Mô hình toán học tiền tệ pdf

Các thị trường tài chínhquan trọng nhất là các thị trường cổ phiếu, thị trường trái phiếu, các thị trườnghợp đồng quyền chọn, thị trường hợp đồng giao sau và thị trường tiền tệ trong đó

Lời mở đầu

Toán học tài chính ra đời hơn 100 năm nay nhưng đặc biệt phát triển trongkhoảng ba, bốn thập kỷ nay và ngày càng tỏ ra hữu ích trong thực tiễn đờisống kinh tế của quốc gia và các cộng đồng kinh tế thế giới Nó gắn liền với việcphân tích một cách khoa học những sự kiện tăng trưởng, rủi ro, lạm phát, khủnghoảng tài chính và bảo hiểm vốn là những vấn đề tài chính, thời sự nhất làtrong cơn suy thoái nền kinh tế toàn cầu hiện nay Mục đích của toán học tàichính là dùng các công cụ toán học để nghiên cứu về thị trường tài chính, giúp

ta đưa ra các cách định giá các sản phẩm tài chính Các thị trường tài chínhquan trọng nhất là các thị trường cổ phiếu, thị trường trái phiếu, các thị trườnghợp đồng quyền chọn, thị trường hợp đồng giao sau và thị trường tiền tệ trong

đó thị trường tiền tệ là lớn nhất Giá trị buôn bán trao đổi trong thị trường nàytrên toàn thế giới là hơn 300 tỷ USD mỗi ngày

Vì lý do quan trọng của thị trường tiền tệ nên đã có nhiều phương pháptoán tài chính định giá các hợp đồng về tiền tệ, tỷ giá hối đoái vì các hợp đồngquyền chọn tính theo nhiều chỉ tệ Trong luận văn này chúng tôi tổng hợp một

số phương pháp toán học để nghiên cứu thị trường tiền tệ Luận văn gồm 3chương:

Chương I: Trình bày một số khái niệm cơ bản về toán tài chính

Chương II: Nêu các phương pháp toán trong hợp đồng ký kết trước; cácquyền chọn ngoại tệ, Quyền chọn mua bán tiền tệ cặp đôi, mô hình lãi suấtngoại tệ

Chương III: Dành nghiên cứu một loại hợp đồng đặc biệt trong thị trườngtiền tệ Loại hợp đồng này có tên là hợp đồng chuyển đổi giá hay hợp đồng

Cuối cùng trong phần phụ lục, tôi nêu một số kiến thức cơ sở về lý thuyếtxác suất như kỳ vọng toán có điều kiện, martingale và ứng dụng của martingaletrong tài chính

Qua đây tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Trần HùngThao, người đã tận tình giảng giải và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làmluận văn này Tôi xin cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Cơ-Tin học trườngĐại học Khoa Học Tự Nhiên - ĐH Quốc Gia Hà Nội đã giúp đỡ tôi trong suốtquá trình học tập, xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp của tôi đã độngviên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 12 năm 2009

Phạm Thị Yến

Mục lục

1.1 Thị trường tài chính 7

1.2 Cổ phiếu và các phái sinh tài chính 8

1.3 Các hợp đồng quyền chọn mua 9

1.3.1 Định nghĩa 9

1.3.2 Các điều kiện của hợp đồng quyền chọn mua 9

1.3.3 Lời hay lỗ vào lúc đáo hạn 9

1.3.4 Ví dụ 10

1.4 Các hợp đồng Quyền Chọn Bán 11

1.4.1 Định nghĩa 11

1.4.2 Các điều kiện của hợp đồng Quyền Chọn Bán 11

1.4.3 Lời hay lỗ vào lúc đáo hạn 11

1.5 Định giá Quyền chọn, mô hình Black–Scholes 12

1.5.1 Giới thiệu mô hình và kết quả 12

1.5.2 Mô hình Blacks – Scholes 12

1.5.3 Công thức Black – Scholes về giá của hợp đồng quyền chọn mua 15

1.6 Lý thuyết về độ chênh lệch thị giá 16

1.6.1 Các khái niệm chung 16

1.6.2 Cơ hội có độ chênh lệch thị giá và nguyên lý AAO 18

1.6.3 Nguyên lý đáp ứng và các khái niệm thị trường đầy đủ 19

1.6.4 Ví dụ 20

1.6.5 Định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá 21

1.6.6 Xác suất rủi ro trung tính hay độ đo martingale 23

2 CÁC HỢP ĐỒNG VỀ TIỀN TỆ 25 2.1 Khái niệm về thị trường, cơ chế, lãi suất 25

2.1.1 Thị trường tiền tệ 25

2.1.2 Cơ chế buôn bán ngoại tệ 26

2.1.3 Khái niệm về lãi suất định trước và lãi suất giao ngay 26

2.1.4 Khái niệm về đường hoa lợi 27

2.1.5 Tính lãi suất định trước 27

2.2 Sự trao đổi ngoại tệ 28

2.2.1 Các hợp đồng ký kết trước 29

2.2.2 Mô hình tiền tệ Black-Scholes 29

2.2.3 Quan điểm của các nhà đầu tư đồng đô la 30

2.2.4 Ba bước của quá trình đáp ứng (trao đổi ngoại tệ) 30

2.2.5 Những chứng khoán có thể buôn bán được 31

2.2.6 Giá thị trường tổng quát của rủi ro 33

2.3 Hợp đồng ký kết trước về tiền tệ 33

2.3.1 Hợp đồng ký kết trước 33

2.3.2 Các điều kiện của hợp đồng ký kết trước 34

2.3.3 Mối liên hệ giữa giá định trước và giá hiện tại 34

2.3.4 Tính giá định trước trao đổi ngoại tệ 35

2.4 Các quyền chọn ngoại tệ, công thức Garman-Kohlhagen 36

2.4.1 Đặt vấn đề 36

2.4.2 Ta sử dụng các ký hiệu sau 37

2.4.3 Ta sử dụng các giả thiết sau 37

2.4.4 Thiết lập các phương trình giá quyền chọn 38

2.4.5 Các điều kiện biên 39

2.4.6 Công thức Garman-Kohlhagen 39

2.5 Quyền chọn mua bán tiền tệ cặp đôi 40

2.5.1 Lý do phải có sự phối hợp giữa hợp đồng quyền chọn bán và hợp đồng quyền chọn mua 40

2.5.2 Tình huống 41

2.5.3 Phân tích tình huống 41

2.5.4 Công thức cặp đôi mua bán 42

2.5.5 Công thức Black-Scholes cho quyền chọn bán châu Âu 42

2.6 Quyền chọn mua châu Âu nhị phân (hay số hóa) 43

2.7 Tỷ giá hối đoái 44

2.7.1 Tỷ giá hối đoái đảm bảo (GER: Guarauteed Exchange Rates) 45

2.7.2 Định giá hợp đồng ký kết trước về tỷ giá hối đoái đảm bảo viết trên một cổ phiếu (GER Forward on a Stock) 46

2.8 Mô hình lãi suất ngoại tệ 51

3 CÁC HỢP ĐỒNG CHUYỂN ĐỔI GIÁ (QUANTO) TRONG THỊ TRƯỜNG TIỀN TỆ 53 3.1 Mở đầu 53

3.2 Mô hình hợp đồng chuyển đổi giá (quanto) 54

3.3 Các sản phẩm tài chính buôn bán được 55

3.4 Hợp đồng ký kết trước Quanto 56

3.5 Hợp đồng nhị phân (số hóa) 58

3.6 Bảo hộ trái phiếu 58

3.6.1 Tình huống và biện pháp 58

3.6.2 Bảo hộ giá bằng các “ Bảo đảm lãi suất bị chặn” 59

3.6.3 Bảo hộ giá bằng biện pháp “ Mua bán cổ phần cặp đôi” 60 3.6.4 Bảo hộ giá bằng hợp đồng quyền chọn 60

3.6.5 Bảo hộ tương quan 61

3.6.6 Định nghĩa và lựa chọn 61

3.6.7 Vấn đề bảo hộ 63

Chương 1

MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

Trong chương này chúng tôi nêu ra một số khái niệm cơ bản, cần thiết để nghiên cứu các thị trường tiền tệ như: hợp đồng quyền chọn, hợp đồng ký kết trước, hợp đồng giao sau và lý thuyết về độ lệch chênh thị giá.

Hầu như ai cũng nghe nói tới các trung tâm giao dịch chứng khoán NewYork, London và Tokyo Các báo cáo về hoạt động buôn bán tại các thị trườngnày thường xuất hiện trên trang nhất của các tờ báo hàng ngày và trên các bảntin thời sự buổi tối tại các quốc gia có nền kinh tế thị trường Có rất nhiều thịtrường tài chính trước nữa Mỗi thị trường đều có một đặc trưng xác định bởiloại hàng hóa tài chính được mang ra trao đổi

Các thị trường tài chính quan trọng nhất là các thị trường cổ phiếu (stockmarket), các thị trường trái phiếu (bond market), các thị trường tiền tệ (currencymarket), các thị trường hợp đồng sau và hợp đồng quyền chọn (future and optionmarket)

Hàng hóa mua bán có thể là một tài sản cơ sở (basic equity) như: một cổphiếu, một trái phiếu, một đơn vị tiền tệ Tài sản cơ sở cũng được gọi là tài sản

nguyên khởi (Primitve equity) hay tài sản nền tảng (underlyring equity) còn lạicác loại hàng hóa khác gọi là phái sinh tài chính (financial derivative) hay tàisản phụ thuộc (contigent asset; contigent claim) tức là hàng hóa mà giá trị của

nó rút ra được từ giá trị của các tài sản cơ sở Phái sinh tài chính là đối tượngnghiên cứu chính của Toán học tài chính

Một công ty cần có tiền có thể bán các cổ phiếu của họ cho các nhà đầu tư.Những người này sở hữu cổ phần hoặc những chứng từ tài sản và có thể nhậnđược cổ tức hoặc không, phục thuộc vào công ty đó làm ăn có lãi hay không và

có quyết định chia lãi cho cổ đông hay không

Giá của cổ phiếu công ty là gì? Giá trị đó phản ánh cách nhìn và dự đoáncủa nhà đầu tư về các chi trả cổ tức, về khoản kiếm được trong tương lai vànguồn vốn mà công ty đó sẽ kiểm soát Việc kiểm soát những điều không chắcchắn ấy được giải quyết trong từng ngày giao dịch bởi người mua và người báncác cổ phiếu trong các thị trường chứng khoán Cho một chứng khoán, tức làmột loại cổ phiếu hoặc trái phiếu Khi đó một phái sinh chứng khoán là mộthợp đồng đặc biệt mà giá của nó vào một ngày nào đó trong tương lại phụ thuộchoàn toàn vào giá trị trương lai của chứng khoán đó

1.3.1 Định nghĩa

Người ta có thể mua "một cơ hội mua một cổ phần chứng khoán trong tươnglai với một giá đảm bảo trước" Cái quyền cho phép có thể mua như vậy trongtương lai được gọi là Quyền Chọn Mua

1.3.2 Các điều kiện của hợp đồng quyền chọn mua

∙ Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng (người mua) có thể trả cho ngườiviết hợp đồng (người bán) số tiền bằng giá thực thi của hợp đồng

∙ Nếu người viết hợp đồng nhận số tiền giá thực thi do người giữ trả, thìngười viết phải giao một cổ phần chứng khoán cho người giữ vào ngày đáohạn

1.3.3 Lời hay lỗ vào lúc đáo hạn

Gần như lúc nào cũng vậy, hợp đồng sẽ được đặt sao cho người viết trả chongười giữ khoản chênh lệch giữa giá cổ phiếu và giá thực thi giá cổ phiếu và giáthực thi

Điều đó cho phép ta mô tả khoản chi trả có thể theo giá 𝑆 𝑇 của cổ phiếu vàgiá thực thi 𝑋 vào ngày đáo hạn

Ngược lại nếu giá chứng khoán X trên thị trường sụt giá dưới 100 đô la vàđứng yên trong đó 3 tháng thì người mua sẽ không thực hiện được hợp đồng(vì

không có lãi mà lại bị lỗ) thì người mua phải mất 200 đô la phí mua quyền chọn.Người giữ hợp đồng quyền chọn mua có một quyền chọn đầu tư nếu ngườinày không muốn có một cổ phần thì người đó sẽ tránh không trả khoản giá thựcthi của hợp đồng điều này xảy ra nếu giá cổ phiếu vào ngày đáo hạn thấp hơngiá thực thi.

Nếu người giữ hợp đồng thấy giá cổ phiếu vào ngày đáo hạn cao hơn giá thựcthi thì người đó sẽ trả giá thực thi của hợp đồng và có được một cổ phần có giátrị (quyền chọn được thực thi)

1.4.1 Định nghĩa

Người ta có thể "mua một cơ hội được phép bán một cổ phần chứng khoántrong tương lai với một giá đảm bảo", ngay cả khi mà người ta không sở hữubất kỳ một cổ phiếu nào cả Đó là nội dung các hợp đồng Quyền Chọn Bán haygọi tắt là Quyền Chọn Bán

1.4.2 Các điều kiện của hợp đồng Quyền Chọn Bán

∙ Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng này có thể đưa cho người viết hợpđồng một cổ phần chứng khoán, hoặc tương đương, một số tiền theo giá thịtrường lúc ấy của một cổ phần chứng khoán

∙ Nếu người viết hợp đồng nhận cổ phần chứng khoán hoặc số tiền tươngđương do người giữ hợp đồng giao cho thì anh ta phải trả chi phí thực thicho người giữ hợp đồng vào ngày đáo hạn của hợp đồng

1.4.3 Lời hay lỗ vào lúc đáo hạn

Thông thường thì với hợp đồng Quyền Chọn Bán này thì hoặc là hợp đồngkhông được thực thi, hoặc là người viết hợp đồng sẽ trả cho người giữ hợp đồngmột khoản chênh lệch giữa giá thực thi và giá chứng khoán vào lúc đáo hạn

Ký hiệu giá chứng khoán lúc đáo hạn là 𝑆 𝑇 còn giá thực thi là 𝑋 thì ta có thểnói rằng thu hoạch của người giữ quyền chọn bán này là:

Thu hoạch quyền chọn bán= max {𝑋 − 𝑆 𝑇 ; 0}

= (𝑋 − 𝑆 𝑇)+

quyền chọn bán có hạn chế là chỉ được thực thi vào lúc đáo hạn

1.5.1 Giới thiệu mô hình và kết quả

Năm 1973, trong một tạp chí về kinh tế chính trị, hai nhà kinh tế kiêm toánhọc Mỹ là Fisher Black và Myron Scholes đã công bố một bài báo quan trọng

về định giá Quyền Chọn Từ đó ra đời Mô hình Blacks – Scholes để định giá tàisản không rủi ro trong một thị trường với thời gian liên tục Ngay lập tức, môhình đó cùng với công thức Blacks – Scholes nổi tiếng rút ra từ mô hình đó đã

có một tác động có tính chất cách mạng đến các thị trường chứng khoán Mỹ lúc

đó Người ta thấy rõ sự đơn giản mà rất hiệu quả của mô hình này để định giáchứng khoán và định giá hợp đồng Quyền Chọn có kể đến các yếu tố ngẫu nhiêntác động lên thị trường Năm 1996, Scholes đã nhận được giải thưởng Nobel vềkinh tế học nhờ các công trình về tài chính với sự cộng tác của R.C Merton,một chuyên gia lão luyện về Tài chính tại Viện Công nghệ Massachusetts

Gọi 𝑆 = 𝑆 𝑡 là giá cổ phiếu tại thời điểm 𝑡 Vì giá cổ phiếu chịu nhiều tácđộng ngẫu nhiên của thị trường, nên ta coi 𝑆 𝑡 là một quá trình ngẫu nhiên vớithời gian liên tục 𝑆 𝑡 = 𝑆(𝑡, 𝜔)

1.5.2 Mô hình Blacks – Scholes

Mô hình Blacks – Scholes được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiêntuyến tính như sau:

trong đó𝜇, 𝜎 là những hằng số, còn 𝐵 𝑡 là chuyển động Brown lời giải của phươngtrình này là một quá trình ngẫu nhiên 𝑆 𝑡 = 𝑆(𝑡, 𝜔) hơn nữa lời giải này là mộtchuyển động Brown hình học

∙ Có lãi suất không đổi

∙ Không chia lợi tức cho cổ đông trước khi đáo hạn

∙ 𝑑𝑆 𝑡: là lượng giá cổ phiếu thay đổi trong khoảng thời gian [𝑡; 𝑡 + 𝑑𝑡]

∙ 𝜇: là hằng số (biểu thị độ thay đổi tương đối về giá 𝑑𝑆 𝑡

𝑆 𝑡 tỷ lệ với độ dài thờigian 𝑑𝑡)

∙ 𝜎: là hằng số và được gọi là độ biến động của giá cổ phiếu 𝑆 𝑡 (vì 𝜎 càng lớnthì tác động ngẫu nhiên càng lớn)

∙ 𝐵 𝑡: là chuyển động Brown (quá trình Wiener)

𝑆0 là giá cổ phiếu được quan sát tại thời điểm 𝑡 = 0

Nhận xét:

Trong chuyển động Brown hình học (1.2) thì 𝜇 và 𝜎 đã biết, vì vậy ta xácđịnh được 𝑆 𝑡, nhưng trong thực tế thì 𝜇 và 𝜎 thường là chưa biết mà người taphải xác định nó bằng phương pháp thống kê, ước lượng, quan sát như sau

Giả sử ta ghi nhận được một số liệu về giá cổ phiếu trong một khoảng thờigian [0, 𝑇 ] Ta chia [0, 𝑇 ] thành 𝑛 khoảng bằng nhau, có độ dài Δ𝑡 𝑖 = 𝑡 𝑖 − 𝑡 𝑖−1

với 𝑖 = 0, 1, , 𝑛 Giả sử ta biết giá chứng khoán tại điểm cuối 𝑡 𝑖 của mỗi khoảngnhỏ [𝑡 𝑖−1 , 𝑡 𝑖] Như vậy ta có 𝑛 + 1 quan sát 𝑆1, 𝑆2, , 𝑆 𝑛+1

Trong đó (𝐵 𝑡 𝑖+1 − 𝐵 𝑡 𝑖) là một biến ngẫu nhiên chuẩn có kì vọng 0 và phương sai

Δ𝑡, hơn nữa, các biến ngẫu nhiên (𝐵 𝑡 𝑖+1 − 𝐵 𝑡 𝑖) là các biến ngẫu nhiên độc lập với

𝑖 = 0, 1, , 𝑛 Theo công thức thống kê thì trung bình mẫu 𝑈 và phương sai mẫu

𝑆2 của dãy số liệu 𝑈1, 𝑈2, , 𝑈 𝑛 được tính bởi công thức:

𝑈0 Nếu căn cứ vào (1.3) thì phương trình phương sai của 𝑈 là:

Trong đó (1.6) là công thức Black – Scholes để xác định giá 𝑉 của một quyềnchọn mua kiểu châu Âu tại thời điểm hiện tại 𝑡, trên cơ sở giá cổ phiếu 𝑆 𝑡 tuântheo mô hình Black – Scholes

Trong đó 𝑋 là giá thực thi của quyền chọn mua kiểu châu Âu (tại thời điểm

𝑇); 𝑇 là thời điểm đáo hạn; 𝑟 là lãi suất không rủi ro 𝑟 = 𝜇; 𝑆 𝑡 là giá cổ phiếutại thời điểm 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ]; 𝑁 ký hiệu cho hàm phân phối 𝑁(0, 1)

1.6 Lý thuyết về độ chênh lệch thị giá

1.6.1 Các khái niệm chung

1.6.1.1 Phương án đầu tư (portfolio)

Một phương án đầu tư là một tổ hợp của một số hữu hạn các chứng khoánvới các trọng số nào đấy Giả sử có 𝑛 chứng khoán với giá tại thời điểm 𝑡 là:

𝑆1(𝑡), , 𝑆 𝑛 (𝑡)

Một phương án đầu tư là một cách chọn ra 𝛼1(𝑡) chứng khoán 𝑆1, , 𝛼 𝑛 (𝑡)

chứng khoán 𝑆 𝑛 tại mỗi thời điểm 𝑡 để đầu tư Vậy giá trị của phương án ấy tạithời điểm 𝑡, ký hiệu bởi 𝑉 𝛼 (𝑡) được xác định bởi

Vì các chứng khoán𝑆1(𝑡), , 𝑆 𝑛 (𝑡)là các quá trình ngẫu nhiên nên giá của phương

án đầu tư cũng là một quá trình ngẫu nhiên Các 𝛼 𝑖 (𝑡) ở đây là các hàm số tấtđịnh của 𝑡 Một phương án đầu tư có thể ký hiệu là (𝛼, 𝑆) hay 𝜙 = (𝛼, 𝑆)

1.6.1.2 Phương án mua và bán

Một phương án đầu tư (𝛼, 𝑆)được gọi là phương án bán đối với chứng khoán

𝑆 𝑖 (𝑖 = 1, , 𝑛) tại thời điểm 𝑡 nếu 𝛼 𝑖 (𝑡) > 0 và được gọi là phương án mua đốivới chứng khoán ấy nếu 𝛼 𝑖 (𝑡) < 0 Giá của chứng khoán 𝑆 𝑖 tại thời điểm 𝑡 được

ký hiệu là 𝑆 𝑖 (𝑡)

1.6.1.3 Thị trường không có độ chênh lệch thị giá

Ta nói rằng thị trường ℳ = (𝑆, Φ) là một thị trường không có cơ hội chênhlệch thị giá, nếu không tồn tại một phương án đầu tư tự tài trợ nào trong Φ mà

có độ chênh lệch thị giá

Giả thiết "không có độ chênh lệch thị giá" gọi là nguyên lý AAO (Absence

of Arbitrage Opportunity)

1.6.1.4 Cân đối và tự tài trợ

(a) Tại một thời điểm 𝑡, phương án đầu tư có thể được cân đối lại tức là điềuchỉnh lại việc mua và bán chứng khoán 𝑆 𝑖 (𝑖 = 1, 𝑛) Điều đó cũng có nghĩa

là thay đổi các trọng số của chúng từ 𝛼1(𝑡), , 𝛼 𝑛 (𝑡) sang 𝛽1(𝑡), , 𝛽 𝑛 (𝑡).(b) Nếu sau sự cân đối lại đó mà giá của phương án đầu tư không thay đổi, tứclà:

𝛽1(𝑡)𝑆1(𝑡) + + 𝛽 𝑛 (𝑡)𝑆 𝑛 (𝑡) = 𝛼1(𝑡)𝑆1(𝑡) + + 𝛼 𝑛 (𝑡)𝑆 𝑛 (𝑡)

thì ta gọi sự cân đối đó là cân đối tự tài trợ

Nhận xét: Một phương án đầu tư (𝛼, 𝑆) là một phương án tự tài trợ nếu

án 𝜙 là một phương án tay không mà kiếm được lợi nhuận

1.6.2 Cơ hội có độ chênh lệch thị giá và nguyên lý AAO

1.6.2.1 Cơ hội có độ chênh lệch thị giá

Xét một mô hình thị trườngℳgồm các chứng khoán𝑆và một họ các phương

án đầu tư tự tài trợ Φ = {𝜙 = (𝛼, 𝑆)}

Ta ký hiệu ℳ = (𝑆, Φ)

Các giá chứng khoán 𝑆 𝑡 trong 𝑆 được xem là các quá trình ngẫu nhiên xemxét trong một không gian xác suất được lọc (Ω, ℱ, (ℱ 𝑡 ), 𝑃 ) với (ℱ 𝑡) là một họtăng các 𝜎−trường con của ℱ và thỏa mãn các điều kiện thông thường (tức làmột họ tăng theo 𝑡, liên tục phải và chứa mọi tập ℱ-đo được và 𝑃-bỏ qua được,đồng thời ℱ = {Ω, 𝜙} (theo định nghĩa) Họ (ℱ 𝑡) chính là luồng thông tin về thịtrường, nó ghi nhận mọi biến cố xảy ra trên thị trường

1.6.2.2 Tài sản phái sinh kiểu Châu Âu

Gọi 𝑋 là biến ngẫu nhiên bất kỳ ℱ−đo được Một hợp đồng tài chính chỉthực thi tại thời điểm đáo hạn 𝑇 với giá trị là 𝑋 𝑇 được gọi là một tài sản pháisinh kiểu Châu Âu và được ký hiệu là 𝑋

Tài sản phái sinh Châu Âu cũng được gọi là một quyền tài chính Châu Âu.Nếu không nói gì thêm từ nay ta gọi tắt một phái sinh hay một quyền

1.6.3 Nguyên lý đáp ứng và các khái niệm thị trường đầy

đủ

1.6.3.1 Định nghĩa chiến lược đáp ứng

Chiến lược đáp ứng đối với một phái sinh có giá trị đáo hạn𝑋 𝑇 tại thời điểmđáo hạn 𝑇 là một phương án đầu tư tự tài trợ sao cho

𝑉 𝑇 (𝜙) = 𝑋 𝑇

tức là sao cho giá trị lúc đáo hạn của phương án đầu tư ấy bằng đúng với giátrị tự đáo hạn 𝑋 𝑇 đã xác định trước và đã ghi trong hợp đồng

Quá trình 𝑉 𝑡 (𝜙) của phương án đấy được gọi là quá trình đáp ứng

Ký hiệu Φ𝑋 là lớp tất cả các phương án đầu tư 𝜙 đáp ứng cho phái sinh 𝑋.1.6.3.2 Định nghĩa phái sinh đạt được

Một tài sản phái sinh 𝑋 được gọi là đạt được trong thị trường ℳnếu nó có

ít nhất một phương án đáp ứng cho nó

Tức là Φ ∕=∅

1.6.3.3 Định nghĩa thị trường đầy đủ

Một thị trường ℳ được gọi là đầy đủ nếu mọi tài sản phái sinh 𝑋 đều đạtđược trong ℳ, hay nói một cách tương đương, nếu với mọi biến ngẫu nhiên 𝑋

đo được đối với ℱ 𝑇 thì tồn tại ít nhất một phương án đầu tư 𝜙 ∈ Φ sao cho

𝑉 𝑇 (𝜙) = 𝑋 𝑇

Nói chung tính đầy đủ là một đòi hỏi khá cao trong thị trường Với đòi hỏinày thì mọi tài sản phái sinh kiểu Châu Âu đều có thể định giá bằng phươngpháp độ chênh lệch thị giá và quá trình giá có thể xây dựng tương tự như phương

∙ Nếu 𝐶(0) = 𝑆(0) thì không có lợi nhuận do sự chênh lệch thị giá

Nếu 𝑆(𝑡) là một chuyển động Brown hình học 𝑆(𝑡) = 𝑆0.𝑒 𝜇𝑡+𝜎𝐵(𝑡)

thì 𝐸.𝑆(𝑡) = 𝑆(0).𝑒 (𝜇+1

2𝜎2).𝑇

1.6.5 Định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá

1.6.5.1 Quan hệ giữa nguyên lý AAO và nguyên lý đáp ứng

Giả thiết rằng 𝑋 là một phái sinh thực thi tại thời điểm đáo hạn 𝑇

Định nghĩa: Ta nói rằng phái sinh 𝑋 được đáp ứng một cách duy nhấttrong thị trường ℳnếu tồn tại một quá trình đáp ứng duy nhất đối với 𝑋 tức

là nếu có hệ thức:

𝑉 𝑡 (𝜙) = 𝑉 𝑡 (Ã) ∀𝑡 ≤ 𝑇

với hai phương án đầu tư bất kỳ 𝜙 và Ã thuộc về Φ𝑋

Định lý sau đây nói lên sự tương quan giữa nguyên lý không có độ chênh thịgiá (AAO) và nguyên lý đáp ứng

Định lý: Giả sử ℳ là một thị trường không có độ chênh thị giá Khi đó mọi tài sản phái sinh đạt được 𝑋 đều được đáp ứng duy nhất trong thị trường ℳ

1.6.5.2 Ý tưởng chính của việc định giá bằng phương pháp độ chênh

thị giá

Gọi là định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá nhưng thực chất là dựavào nguyên lý AAO và nguyên lý đáp ứng để tính ra giá của một tài sản pháisinh tại một thời điểm 𝑡 trước lúc đáo hạn 𝑇, đặc biệt là tính ra được giá banđầu𝑉0 của phương án cần đầu tư để đạt được giá trị đáo hạn𝑋 đặt ra trước củahợp đồng Công cụ để thực hiện phương pháp này là một độ đo xác suất mới

mà ta sẽ gọi là xác suất rủi ro trung tính hay độ đo martingale Vì thế phươngpháp này cũng được gọi là phương pháp rủi ro trung tính

Giả sử 𝑉 𝑡 là giá của một phương án đầu tư tại thời điểm 𝑡 nhằm thực hiệnmột hợp đồng phái sinh có giá trị đáo hạn là𝑋 đó là một quá trình ngẫu nhiênxét trên một không gian được lọc(Ω, ℱ, (ℱ 𝑡 ) , 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇, 𝑃 ), trong đó(ℱ 𝑡)là luồngthông tin về thị trường với ℱ0 = {Ω,∅} và 𝑃 là xác suất ban đầu

Nói chung dưới độ đo ban đầu 𝑃 thì (𝑉 𝑡) không phải là một martingale đốivới ℱ 𝑡 Người ta đi tìm một độ đo xác suất 𝑄mới và một hệ số tất định 𝑘(𝑡)saocho:

(a) 𝑄 tương đương với độ đo xác suất 𝑃

(b) Dưới độ đo 𝑄 thì quá trình ˜𝑉 𝑡 = 𝑘(𝑡).𝑉 𝑡 là một martingale đối với luồngthông tin thị trường ℱ 𝑡, tức là

𝐸 𝑄(𝑉˜𝑡 ∣ℱ 𝑠) = 𝑉˜𝑠 với mọi 𝑠 ≤ 𝑡Đặc biệt nếu 𝑠 = 0 và𝑡 = 𝑇 thì hệ thức trên cho ta:

𝐸 𝑄(𝑉˜𝑡 ∣ℱ0 =𝑉˜0nhưng vìℱ0 = {Ω,∅} nên𝐸 𝑄 (.∣ℱ0) = 𝐸 𝑄 (.), tức là kỳ vọng có điều kiện ℱ0 cũngnhư không có điều kiện Vậy ta có:

𝐸 𝑄(𝑉˜𝑇) = 𝑉˜0hay

𝐸 𝑄 (𝑘(𝑇 )𝑉 𝑇 ) = 𝑘(0)𝑉0

Vì 𝑘(𝑡) là một hàm tất định nên ta rút ra

𝑉0 = 𝑘(𝑇 )

𝑘(0) .𝐸 𝑄 (𝑉 𝑇)

Vì giả thiết có nguyên lý AAO nên tồn tại một phương án đáp ứng 𝜙 với giá

𝑉 𝑡 = 𝑉 𝑡 (𝜙) sao cho 𝑉 𝑇 = 𝑋 𝑇 Cuối cùng ta có

𝑉0 = 𝑘(𝑇 )

𝑘(0) 𝐸 𝑄 (𝑋 𝑇)

Hệ thức này cho ta biết cần đầu tư vốn ban đầu bằng 𝑉0 như trên để đạt đượcgiá trị của hợp đồng bằng 𝑋 𝑇 như mong muốn Ngoài ra, ta cũng biết được giácủa hợp đồng phái sinh tại một thời điểm 𝑡 bất kỳ

𝑉 𝑡 = 𝑘(𝑇 )

𝑘(𝑡) 𝐸 𝑄 (𝑋 𝑇)

1.6.6 Xác suất rủi ro trung tính hay độ đo martingale

Xét một tài sản phái sinh kiểu châu Âu 𝑋 có giá trị đáo hạn là 𝑋 𝑇, đượcviết trên tài sản cơ sở 𝑆

𝑆 = (𝑆 𝑡 , 0 ≤≤ 𝑇 )

có thời gian đáo hạn là 𝑇.

Giả thiết rằng 𝑆 là một chiều (ví dụ như là một cổ phiếu), các giá của 𝑆 đều

là một quá trình ngẫu nhiên trên một không gian xác suất được lọc(Ω, ℱ, (ℱ 𝑡 ), 𝑃 )

trong đó ℱ 𝑡 là bộ lọc mang thông tin về thị trường

Giả sử hệ số chiết khấu là 𝑘(𝑡) = 1

𝛽(𝑡) trong đó 𝛽(𝑡) cũng là một quá trìnhngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất được lọc nói trên Thông thường

ta hay chọn 𝛽(𝑡) = 𝑒 𝑟(𝑇 −𝑡), do đó hệ số chiết khấu là 𝑒 −𝑟(𝑇 −𝑡); nếu lãi suất không

có rủi ro thì 𝑟 là tất định và hệ số chiết khấu là tất định

]

= 𝑆 𝑠

𝛽(𝑠) với mọi 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇

1.6.6.2 Chú ý

∙ Tính chất (ii) là một tính chất martingale của quá trình giá chiết khấu Do

đó xác suất 𝑄 được gọi là độ đo martingale

∙ Giả sử 𝑄 là một độ đo martingale Gọi 𝑉 𝑡 là quá trình giá của một chiếnlược đầu tư tự tài trợ xây dựng trên tài sản cơ sở 𝑆 Người ta đã chứngminh được rằng khi đó quá trình giá chiếu khấu

˜

𝑉 𝑡 = 𝑉 𝑡

𝛽(𝑡)

cũng là một martingale đối với (𝑄, ℱ 𝑡)

∙ Người ta đã chứng minh được kết quả quan trọng được gọi là định lý cơbản để định giá tài sản:

Một thị trường là không có độ chênh thị giá (AAO) nếu và chỉ nếu tồn tại một xác suất rủi ro trung tính 𝑄 (hay độ đo martingale 𝑄 )

2.1.1 Thị trường tiền tệ

Thị trường tiền tệ hay thị trường buôn bán ngoại tệ là nơi diễn ra các giaodịch, trao đổi, mua bán một số mặt hàng nhất định Thị trường tiền tệ là thịtrường lớn nhất trong các thị trường tài chính Hiện nay các trung tâm buônbán ngoại tệ hàng đầu thế giới phải kể đến như: trung tâm buôn bán ngoại tệLuân Đôn, New York, Tokyo,

Thị trường tiền tệ nước ngoài hay thị trường tiền gửi là nơi diễn ra các hoạt

động cho vay, và vay bằng ngoại tệ với những thời hạn xác định kèm theo mộtkhoản tiền lời thể hiện qua lãi suất (giá của tiền) Các mức lãi suất này xác địnhchi phí hay mức thu nhập có liên quan đến việc sẽ sử dụng tiền trong một thời

gian nhất định.

Thị trường tiền tệ trong nước là nơi giao dịch các nguồn vốn bằng đồng bản

tệ và hoạt động theo các quy định của quản lý thị trường trong nước Khi cómột giao dịch được thực hiện bằng bất cứ đồng tiền nào vượt ra ngoài quy địnhquản lý thị trường trong nước đối với đồng tiền này khi đó xuất hiện đồng tiềnnước ngoài

2.1.2 Cơ chế buôn bán ngoại tệ

Người ta dùng 2 công thức định giá sau đây trong giao dịch trao đổi ngoại

tệ đó là công ước Mỹ và công ước Châu Âu

a Công ước Mỹ: Sự trao đổi ngoại tệ thể hiện theo công thức

Số đơn vị tiền trong nước = 1 đơn vị ngoại tệ

b Công ước Châu Âu: Sự trao đổi ngoại tệ thể hiện theo công thức

Số đơn vị ngoại tệ = 1 đơn vị nội tệ

2.1.3 Khái niệm về lãi suất định trước và lãi suất giao

ngay

* Lãi suất định trước: Giả sử thời điểm hiện tại 𝑡 = 0, ta định trước lãisuất tại thời điểm 𝑡 > 0 trong thời điểm hiện tại 𝑡 = 0 được gọi là lãi suất địnhtrước

* Lãi suất giao ngay: (còn được gọi là lãi suất tại chỗ) là lãi suất đượctính cho một công cụ tài chính hay lãi suất thanh toán trong giao dịch tài chính.Lãi suất giao ngay phản ánh lãi suất thị trường trong khoảng 2 ngày từ thờiđiểm buôn bán

2.1.4 Khái niệm về đường hoa lợi

Hoa lợi (yeild), kí hiệu là 𝑌 (𝑇 ) , chỉ lãi suất tính theo năm mà ta phải trảhôm nay cho một trái phiếu đáo hạn trong vòng𝑇 năm nữa Đó là lãi suất trungbình hàng năm cho thời kì [0, 𝑇 ] Với những trái phiếu không phải trả lãi trước

ngày đáo hạn thì hoa lợi được tính theo tỉ lệ giữa giá hiện tại và giá lúc đáo hạncủa trái phiếu Nếu kí hiệu tỉ lệ đó là 𝑃 (0, 𝑇 ) thì

và cũng phụ thuộc vào dự đoán của người buôn bán về triển vọng tương lai củacác trái phiếu Nếu người đó đánh giá đúng thị trường thì hãng của anh ta sẽ

có lãi nhiều, nếu đánh giá nhầm thì sẽ bị thua lỗ nặng

2.1.5 Tính lãi suất định trước

Ta ký hiệu:

𝑃 (0, 𝑇 ) là tỷ lệ giữ giá trị hiện tại (𝑡 = 0) và giá trị lúc đáo hạn 𝑡 = 𝑇 củamột trái phiếu

𝑌 (𝑇 ) là đường hoa lợi, 𝑃 (0, 𝑇 ) = 𝑒 −𝑇.𝑌 (𝑇 )

𝑓 (0, 𝑡) là lãi suất định trước

Chú ý: Khi thực hành tính lãi suất định trước thông thường ta chỉ biết một

số giá trị rời rạc của 𝑌 (𝑡)và 𝑃 (0, 𝑡) tại một số điểm rời rạc 𝑡1, 𝑡2, , 𝑡 𝑛 cho nên takhông thể tính ngay được đạo hàm mà phải sử dụng phương pháp nội suy tuyếntính để được các đường gấp khúc tại 𝑡1, 𝑡2, , 𝑡 𝑛 sau đó làm trơn các đường ấy

để có hàm trơn 𝑌 (𝑡).

Trong thị trường trao đổi ngoại tệ, cũng giống như thị trường cổ phiếu, việcnắm giữ tài sản cơ bản, tiền tệ là việc mạo hiểm Giá trị bằng đô la của mộtbảng Anh biến đổi liên tục cũng giống như cổ phiếu của nước Mỹ Nó dẫn tớiyêu cầu phái sinh tài chính; khoản tiền thanh toán dựa trên giá trị trong tươnglai của một đơn vị tiền tệ này theo một đơn vị tiền tệ khác

2.2.1 Các hợp đồng ký kết trước

Ta hãy xét một giao dịch định trước Một nhà đầu tư đô la muốn chấp thuậngiá trị về mặt đô la của một bảng Anh tại một thời điểm 𝑇 trong tương lai.Cũng giống với cổ phiếu, chiến lược tái tạo để đảm bảo phái sinh tài chính địnhtrước là cố định Bây giờ chúng ta mua bảng Anh và bán đồng đô la Nhưngtiền mặt trong cả hai đơn vị tiền tệ đều thu được lãi suất Và cũng như trong

mô hình Black-Scholes đơn giản, việc nắm giữ tiền mặt của chúng ta không còn

là tiền mặt mà là trái phiếu

Chúng ta sẽ thực hiện cụ thể: giả sử lãi suất của đồng đô la là hằng số 𝑟, lãisuất đồng bảng Anh là 𝑢 và hiện tại 𝐶0 đô la mua được 1 bảng Anh Xét chiếnluợc tái tạo cố định sau Tại thời điểm 𝑡, chúng ta:

∘ Sở hữu 𝑒 −𝑢𝑇 đơn vị trái phiếu đồng bảng Anh

∘ Sở hữu ngắn hạn 𝐶0.𝑒 −𝑢𝑇 đơn vị trái phiếu đồng đô la.

Tại thời điểm 𝑡 = 0, phương án đầu tư có giá trị không và tại thời điểm 𝑇

việc nắm giữ đồng bảng Anh sẽ là một bảng Anh như yêu cầu, và việc nắm giữđồng đô la ngắn hạn sẽ là 𝐶0.𝑒 (𝑟−𝑢)𝑇 giá định trước mà ta mong muốn So sánhvới giá cổ phiếu định trước 𝑆0.𝑒 𝑟𝑇 Chúng ta phải thận trọng khi mở rộng môhình đơn giản cho trao đổi ngoại tệ

2.2.2 Mô hình tiền tệ Black-Scholes

Giả sử 𝐵 𝑡 là trái phiếu đồng đô la, 𝐷 𝑡 là trái phiếu bằng đồng bảng Anh và

𝐶 𝑡 đô la = 1 bảng Anh

Khi đó mô hình là

Trái phiếu đô la 𝐵 𝑡 = 𝑒 𝑟𝑡

Trái phiếu bảng Anh 𝐷 𝑡 = 𝑒 𝑢𝑡

Tỷ suất trao đổi 𝐶 𝑡 = 𝐶0 exp(𝜎.𝑊 𝑡 + 𝜇.𝑡)

(2.2)

Với 𝑊 𝑡 là 𝑃 −chuyển động Brown, 𝑟, 𝑢, 𝜎, 𝜇 là các hằng số

2.2.3 Quan điểm của các nhà đầu tư đồng đô la

Tài chính cơ sở chỉ ra rằng có 2 hình thức buôn bán được dành cho nhàđầu tư đồng đô la Một hình thức không phức tạp trái phiếu đô la buôn bánđược dễ dàng bằng đô la cũng giống như trái phiếu trong tài khoản cơ bản củaBlack-Scholes Hình thức còn lại thì không đơn giản Chúng ta thường coi tỷsuất trao đổi ngoại tệ 𝐶 𝑡 là có thể kinh doanh được nhưng không phải vậy Quátrình 𝐶 𝑡 biểu diễn giá trị bằng đô la của 1 bảng Anh, nhưng tiền bảng Anhkhông phải là một đối tượng mua bán được trong thị trường của chúng ta

2.2.4 Ba bước của quá trình đáp ứng (trao đổi ngoại tệ)

1 Tìm 1 độ đo 𝑄 sao cho trái phiếu đồng bảng Anh được chiết khấu bởi tráiphiếu đô la 𝑍 𝑡 = 𝐵 𝑡 −1 .𝑆(𝑡) = 𝐵 𝑡 −1 .𝐶 𝑡 .𝐷 𝑡 là một martingale

2 Thiết lập quá trình 𝐸 𝑡 = 𝐸 𝑄(

𝐵 𝑇 −1 .𝑋 ∣ ℱ 𝑡)

3 Tìm 1 quá trình khả đoán 𝜙 𝑡 thỏa mãn:𝑑𝐸 𝑡 = 𝜙 𝑡 𝑑𝑍 𝑡

Bước 1: Chiết khấu đô la có giá trị theo trái phiếu bảng Anh sẽ là

𝑍 𝑡 = 𝐶0 exp (𝜎.𝑊 𝑡 + (𝜇 + 𝑢 − 𝑟).𝑡) (2.3)Chúng ta có thể biến nó thành một martingale theo một độ đo 𝑄 mới chỉ khi

Bước 3: Định lý biểu diễn martingle tạo nên một quá trình ℱ−khả đoán,

𝜙 𝑡 nối 𝐸 𝑡 và 𝑍 𝑡 sao cho

∙ Nắm giữ 𝜙 𝑡 đơn vị trái phiếu bảng Anh

∙ Nắm giữ 𝑡 = 𝐸 𝑡 − 𝜙 𝑡 𝑍 𝑡 đơn vị trái phiếu đô la

Giá trị về mặt đô la của phương án đầu tư đáp ứng tại thời điểm 𝑡 là 𝑉 𝑡 =

𝜙 𝑡 𝑆 𝑡 + Ã 𝑡 𝐵 𝑡 = 𝐵 𝑡 𝐸 𝑡 phương án đầu tư này là tự tài trợ nếu sự thay đổi giá trị của

nó chỉ phụ thuộc vào sự thay đổi về giá của tài sản tức là: 𝑑𝑉 𝑡 = 𝜙 𝑡 𝑑𝑆 𝑡 + Ã 𝑡 𝑑𝐵 𝑡

Vì 𝑉 𝑇 = 𝐵 𝑇 𝐸 𝑇 chúng ta có một chiến lược tự tài trợ (𝜙 𝑡 , 𝑡) mà đáp ứng độchênh lệch thị giá của bất kỳ

Vậy giá 𝑉 𝑡 của phương án đầu tư tại thời điểm 𝑡 là:

2.2.5 Những chứng khoán có thể buôn bán được

2.2.5.1 Tài sản buôn bán được

Giả sử ta đưa ra 𝐵 𝑡 đơn vị tiền tệ cơ bản (nuneraire) và một chứng khoán

𝑆 𝑡, một quá trình 𝑉 𝑡 biểu diễn một tài sản có thể mua bán được nếu tồn tại một

độ đo xác suất martingale 𝑄 sao cho giá trị chiết khấu 𝐵 𝑡 −1 𝑉 𝑡 của nó thực sự làmột 𝑄−martingale

2.2.5.2 Những chứng khoán buôn bán được và giá thị trường của rủi

Giả sử chúng ta có một cặp chứng khoán có thể buôn bán được 𝑆 𝑡1 và 𝑆 𝑡2,

cả 2 đều cùng xét trong một thị trường; thỏa mãn phương trình vi phân ngẫunhiên:

𝑑𝑆 𝑡 𝑖 = 𝑆 𝑡 𝑖 (𝜎 𝑖 𝑑𝑊 𝑡 + 𝜇 𝑖 𝑑𝑡) 𝑖 = 1, 2

với cùng một chuyển động Brown 𝑊 𝑡 Chúng ta muốn giá chiết khấu của 𝑆 𝑡1 và

𝑆 𝑡2 là những martingale đối với cùng một độ đo 𝑄 Ở đây:

Ý nghĩa của đại lượng 𝛾 = 𝜇 − 𝑟

𝜎 là: Với 𝜇là tốc độ tăng trưởng của giá cổ phiếu

𝑆, 𝑟 là tốc độ tăng trưởng của giá trái phiếu 𝐵 và𝜎 là khối lượng rủi ro thì 𝛾 là

tỷ suất của lợi nhuận gia tăng tính trên một đơn vị đo sự rủi ro Người ta gọi

đó là giá thị trường của rủi ro

2.2.6 Giá thị trường tổng quát của rủi ro

Trên thực tế, chúng ta có thể khái quát hóa các mô hình Giờ chúng ta quansát quá trình giá ngẫu nhiên tổng quát 𝑆 𝑡 cho bởi phương trình vi phân ngẫunhiên sau đây:

Hợp đồng ký kết trước là một bản thỏa thuận giữa 2 đối tác A (người mua)

và B (người bán) để mua bán một loại hàng hóa sản phẩm tài chính nào đó(dầu mỏ, cà phê, lúa gạo, chỉ số chứng khoán ) vào một thời điểm ấn địnhtrước trong tương lai với một khoản tiền định trước Không có một đồng tiềnnào được trao tay vào lúc thỏa thuận

2.3.2 Các điều kiện của hợp đồng ký kết trước

(i) Đến thời điểm đáo hạn 𝑇, bên A phải giao cho bên B một khối lượng sảnphẩm tài chính (cổ phiếu, ngoại tệ, ) hoặc một khối hàng hóa nào đó (dầu

mỏ, cà phê, lúa gạo, ) có giá thị trường 𝑋 tại thời điểm 𝑇.

(ii) Đến thời điểm 𝑇, bên B phải giao cho bên A một khoản tiền mặt 𝐹 (0, 𝑇 ),khoản tiền này đã được thỏa thuận từ lúc ký hợp đồng

(iii) Không có một chi phí giao dịch nào trước thời điểm 𝑇

(iv) Đến thời điểm 𝑇, cả hai bên bắt buộc phải thực thi các quy ước đó theomột số điều khoản cụ thể

2.3.3 Mối liên hệ giữa giá định trước và giá hiện tại

Vì hợp đồng ký kết trước được thực thi sau một khoảng thời gian nhất định

và không có chi phí giao dịch nên giá của hợp đồng tại thời điểm ký kết𝑡 = 0 làbằng không

trong đó 𝑟 𝑠 là lãi suất

Ký hiệu 𝑃 (0, 𝑇 ) là giá hôm nay (𝑡 = 0) của trái phiếu và thời điểm đáo hạn

dưới xác suất rủi ro trung tính 𝑄

đối với tài sản 𝑆, quá trình 𝑆 𝑇 thỏa mãn hệ thức

Giá định trước của hợp đồng cho bởi hệ thức

𝐹 (0, 𝑇 ) = 𝑆0

đây là công thức liên hệ giữa giá trị tại chỗ và giá định trước

2.3.4 Tính giá định trước trao đổi ngoại tệ

Giả sử có một hợp đồng ký kết trước Một công ty muốn đổi đồng Việt Namsang đồng đô la Mỹ Việc thanh toán sẽ tiền hành vào một ngày nào đó trongtương lai, thường thì phía đối tác của công ty đó là ngân hàng Câu hỏi đượcđặt ra là tính giá như thế nào?

Thực ra giá cả được xác định bởi các lãi suất trong 2 quốc gia có hợp đồngtiền tệ đó cộng với tỷ giá hối đoái

Giả quyết vấn đề

Giả sử có một ngân hàng làm ăn với một công ty X nào đó, ngân hàng sẽxuất ra một đồng Việt Nam cho công ty X Về phần công ty sẽ xuất ra mộtđồng đô la Mỹ cho ngân hàng vào lúc đó

Giả sử 𝑆0 đô la = 1 đồng Việt Nam

Ở thời điểm 𝑡 = 0, ngân hàng vay 𝑆0.𝑒 −𝑅 𝐹 𝜏 đô la Số tiền này được chuyểnthành 𝑒 −𝑅 𝐹 𝜏 đồng Việt Nam theo sơ đồ sau

𝑡 = 𝜏 𝑆0.𝑒 −𝑅 𝐹 𝜏 𝑒 𝑅 𝐷 𝜏 1

Tức số tiền 𝑒 −𝑅 𝐹 𝜏 đồng Việt Nam được đầu tư với lãi suất Việt Nam Đếnthời điểm 𝑡 = 𝜏 thì số tiền là 1 đồng Việt Nam đem giao cho công ty 𝑋 Muốnhòa vốn thì ngân hàng phải thu được

Tiền thu = 𝑆0.𝑒 −𝑅 𝐹 𝜏 𝑒 𝑅 𝐷 𝒯 đô la tại thời điểm 𝒯

Công thức trên là công thức lãi suất cặp đôi của Keynes.

Tổng quát hóa: M đơn vị ngoại tệ sẽ được đổi thành

𝑀 ′ = 𝑀.𝑆0.𝑒 (𝑅 𝐷 −𝑅 𝐹 )𝜏 đơn vị nội tệ (2.10)