Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân ở biểu thức định nghĩa trên hội tụ... Phép biến đổi Laplace ttBiến đổi Laplace của các hàm cơ bản tt: Hàm sin: Bảng biến đổi Laplace: SV cần họ
Trang 1 Định nghĩa:
Cho f(t) là hàm xác định với mọi t ≥ 0, biến đổi Laplace của f(t) là:
Phép biến đổi Laplace
Trong đó:
− s : biến phức (biến Laplace)
− L : toán tử biến đổi Laplace
− F(s) : biến đổi Laplace của hàm f(t)
Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân ở biểu thức định nghĩa trên hội tụ
0
)
( )
( )
(t F s f t e dt
L
Trang 2Tính chất:
Cho f(t) và g(t) là hai hàm theo thời gian có biến đổi Laplace là
Tính tuyến tính
Định lý chậm trể
Ảnh của đạo hàm
Ảnh của tích phân
Định lý giá trị cuối
Phép biến đổi Laplace (tt)
{f (t)}= F(s)
L L { }g(t) = G(s)
{a f (t) + b.g(t)}= a.F(s) + b.G(s)
L
{f (t − T)}= e−Ts.F(s)
L
) 0 ( )
(
)
dt
t df
L
s
s
F d
f
)
( 0
=
L
) ( lim
) ( lim f t = sF s
Trang 3Phép biến đổi Laplace (tt)
Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản:
Hàm nấc đơn vị (step): tín hiệu vào hệ thống điều khiển ổn
định hóa
Hàm dirac: thường dùng để mô tả nhiễu
{ }
s
t
u( ) = 1
L
<
≥
=
0 t
0
0 t
1 )
(
nếu
nếu
t u
u(t)
t
0 1
=
∞
≠
=
0 t
0 t
0 )
(
nếu
nếu
t
δ
∫
+∞
= 1 )
( dt t
δ
{ } δ (t) =1
L
δ(t)
t
0 1
Trang 4Phép biến đổi Laplace (tt)
Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản (tt):
Hàm dốc đơn vị (Ramp): tín hiệu vào hệ thống điều khiển theo dõi
Hàm mũ
<
≥
=
=
0 t
0
0 t
)
( )
(
nếu
nếu
t t
tu
t
r
r(t)
t
0
1
1
{ ( )} 12
s
t u
L
<
≥
=
0
0
0
)
( )
(
t nếu
t nếu
at
t u e
t
f
f(t)
t
0
a s
t u
e at
+
=
) (
L
Trang 5Phép biến đổi Laplace (tt)
Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản (tt):
Hàm sin:
Bảng biến đổi Laplace: SV cần học thuộc biến đổi Laplace của
LAPLACE ở phụ lục sách Lý thuyết Điều khiển tự động.
<
≥
=
=
0 t
0
0 t
sin )
( )
(sin )
(
nếu
nếu
t t
u t t
ω
f(t)
t
0
{(sin ) ( )} 2 2
ω
ω ω
+
=
s
t u t
L
Trang 6 Xét hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân:
Biến đổi Laplace 2 vế phương trình trên, để ý tính chất ảnh của đạo hàm, giả thiết điều kiện đầu bằng 0, ta được:
Định nghĩa hàm truyền
= +
+ +
)
(
1 1
1 1
dt
t
dc a
dt
t c
d a dt
t c
d
n n
n
L
) (
) ( )
( )
(
1 1
1 1
dt
t
dr b
dt
t r
d b dt
t r
d
m m
m
+ +
+
Hệ thống tuyến tính bất biến liên tục
= +
+ +
)
Trang 7 Hàm truyền của hệ thống:
Định nghĩa: Hàm truyền của hệ thống là tỉ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra và biến đổi Laplace của tín hiệu vào khi
Chú ý: Mặc dù hàm truyền được định nghĩa là tỉ số giữa biến
đổi Laplace của tín hiệu ra và biến đổi Laplace của tín hiệu vào nhưng hàm truyền không phụ thuộc vào tín hiệu ra và tín hiệu vào mà chỉ phụ thuộc vào cấu trúc và thông số của hệ thống
Do đó có thể dùng hàm truyền để mô tả hệ thống
Định nghĩa hàm truyền (tt)
n n
n n
m m
m m
a s
a s
a s
a
b s
b s
b s
b s
R
s
C s
G
+ +
+ +
+ +
+
+
=
=
−
−
1
1 1
0
1
1 1
0 )
(
)
( )
(
L L
Trang 8Hàm truyền của các phần tử
Cách tìm hàm truyền
Bước 1: Thành lập phương trình vi phân mô tả quan hệ vào – ra của phần tử bằng cách:
Áp dụng các định luật Kirchoff, quan hệ dòng–áp trên điện trở, tụ điện, cuộn cảm,… đối với các phần tử điện
Áp dụng các định luật Newton, quan hệ giữa lực ma sát và vận tốc, quan hệ giữa lực và biến dạng của lò xo,… đối với các phần tử cơ khí
Áp dụng các định luật truyền nhiệt, định luật bảo toàn năng lượng,… đối với các phần tử nhiệt
…
Bước 2: Biến đổi Laplace hai vế phương trình vi phân vừa thành lập ở bước 1, ta được hàm truyền cần tìm
Chú ý: đối với các mạch điện có thể tìm hàm truyền theo
Trang 9 Mạch tích phân bậc 1:
Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)
Các khâu hiệu chỉnh thụ động
R
C
1
1 )
(
+
=
RCs
s G
R
C
Mạch vi phân bậc 1:
1
)
(
+
=
RCs
RCs s
G
Trang 10Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)
Các khâu hiệu chỉnh thụ động (tt)
Mạch trể pha:
C
R1
R2
1
1 )
(
+
+
=
Ts
Ts K
s
1
2 <
α
Mạch sớm pha:
C
R1
R2
1
1 )
(
+
+
=
Ts
Ts K
s
2 1
2
R R
R
K C
+
=
2 1
1
2
R R
C R
R T
+
2
2
1 + >
=
R
R R
α