã có vận dụng vào giải các bài toán, rènluyện kĩ năng liên kết, đa chiều trong nhận thức, mạnh dạn trong tư duy và hànhđộng, biết kết nối nhiều đơn vị kiến thức, để tăng kĩ năng làm bài, tạo niềm say

mê, hứng thú học tập cho các em Thực nghiệm cho thấy trên 70% học sinh

“Ứng dụng mô đun của số phức và phương pháp hình học tọa độ của đường thẳng và đường tròn vào giải một số bài toán cực trị số phức” làm được câu

cực trị số phức trong đề thi THPT Quốc gia năm 2021 và trên 70% đạt điểm 8,0trở lên Học sinh đã nâng cao được năng lực tư duy toán học, các em linh hoạthơn trong học toán, biết tối ưu cách giải toán, năng động và tự chủ khi làm bài.Trong quá trình dạy học 19 năm qua, với khung chương trình tổng thể, đơn vịkiến thức cụ thể, mỗi bài học, mỗi chủ đề, mỗi chuyên đề thì tôi luôn tìm tòiphương pháp phù hợp trong mỗi điều kiện khác nhau để kích cầu được sự tiến

bộ của người học Kết quả thi THPT Quốc gia năm học 2020-2021 là niềm độngviên và tiếp tục thúc đẩy tôi đam mê tìm tòi phương pháp mới để phù hợp vàđáp ứng điều kiện dạy học trong những tình hình cụ thể Năm học 2021-2022,tôi bước sang năm thứ 20 trong công tác giảng dạy, tiếp tục công tác ôn luyệncho học sinh khối 12 thi THPT Quốc gia và xã hội vẫn phải chiến đấu với dịchbệnh covid, tôi lại tiếp tục áp dụng phương pháp này và có điều chỉnh phù hợp.Trong vài năm qua, môn Toán nhà trường với đội ngũ thầy cô tham gia giảngdạy vẫn giữ được thứ hạng cao trong tỉnh Năm học 2020-2021, tôi cùng cácthầy cô tham gia ôn luyện cho học sinh khối 12 thi THPT Quốc gia, có kết quả:

điểm trung bình môn Toán toàn quốc là 6,61; điểm trung bình môn Toán của trường THPT Bỉm Sơn là 8,02, tiếp tục xếp thứ 3 toàn tỉnh, sau các trường

chuyên Lam Sơn và THPT Hàm Rồng, trên tổng hơn 100 trường THPT của tỉnh

Đó là niềm vui và động lực để thầy cô tiếp tục phát huy năng lực và học hỏi kinh