Vấn đề 15 phương trình số phức đáp án

TỔNG ÔN TỐT NGHIỆP THPT 2022 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 Câu 1 (Đề tham khảo 2022) Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2 2 8 12[.]

Trang 1

TỔNG ÔN TỐT NGHIỆP THPT 2022 Điện thoại: 0946798489

Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1

Câu 1 (Đề tham khảo 2022) Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z22mz8m120(m là tham

số thực) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z z 1, 2 thỏa mãn z1  z2 ?

Câu 2 Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình z23za22a0 có nghiệm phức z 0

thỏa z 0 2

Lời giải

+) Trường hợp z   Khi đó 0 0 0

0

2 2

2

z z

z





    



Nếu z 0 2 thì a22a100 không có nghiệm thực a

Nếu z   thì 0 2 a22a20 luôn có nghiệm thực a và theo định lý Vi-ét tổng hai nghiệm thực này là 2  1

+) Trường hợp phương trình 2 2

z  za  a có nghiệm phức z   thì 0 z cũng là nghiệm 0

phức của phương trình

Vì z 0 2 nên z z0 0 z024

Theo định lý Vi-ét ta có

2

0 0

2

1

z z   a  aa22a4a22a40  * Phương trình  * luôn có hai nghiệm thực phân biệt, theo định lý Vi-ét ta có tổng các giá trị của

số thực a bằng 2  2

+) Từ  1 và  2 suy ra tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình z23za22a0

có nghiệm phức z thỏa 0 z 0 2 là 4

Câu 3 Gọi S là tổng các giá trị thực của m để phương trình 2

9z 6z 1 m0 có nghiệm phức thỏa mãn

1

z  Tính S

Lời giải

2

9z 6z 1 m0  *

Trường hợp 1:  * có nghiệm thực    09 9 1  m0m 1

1 1

1

z z

z





    



z m (thỏa mãn)

z  m (thỏa mãn)

Trường hợp 2:  * có nghiệm phức zabi b 0    09 9 1  m0m 1 Nếu z là một nghiệm của phương trình 9z26z 1 m0 thì z cũng là một nghiệm của

phương trình 9z26z 1 m0

9

a



Vậy tổng các giá trị thực của m bằng 12

Vấn đề 15 PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

Trang 2

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Câu 4 Gọi S là tổng các số thực m để phương trình z22z 1 m0 có nghiệm phức thỏa mãn z 2

Tính S

A S 6 B S10 C S   3 D S 7

Lời giải Chọn D

z  z m  z m  1 +) Với m 0 thì  1 z 1 m Do 2 1 2 1

9

m





 (thỏa mãn)

+) Với m 0 thì  1 z 1 i m

Do z 2 1 i m 2 1 m4m 3 (thỏa mãn)

Vậy S    1 9 3 7

Câu 5 Có bao nhiêu giá trị dương của số thực a sao cho phương trình z2 3z a 22a0 có nghiệm

phức z0 với phần ảo khác 0 thỏa mãn z 0 3

Lời giải Chọn C

3 4 a 2 a 3 4 a 8 a

Phương trình z2 3z a 22a0 có nghiệm phức khi và chỉ khi

 

0 3 4a 8a 0 4a 8a 3 0 *

Khi đó phương trình có hai nghiệm z z1, 2 là hai số phức liên hợp của nhau và z1  z2

Ta có

2

z z  a  a  z z  a  a  z z  a  a  z  a  a

2

3

a





( t/m ĐK(*))

Các giá trị của a thỏa mãn điều kiện  * Vậy có 1 giá trị dương a thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 6 Trên tập hợp số phức, xét phương trình 2   2

z  m zm  ( m là tham số thực) Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình đó có nghiệm z thỏa mãn 0 z 0 5?

Lời giải Chọn B

Cách 1 Ta có  2 2



0

2

m



     thì phương trình có nghiệm 1 2 1

2

z z  (không thỏa mãn)

0

2

m



     thì phương trình có hai nghiệm phân biệt z1m 1 2m và 1

z m  m

Trang 3

Điện thoại: 0946798489 TỔNG ÔN TỐT NGHIỆP THPT 2022

Trường hợp 1

 2

1

m





4

m

m m

m









 







 2

4

m







2

4

5 10

10 15 0

m







 2

6

m

 





2

6

m

 



 



(vô nghiệm)

0

2

m



     thì phương trình ban đầu có hai nghiệm phức z z và 1, 2 z1  z2  5

1 2 1 2

5

m







Vậy có 3 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Cách 2 Đặt z0  x yi x y   là nghiệm của phương trình ban đầu , 

z   x y  Thay z vào phương trình ban đầu, ta có 0

xyi  m xyi m   x y  mx x m  xy my y i

 

1

y

x m







x  m  m  m 

x   m  m  (vô nghiệm)

Trường hợp 2 xm 1  1  y225m1 2  6 m4

 

5

m

 







Vậy có 3 giá trị của tham số m thỏa mãn

Câu 7 Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z24azb220 ( ,a b là các tham số thực) Có bao

nhiêu cặp số thực a b;  sao cho phương trình đó có hai nghiệm z , 1 z thỏa mãn 2

1 2 2 3 3

z  iz   i?

Lời giải

Trang 4

Chọn D

 Trường hợp 1: z và 1 z là hai nghiệm thực Ta có: 2

1

1 2

2

3

2

z











1 2

b  z z  b 

Như vậy, trường hợp 1 có:  ;  9; 10 ; 9; 10

a b       

 Trường hợp 2: z và 1 z là hai nghiệm phức Đặt: 2 z1 x yi thì z2  x yi

1 2

2

1

 

2

       và b22z z1 22b 0

Như vậy, trường hợp 2 có:  ;  1; 0

2

a b   

 Vậy có 3 cặp số thực a b;  thỏa mãn ycbt

Câu 8 Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z22az b 2 2 0 (a b, là các tham số thực)

Có bao nhiêu cặp số thực a b sao cho phương trình đó có hai nghiệm ,  z z thảo 1, 2 mãnz12iz2 3 3i?

Cách 1: Vì phương trìnhz22az b 2 2 0 có các hệ số a b, là các tham số thực nên ta xét

1 2

2

1 2

9 3

2

9 2

2

z

z z





Mặt khác: z z là nghiệm của phương trình 1, 2 z22az b 2 2 0 nên theo định lý viet ta có:

 

1 2

2

1 2

2

**

2

z z b







Từ (*) và (**) suy ra:

9

2

4

2

a



Suy ra có 2cặp a b thỏa mãn , 

TH2: z z1, 2

là các số phức sao cho z1z2

Đặt z1xyi x y, , z2xyi

Do z z thỏa mãn1, 2 z12iz2  3 3ixyi2i x yi 3 3i

Trang 5

Khi đó, z1 1 i z, 2   Mà 1 i z z là nghiệm của phương trình 1, 2 z22az b 2 2 0 nên theo

định lý viet ta có: 1 2 2 2

1 2



Suy ra có 1 cặp a b thỏa mãn , 

Vậy có tất cả 3 cặp a b, thỏa mãn yêu cầu bài toán

Cách 2

TH1: z z là các số thực 1, 2  1 xảy ra khi

1

2

3 3 2

z z













Theo Vi-et ta có:

1 2

2

1 2

9 9

2

4

a





TH2: z z là các số phức: 1, 2

1

Vi et

Vậy có tất cả 3 cặp a b;  thỏa mãn

Câu 9 Trên tập số phức, xét phương trình z24azb220(a , b là các tham số thực) Có bao nhiêu

cặp số thực ( ; )a b sao cho phương trình đó có hai nghiệm z z thỏa mãn 1, 2 z12i z2  3 3i

Lời giải Chọn A

TH1: Nếu z là số thực thì 1 z cũng là số thực 2

Khi đó từ z12i z2  3 3i suy ra 1

2

3

3 / 2

z z











(1)

Áp dụng viet ta có: 1 2

2

1 2

4

z z b







(2) Thay (1) vào (2) được



Vậy có 2 cặp ( ; )a b thỏa mãn bài toán

TH2: Nếu z không là số thực, thì 1 z là số phức liên hợp của 2 z (vì hai nghiệm của phương trình 1

bậc hai hệ số thực trong tập số phức khi   là số phức liên hợp của nhau) 0

Giả sử z1m in m n ( ,   thay vào ) z12i z2  3 3i ta được

1 1

m n





 





Vậy có z1  ; 1 i z2  1 i

Với 1 2

2

1 2

4

z z b







ta có

0

b



Vậy có một cặp ( ; )a b

Kết luận: có 3 cặp ( ; )a b thỏa mãn bài toán

Câu 10 Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z22m1zm20 ( m là tham số thực) Có bao

nhiêu giá trị của m để phương trình đó có nghiệm z thỏa mãn 0 z 0 7?

Trang 6

z  m zm 

Ta có   (m1)2m22m 1

2

m  m  thì phương trình có nghiệm thực nên

0 0

0

7 7

7

z z

z







Với z  thay vào phương trình ta được 0 7 2   2 7 14

m

 



2

m   )

Với z   thay vào phương trình ta được 0 7 2   2 2

7 2 m1 7m 0m 14m63 phương 0 trình vô nghiệm

2

m  m  thì phương trình có hai nghiệm phức là:





7

m







Kết hợp với 1

2

m   ta được m   7

Vậy có 3 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 11 Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z22m1zm2 0 (m là tham số thực) Có bao

nhiêu giá trị của m để phương trình đó có nghiệm z thỏa mãn 0 z  0 8

z  m zm 

Ta có  ' (m1)2m22m 1

2

m  m  thì phương trình có nghiệm thực nên

0 0

0

8 8

8

z z

z





    



Với z  thay vào phương trình ta được 0 8 2 16 48 0 4

12

m







2

m   )

Với z   thay vào phương trình ta được 0 8 m216m800 phương trình vô nghiệm

2

m  m  thì phương trình có hai nghiệm phức

0

8 8

8

m c

m a







Kết hợp với 1

2

m   ta được m  8 Vậy có 3 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trang 7

Câu 12 Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2   2

z  m zm  (m là tham số thực) Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có nghiệm z thỏa mãn 0 z0 6?

Lời giải Chọn D



 Nếu    0  1

2

m   : Phương trình có hai nghiệm phức zm  1 2m1.i

Ta có: z0 6   m  1 2 2 m   1 36  m 2 36  

6 6







 



¹

áa m·n

 Nếu    0  1

2

m   : Phương trình có kép 1

2

z 

2

m   không thỏa mãn

 Nếu    0  1

2

m   : Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt zm 1 2m 1

Ta có: z0 6  0

0

6 6

z z





  



+ Với z  : Thay vào phương trình ta được: 0 6





áa m·n

+ Với z   : Thay vào phương trình ta được: 0 6

   6 2 2  m  1      6 m2 0 2  

m  m  v« nghiÖm

Vậy có 3 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 13 Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z22 2 m1z4m2 0 (m là tham số thực) Có

bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có nghiệm z0 thỏa mãn z  ? 0 1

Phương trình z22 2 m1z4m2  0  * Ta có  2 2

2m 1 4m 4m 1



4

m  m  thì phương trình  * có nghiệm thực nên

Trang 8

0 0

0

1 1

1

z z

z







Với z 0 1 thay vào phương trình  * ta được:

2

m











4

m   )

Với z  0 1 thay vào phương trình  * ta được:

1 2 2m1 4m  , phương trình vô nghiệm 0

4

m  m  thì phương trình  * có hai nghiệm phức là

z m i  m và z2m 1 i 4m1

1 2

m







  



, kết hợp với 1

4

m   ta được 1

2

m  

Câu 14 Cho hai số phức z z là hai nghiệm của phương trình 21, 2 zi  2iz , biết z1z2  Giá 1

trị của biểu thức P z1z2 bằng

3

2

Gọi zabi a b  , 

Ta có:

2zi  2iz 2a22b12 2b2a2 a2b2 1

Vậy số phức z z có mô đun bằng 1 1, 2

Gọi z1a1b i z1 ; 2 a2b i2  2 2 2 2 

1, ,1 2, 2 , 1 1 1; 2 2 1

a b a b  a b  a b 

1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1

z z   a a  b b   a a  b b 

1 2

1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 3

Câu 15 Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z22 2 m1z4m2 0 (m là tham số thực) Có

bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có nghiệm z0 thỏa mãn z 0 2?

2m 1 4m 4m 1



Trang 9

4

m  m  thì phương trình  * có nghiệm thực nên

0 0

0

2 2

2

z z

z





    



Với z 0 2 thay vào phương trình  * ta được:

0

m







4

m   )

Với z  0 2 thay vào phương trình  * ta được:

4

m  m  thì phương trình  * có hai nghiệm phức là:

z m i  m và z2m 1 i 4m1

1

m







, kết hợp với 1

4

m   ta được m   1

Câu 16 Cho các số thực b c, sao cho phương trình z2bz c 0 có hai nghiệm phức z z thỏa mãn 1, 2

1 4 3 1

z   i  và z2 8 6i 4 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A 5b c  12 B 5b c 4 C 5b c  4 D 5b c 12

Xét phương trình z2bz c 0 có hai nghiệm phức với z1 x yi và z2  x yi

z   i   x  y i   x  y  Xét: z2 8 6i 4 x8   y 6i 4x82y6216  2

Lập hệ  1 và  2 , ta được:    

24

18

5

x











Suy ra: 1 24 18

z   i và 2 24 18

z   i

Khi đó: 1 2

1 2

b c

z z c









Câu 17 Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình 2   2

z  a za a có 2 nghiệm phức z z thỏa 1, 2 mãn z1z2  z1z2 ?

Ta có   3a210a 9

+ TH1:  0, phương trình có 2 nghiệm 1,2 3

2

a

z     , khi đó

1 2 1 2

0

1

a







Thỏa mãn điều kiện

0

 

Trang 10

+ TH2:  0, phương trình có 2 nghiệm 1,2 3

2

z    , khi đó

1 2 1 2

1

9

a







Thỏa mãn

điều kiện  0

Vậy có 4 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 18 Cho các số thực b c, sao cho phương trình z2bz c 0 có hai nghiệm phức z z1; 2 thỏa mãn

1 3 3 2

z   i  và z12iz22 là số thuần ảo Khi đó b c bằng:

Trường hợp 1: Nếu các nghiệm của phương trình là các số thực x y; thì

z   i  x  i  x   mâu thuẫn với giả thiết

Trường hợp 2: Các nghiệm phức của phương trình không là các số thực, khi đó với

z xyi z z xyi

z12iz22xy2i   x2yix x. 2y y. 2x2  y2xy i là một số thuần ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 tức

x x y y   x y  x y

Giải hệ gồm  1 và  2 :  2  2

2 2

2

x

y





 





1 2 2 i ; 2 2 2 i

1 2

b c

z z c







Câu 19 Xét phương trình z2bz c 0; ,b c  Biết số phức z   là một nghiệm của phương trình 3 i

Tính giá trị biểu thức Pbc

A P 8 B P 16 C P 4 D P 12

Lời giải

Chọn C

2

0

6 10 4

z bz c

i b bi c

b c b b c

P b c



 

  



 



 





Câu 20 Biết phương trình z2azb0 (với ,a b là tham số thực) có một nghiệm phức là z 1 2i

Tính môđun của số phức w a bi

Trang 11

Lời giải

Chọn D

Vì phương trình 2

0

z azb có một nghiệm phức là z 1 2i

1 2i2 a1 2i b 0

        3 4i a 2ai b 0

a b 3 4 2a i 0

Do đó w  abi   2 5i  29

Câu 21 Tìm m để các nghiệm của phương trình sau đều là số ảo:   4 2

m z  z m 

A 3 2m 3 B 3m3 2 C 3 2 3

m m







D 3m3 2

Lời giải

* Nếu m  3: Phương trình trở thành 2

6z 60 z  (thỏa mãn) i

* Nếu m  3: Đặt z xi x  , phương trình   4 2  

m z  z m  trở thành

m3x46x2m 3 0 2 

0

tx t , phương trình  2 trở thành   2  

m t  tm  Phương trình  1 chỉ có nghiệm ảo  phương trình  2 chỉ có nghiệm thực

1 2

0 t   t

0 0 0

S P



 





 

 



2

6 0 3 3 0 3

m

m m m















 



3 3 3

m m











  



Vậy 3m3 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 22 Cho , ,   là các nghiệm thuộc tập số phức của phương trình x33x23x7 Gọi 0  là số

phức thỏa mãn 3 và 1   1 Tính giá trị 1 1 1

A 8

2

 C 22 D 32

Lời giải

Nhận xét: nếu  là nghiệm của phương trình 2  thì 1 0 2 cũng là nghiệm phương trình

2

1 0

                  )

Do đó phương trình 3

1

  có ba nghiệm là 1, ,  2

Ta có: 3 2

x  x  x   

3

2

x



Tiêu đề	Vấn đề 15 Phương Trình Số Phức
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Bài Giảng
Năm xuất bản	2022
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	461,56 KB