Chương 5 phép tính vi phân hàm số nhiều biến

Hàm số nhiều biếnĐạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến Cực trị của hàm nhiều biến... Hàm sản xuất: ● Gọi Q là sản lượng khi sản xuất một loại hàng hóa nào đó.. Hàm chi phí kết hợp: Một

Hàm số nhiều biến

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

Cực trị của hàm nhiều biến

Bài 1 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN

II

•Một số hàm nhiều biến trong kinh tế

I Hàm số nhiều biến

1 Khái niệm hàm số hai biến:

◼ Một hàm số f xác định trên miền D  R2 là một quy tắc đặt

tương ứng mỗi điểm M(x;y)D với một và chỉ một số thực w.

◼ Ký hiệu:

◼ Tập D được gọi là miền xác định của f.

2 Khái niệm hàm số n biến:

II Một số hàm số trong kinh tế

1 Hàm sản xuất:

● Gọi Q là sản lượng khi sản xuất một loại hàng hóa nào đó Q sẽ phụ thuộc 2 yếu tố sản xuất: L là số đơn vị lao động dùng để sản xuất ra hàng hóa đó; K là số đơn vị vốn (hay tư bản) dùng để sản xuất ra hàng hóa đó; Ta có hàm sản xuất:

3.1.3 Một số hàm số trong kinh tế

2 Hàm chi phí kết hợp:

Một cơ sở sản xuất 2 loại sản phẩm với sản lượng lần lượt là Q1,Q2

Ta có hàm chi phí kết hợp: TC = TC(Q1,Q2)

Khi đó hàm lợi nhuận sẽ được thiết lập cho 2 trường hợp:

❑ TH1: Sản xuất cạnh tranh (Cho giá sản phẩm mỗi loại là p1, p2)

3.1.3 Một số hàm số trong kinh tế

3 Hàm lợi ích:

Trước hết ta gọi:

● X(x1 ,x2 ) là một túi hàng, trong đó bao gồm x1 đơn vị hàng hóa

thứ nhất và x2 đơn vị hàng hóa thứ hai

● U là mức độ lợi ích của người tiêu dùng khi mua một túi hàng

Khi đó hàm lợi ích: U = U(x1,x2)

● Hàm lợi ích thường có dạng Cobb-Douglas là U = ax1αx2β; trong đó

a, α, β > 0

II Một số hàm số trong kinh tế

Bài 2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ ỨNG DỤNG

I • Đạo hàm riêng và vi phân cấp một

II • Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao

III • Sử dụng đạo hàm riêng trong kinh tế

I Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hai biến

1 Khái niệm đạo hàm của hàm hai biến số:

Hàm số w = f(x,y) xác định trên miền D  R2.

◼ Đạo hàm riêng của f theo biến x tại điểm (x0;y0)D:

◼ Đạo hàm riêng của f theo biến y tại điểm (x;y)D :

2 Khái niệm vi phân

◼ Nếu hàm số w = f(x,y) xác định trên DR2 và có các đạo hàm riêng liên tục tại điểm (x0;y0)D thì giá trị:

được gọi là biểu thức vi phân toàn phần của f trên miền D.

I.Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hai biến

3.3.5 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao

1 Đạo hàm riêng cấp cao

Hàm hai biến w = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp hai như sau:

f '' (f ' )'

x y f

f '' (f ' )'

y x f

3.3.5 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao

2 Vi phân cấp cao

◼ Vi phân toàn phần của vi phân toàn phần dw của hàm số n

biến w = f(x1,x2, ,xn) gọi là vi phân toàn phần cấp hai của

III Sử dụng đạo hàm riêng trong kinh tế học

1 Đạo hàm riêng và giá trị cận biên:

Cho hàm số kinh tế w = f(x;y); Khi đó ta gọi x ; y là các biến đầu vào,

w là biến đầu ra

Tại mức đầu vào M0(x0;y0), ta gọi là giá trị w-cận biên của x tại M0

Ý nghĩa: Tại mức đầu vào M0(x0;y0), nếu tăng x thêm một đơn vị trongkhi các biến còn lại không thay đổi thì đầu ra w sẽ thay đổi khoảng

đơn vị ( khái niệm giá trị w-cận biên của y tại M0 tương tự )Với hàm sản xuất Q = f(K, L) Tại quy mô M0 (L0,K0):

◼ Giá trị sản phẩm hiện vật (năng suất) cận biên của tư bản:

3.3.6 Sử dụng đạo hàm riêng trong kinh tế học

+Tương tự đối với hệ số co dãn của w theo y………

Hệ quả: Cho hàm kinh tế w = f(x,y) Tại mức đầu vào M0(x0 ; y0 ),

hệ số co dãn của w theo x, y lần lượt là thì khi x tănga% và y tăng b% (a, b nhỏ) ta có w sẽ thay đổi khoảng:

BÀI 3 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 2 BIẾN

1 Khái niệm cực trị

2 Cực trị tự do của hàm số hai biến

3 Cực trị có điều kiện của hàm số hai biến

◼ Điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số.

◼ Các điểm cực trị có tính địa phương.

Điều kiện cần để w = f(x,y) đạt cực trị tại điểm M0(x0;y0)D là:

Điểm M0(x0;y0) thỏa mãn điều kiện (*) được gọi là điểm dừng của hàm f.

2 Cực trị tự do của hàm số hai biến

b Điều kiện đủ

Giả sử M0(x0,y0) là một điểm dừng hàm số w = f(x,y) và f có tất

cả các đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại M0(x0,y0).

Xét định thức:

trong đó:

Định lý 2:

◼ Nếu D < 0 thì f không đạt cực trị tại M0(x0,y0).

◼ Nếu D > 0 và a11 < 0 thì f đạt cực đại tại M0(x0,y0)

Nếu D > 0 và a > 0 thì f đạt cực tiểu tại M (x ,y )

2 Cực trị tự do của hàm số hai biến

Quy tắc thực hành: Tìm cực trị của hàm số w = f(x,y)

2 Cực trị tự do của hàm số hai biếnVD1: Tìm cực trị của hàm số

3 Cực trị có điều kiện hàm số hai biến

a Bài toán

Tìm cực trị của hàm số: w = f(x,y) với điều kiện g(x,y)=b

b Phương pháp nhân tử Lagrange

◼ Lập hàm Lagrange: L = f(x,y) + [b – g(x,y)]

◼ Tìm điểm dừng của hàm Lagrange:

◼ Điều kiện đủ: Tại điểm dừng lập ma trận Hass

Nếu det(H)>0 thì w=f(x,y) với điều kiện g(x,y)=b đạt cực đại tại (x0;y0)Nếu det(H)<0 thì w=f(x,y) với điều kiện g(x,y)=b đạt cực tiểu tại (x0;y0)

❑ Điều kiện cần: Tìm điểm dừng của hàm Lagrange: Ta giải hệ pt:

Giải hệ ta được hàm số có 2 điểm dừng

Điều kiện đủ: Ta có:

' λ ' x ' y

3 Cực trị có điều kiện hàm số hai biến

VD 2: Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: U = (x + 3)y

trong đó người tiêu dùng lựa chọn một túi hàng gồm 2 loại hàng hóa A

và B Hàng hóa A với số lượng x, giá bán là $5; Hàng hóa B với số lượng

y, giá bán là $20

a) Hãy chọn túi hàng cho lợi ích tối đa trong tình huống người tiêu dùng có

$185 cho việc mua sắm

b) Hãy chọn túi hàng có chi phí tối thiểu đảm bảo mức lợi ích U0 = 196

với điều kiện

với điều kiện

BÀI 4 ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ TRONG KINH TẾ

1 Sự lựa chọn của người tiêu dùng

2 Sự lựa chọn của nhà sản xuất

1 Sự lựa chọn của người tiêu dùng

Cho hàm lợi ích tiêu dùng của hai loại hàng hóa: U = U(x1,x2)

Trong đó người tiêu dùng lựa chọn 1 túi hàng gồm 2 loại hàng hóa:

Hàng hóa thứ nhất với số lượng x1 đơn vị và giá 1 đơn vị là p1;

Hàng hóa thứ 2 với số lượng x2 đơn vị và giá 1 đơn vị là p2; Khi đó chi phí cho túi hàng là : TC = p1x1 + p2x2

Bài toán 1 Tối đa hóa lợi ích khi thu nhập cố định:

Với mức thu nhập dành cho mua sắm cố định là m, hãy xác định lượng

cầu đối với mỗi mặt hàng sao cho lợi ích tiêu dùng tối đa?

Giải: Ta có bài toán: Tìm cực đại (nếu có) của hàm số: U = U(x1,x2)

với điều kiện: p1x1 + p2x2 = m

Giải: Ta có bài toán:

Tìm cực tiểu (nếu có) của hàm số:

TC = p1x1 + p2x2với điều kiện: U(x1,x2) = U0

1 Sự lựa chọn của người tiêu dùng

Ví dụ: Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng

U = (x + 3)y trong đó người tiêu dùng lựa chọn một túi hàng gồm 2 loại hàng hóa A

và B Hàng hóa A với số lượng x, giá bán là $5; Hàng hóa B với số lượng

y, giá bán là $20

a) Hãy chọn túi hàng cho lợi ích tối đa trong tình huống người tiêu dùng có

$185 cho việc mua sắm

b) Hãy chọn túi hàng có chi phí tối thiểu đảm bảo mức lợi ích U0 = 196

với điều kiện

với điều kiện

2 Sự lựa chọn của nhà sản xuất

Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm Biết hàm sản xuất là:

Q = f(K, L)

Biết pK là giá thuê 1 đơn vị vốn; pLlà giá thuê 1 đơn vị lao động Khi đóchi phí cho sản xuất là:

TC = pK.K + pL.L + C0 (Có thể không có C0)

Bài toán 1: Tối đa hóa sản lượng khi ngân sách cố định

Xác định cơ cấu đầu vào sao cho sản lượng tối đa trong điều kiện ngânsách dành cho sản xuất cố định là B

Giải: Ta có bài toán: Tìm cực đại (nếu có) của hàm số

Q = f(K, L)với điều kiện pK.K + pL.L = B

2 Sự lựa chọn của nhà sản xuấtBài toán 2: Tối thiểu hóa chi phí sản xuất

Xác định cơ cấu đầu tư sao cho chi phí tối thiểu đảm bảo sản xuất đạtmức sản lượng cố định là Q0

Giải: Ta có bài toán:

Tìm cực tiểu (nếu có) của hàm số

TC = pK.K + pL.Lvới điều kiện f(K, L) = Q0

2 Sự lựa chọn của nhà sản xuất

Ví dụ: Một công ty sản xuất nguyên liệu xây dựng được giới

công thức: Q = 3K0,5 L0,5

Biết rằng giá thuê tư bản là 5$, giá thuê lao động là 4$

Hãy xác định công ty cần sử dụng bao nhiêu đơn vị tư bản

và bao nhiêu đơn vị lao động để tốn ít chi phí nhất?

2 Sự lựa chọn của nhà sản xuất

Bài toán 3: Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất 2

loại sản phẩm có hàm chi phí kết hợp:

TC = TC(Q1,Q2)

trong đó, Q1 và Q2 là số lượng sản phẩm mỗi loại với giá bán trên thị trường tương ứng là p1 và p2 (cố định).

Hãy xác định cơ cấu sản xuất sao cho tổng lợi nhuận tối đa?

Giải: Quy về bài toán sau: Tìm cực đại (nếu có) của hàm số

 = p1Q1 + p2Q2 – TC(Q1,Q2)

2 Sự lựa chọn của nhà sản xuất

Ví dụ: Một doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất 2 loại sản phẩm

có hàm chi phí kết hợp: TC=6Q12 + 4Q1Q2 + 3Q22

Giá bán trên thị trường về hai loại sản phẩm là :

P1 =60 và P2 =34 Hãy xác định cơ cấu sản xuất cho lợi nhuận tối đa?

2 Sự lựa chọn của nhà sản xuất

Bài toán 4: Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất 2 loại sản

phẩm có hàm chi phí kết hợp:

TC = TC(Q1,Q2) Hàm cầu của thị trường về hai loại sản phẩm:

Q1 = D1(p1)  p1 = D1-1(Q1); Q2 = D2(p2)  p2 = D2-1(Q2) Hãy xác định cơ cấu sản xuất cho lợi nhuận tối đa?

Giải: Quy về bài toán sau: Tìm cực đại (nếu có) của hàm số

 = Q1 D1-1(Q1) + Q2.D2-1(Q2) – TC(Q1,Q2)

2 Sự lựa chọn của nhà sản xuất

Ví dụ: Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm

có hàm chi phí kết hợp: TC=Q12 +Q1Q2 + Q22 +50

Hàm cầu của thị trường về hai loại sản phẩm:

Q1 =50 –P1 và P2 =75 - 3Q2Hãy xác định cơ cấu sản xuất cho lợi nhuận tối đa?