Chương 6 phép tính tích phân hàm một biến số

On the role of Linear Algebra in the development of Interior Point algorithms and software Nguyên Hàm Tích phân Ứng dụng của nguyên hàm và tích phân 1 2 3 CHƯƠNG 6 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2 I[.]

I Nguyên hàm – Tích phân bất định

1 Khái niệm nguyên hàm

Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm

số f(x) trên một khoảng D nếu:

F’(x) = f(x), x  D

VD:

◼ là một nguyên hàm của x2 trên R.

◼ sinx là một nguyên hàm của cosx trên R.

arcsinx là một nguyên hàm của trên [-1, 1]

3x

3

1

I Nguyên hàm – Tích phân bất định

Định lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng D thì:

◼ Hàm số F(x) + C, với C là một hằng số bất kỳ, cũng là mộtnguyên hàm của f(x) trên D

◼ Mọi nguyên hàm của f(x) trên khoảng D đều được biểu diễn dướidạng: F(x) + C, với C là một hằng số

Định nghĩa: Trong định lý trên, biểu thức F(x) + C được gọi là

biểu thức tích phân bất định của f(x) trên khoảng D

Ký hiệu: f(x)dx = F(x) + C

VD:  cosxdx = sinx C+

2 Các tính chất cơ bản của nguyên hàm

3 Các công thức nguyên hàm hợp U = U(x)

4 Các phương pháp tìm nguyên hàm

4.1 Phương pháp khai triển

Sử dụng các phép biến đổi đồng nhất kết hợp với các tính chất củatích phân để đưa tích phân cần tính về dạng tổ hợp của các tíchphân cơ bản

•  = + • sin axdx = −1 cos ax C; +

4 Các phương pháp tính nguyên hàm

4.3 Phương pháp đổi biến số

Đối với tích phân I = f[u(x)].u’(x)dx , ta làm như sau:

+ đặt t = u(x) suy ra dt =u’(x)dx

+ thay vào I ta được:

4.5 Nguyên hàm phân thức hữu tỷ

4.5 Nguyên hàm phân thức hữu tỷ

4.6 Nguyên hàm của hàm căn thức

II Tích phân

1 Khái niệm tích phân

Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên [a;b] khi đótích phân của f(x) cận từ a đến b là một hằng số được ký hiệu vàxác định như sau:

(Công thức Niuton-leibniz)

b

b a a

f(x)dx F(x)= = F(b) F(a)−



II Tích phân

1 Khái niệm tích phân

Ví dụ: Tính tích phân bằng công thức Newton – Leibniz:

1

1

0 0

2

0 0

II Tích phân

3 Phương pháp tính tích phân

3 1 Phương pháp đổi biến

+ Đặt t = u(x) từ đó suy ra dt = u’(x)dx:

+ Đổi cận: x =a thì t =u(a)

x=b thì t =u(b)

b a

udv uv= − vdu

III Tích phân suy rộng

1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn

◼ Giả sử f(x) liên tục trên [a;+) Với t > a, ta có

được gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên [a;+)

◼ Tích phân suy rộng được gọi là hội tụ nếu giới hạn vế phải tồntại hữu hạn, được gọi là phân kỳ nếu giới hạn vế phải là vô hạnhoặc không tồn tại

III Tích phân suy rộng

1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn

◼ Tích phân suy rộng của f(x) trên (-;a]:

◼ Tích phân suy rộng của f(x) trên (-;+):

III Tích phân suy rộng

2 Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn (đọc thêm)

◼ Giả sử f(x) liên tục trên [a;b) và Khi đó:

được gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên đoạn [a;b]

◼ Giả sử f(x) liên tục trên (a;b] và Khi đó:

IV Ứng dụng tích phân bất định trong kinh tế

1 Tìm hàm quỹ vốn khi biết hàm đầu tư

Giả sử việc đầu tư liên tục theo thời gian Ta ký hiệu:

I(t): Lượng đầu tư tại thời điểm tK(t): Lượng vốn tại thời điểm t

Lượng đầu tư I(t) là tốc độ bổ sung vốn tại thời điểm t

 K’(t) = I(t)

Do vậy, khi biết hàm đầu tư I(t) thì:

Hằng số C trong tích phân được xác định nhờ giả thiết K(t0) = K0

K(t) =  I(t)dt

IV Ứng dụng tích phân bất định trong kinh tế

2 Tìm hàm tổng khi biết hàm cận biên

Giả sử x và y là các biến số kinh tế và biết hàm cận biên

V Ứng dụng tích phân xác định trong kinh tế

1 Thặng dư của người tiêu dùng (Cosnumer’s surplus):

Cho hàm cầu đối với một sản phẩm: p = D-1(Q) và điểm cânbằng thị trường (p0, Q0)

Khi đó những người mua lẽ ra chấp nhận mức giá p1 (p1 > p0 ) sẽđược lợi 1 khoản p1 – p0 về giá cho mỗi đơn vị sản phẩm Toàn

bộ số lợi đó được gọi là thặng dư của người tiêu dùng (phần tômàu trên hình vẽ) Ký hiệu: CS

V Ứng dụng tích phân xác định trong kinh tế

2 Thặng dư của nhà sản xuất (Producer’s surplus):

Cho hàm cung đối với một sản phẩm: p = S-1(Q) và điểm cânbằng thị trường (p0, Q0)

Khi đó những người bán chấp nhận mức giá p1 (p1 < p0 ) sẽ đượclợi 1 khoản p0 – p1 về giá cho mỗi đơn vị sản phẩm Toàn bộ sốlợi đó được gọi là thặng dư của nhà sản xuất (phần tô màu trênhình vẽ) Ký hiệu: PS