ÑEÀ CÖÔNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Gv bieân soaïn Nguyeãn Duy Tröông – Tröôøng THPT Hoàng Ngöï 1 ÑEÀ CÖÔNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ( Giaûng vieân höôùng daãn PGS TS Buøi Xuaân Haûi ) ( ) ( ) ( ) ( )[.]
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
( Giảng viên hướng dẫn : PGS-TS Bùi Xuân Hải )
( )
[ ]
λ
λ λ
λ λ λ
λ λ λ
λ
λ λ
λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ
λ λ
λ
−
− +
+
−
−
−
→
−
−
−
−
→
−
−
−
=
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
•
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
⇒
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
→ +
=
−
− +
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
→ + +
=
−
− +
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
→ +
=
−
− +
=
•
=
•
+ +
∈
∀
−
− +
=
→
≤
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
=
∈
⇒
=
⇒
≡
⇒
+
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
⇒ +
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
∃
⇒
= +
⇔ +
∈ +
•
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⇒
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
•
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
∈
− +
↔
−
−
1 1
0
1 2
1 2 0
2 1
2
1 1 0
0 1 1
2 1
2
1 1 0
2 1
2
0 1 1
1 1 0
2 1 2
0 1 1
1 1 0
2 1 2
0 1 1
1 2
0 2
2 1
1 2
1 1
1 1
1 1
1 2
0 2
1 1
2 1 ' 1 1 1
1 2
1
,
, 1
?
,
' 1 1
2 ,
:
,
0 0 0
det
det
;
det
0
det
, )
1
2 2
1
3
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2 1 0
2
2 2
2
1
1
1 2 2
1
0
0 0 0
d d d
d
B
B B B
n n
n n
n n
n
n
I A
A
f A
t f t t t t
t t t
f
t f t t t
t t t
f
f t t
t f
t R t
t
t a t a a f
t R Q Q t Q t Q f t
R t
R
f
t K
BC AD
D C
B A R
f f
A BC AD I
D C
B A x
f A BC AD I
D C
B A
I D I
D
K I
D
BC AD D
C
B A I
BD BC AD D
C
O D D C
B A
BC AD D
C
B A R
o
o
: trận ma hóa
chéo
Ta
của tắc chính sở cơ là B
Gọi
:
Giải
:
tính
Hãy
: sau như định xác được
: tính tuyến tử toán Cho n
bậc có t K của thức đa các gồm tơ véc gian không là
hiệu
Ký
3)
phép)
cho thầy ( xong là 1 Bài vào Dựa
:
Giải
nghịch
khả Y
khi chỉ
và
khi
nghịch khả X
trận ma CMR hãy 1, Bài dụng sử Không DC
CD với M
D C, B,
A,
Cho
2)
đpcm
nghiệm
số
vô
có
det det
: cho sao số vô 0
det nghịch khả không
: trận ma xét ta nghịch,
khả không D
sử
Giả
det :
có ta nghịch,
khả D
sử
Giả
:
Giải
det : CMR DC
CD với M
D C, B,
A,
Cho
0
n n
Trang 2( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ]
)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( { ) } ( )
( ) ( { ) } ( )
( ) ( { ) }
:
1 1 1
2 0 2
1 1 1
1
1
&
2 1
2
1
0 0 0
2 1 0
1 1 1
2 1 0
2 1 0
1 1 1
2 1 0
0 1 2
1 1 1
2 1 0
1 1 1
0 1 2
2 1 0
2 2 2
0 1 2
1
1
1
1
&
0 1
0
1
0 0 0
1 0 1
0 1 0
0 0 0
2 0 2
0 1 0
0 1 0
2 0 2
0 1 0
1
1
3
1
&
2 1
2 2 1
3
0 0 0
2 1 0
0 1 2
2 1 0
2 1 0
0 1 2
2 1 0
2 2 2
0 1 2
3
3
1 , 1 , 3 3
1 0
3 1
1 3 1 3
3 3
3 2
2 1 3
2 2 1 1 2 1
1 2
1 2
2 1
1
1 2
1 2
2
1
1 2
3
3
3 2
3 2 1 3
2
2 1
3
1 2
3
3
3 1
2 3
2 1 3
1 2
3
3
3 2
2 1 3
3
3
2
2 2
2 3
2 3 2
3
2 2
2
2 3 2 3 1
2 2
1 2
2 1
3
2 3 1
2
−
+
↔
−
↔
−
+ +
•
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
•
=
⇒
=
−
=
→
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
−
−
= +
⇒
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
= +
−
∗
=
⇒
−
=
=
→
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
=
−
⇒
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
∗
=
⇒
=
=
→
=
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
−
⇒
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
−
∗
−
•
⎢
⎣
⎡
=
±
=
⇔
=
−
•
−
−
=
− +
−
−
=
− + +
−
=
− + +
−
=
− +
−
− +
−
=
− +
− + +
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
−
=
−
− +
+
−
−
=
P
N x
x x
x
x x
x x x I
A
I A
N
N x
x x
x
x x
x I
A
I A
N
N x
x x
x
x x
x x I
A
I A
N
N N N
I A
d d d d d
d d
d d
d d
d
d d d
d
đảo nghịch trận
ma
Tìm
P : là A trận ma chéo làm trận
Ma
1,-2,1 Chọn
ý
tùy
: là trận
ma của ứng tương nghiệm
Hệ
: Tìm
1,0,1 -Chọn
ý
tùy
: là trận
ma của ứng tương nghiệm
Hệ
: Tìm
1,2,1 Chọn
ý
tùy
: là trận
ma của ứng tương nghiệm
Hệ
: Tìm
: trên riêng trị 3 với ứng riêng tơ véc 3 Tìm
đơn)
nghiệm 3
(
o
o
o
λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ λ
λ λ λ
λ λ λ
λ λ
λ λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ
Trang 3( )
( )
( )
,
: 3
2
0 1
4
1 2
1 4 3
2
1 2
1 2 1
4
1 2
1 4 1
3 0 0
0 1 0
0 0 1 1 1 1
2 0 2
1 1 1
3 0 0
0 1 0
0 0 1
3 0 0
0 1 0
0 0 1
4
1 2
1 4
3
2
1 2
1 2
1
4
1 2
1 4
1
4
1 2
1 4 3
2
1 2
1 2 1
4
1 2
1 4 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
4
1 2
1 4 3
0 2
1 1
0 0 1
1 0 0
2 1 0
1 0 1
4
1 0 4 1
0 2
1 1
0 0 1
1 1
0
2 1 0
1 0
1
2
1 0 2 1
0 2
1 1
0 0 1
2 2 0
2 1 0
1 0 1
2
1 2
1 2 1
0 2
1 1
0 0 1
2 0
0
2 1
0
1 1 1
2
1 0 2 1
0 2
1 1
0 0 1
0 1 0
2 1 0
1 1 1
1 0 1
0 2
1 0
0 0 1
0 2 0
1 0 1
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
1
1
2
0
2
1
1
1
2 1 0 1
1 1
2 2
1
2
1 2
1
2 2 1 3 1 2 3 2 3
3 3 2 3 3
3
3 2 2 3
2
3
3 3 1 2 2 3
1 3 2 2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
∈
∀
−
=
→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⇒
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
=
⇒
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
=
•
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⇒
−
→
−
−
−
→
−
−
−
→
−
−
−
−
−
−
−
→
−
−
−
−
−
−
→
−
−
−
−
−
→
−
−
−
−
→
−
−
−
−
−
−
→− +
→→ +
−
→
−
→
+
→ +
→
→
−
→
−
→
→
a c
b a A
f
V X BX XB X
f V
V f
a
a
a
A
f
P D
P
A
D P
A P D P
n
n
n
n n
n n
n
n n
n n
d d d d d d d d d
d d d d d
d
c c c d
d
d
d d d d d d
d d d d
A với tính
và V gian không trong tính tuyến tử toán một là f
CMR
bởi nghĩa định được
và B
Cho
(b)
V
của chiều số và sở cơ một
Tìm
(a)
0
vết bằng có
2 cấp thực trận ma các cả tất gồm thực tơ véc gian không
là
V
Cho
4)
: là A của
chéo
Dạng
Trang 4( )
( )
( )
[ ] [ ] [ ]
( )
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
− +
−
−
−
=
=
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
=
•
=
→
−
−
=
⇒
=
=
−
→
=
⇒
−
=
=
→
−
=
⇒
=
− +
=
−
−
−
−
−
=
−
•
+ +
=
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⇒
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
∈
•
→ +
=
− +
−
=
+
− +
= +
∈
∀
∈
∀
•
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
∈
∀
−
=
→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
=
⇒
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
∈
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
∀
=
=
=
⇔
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⇔
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
•
−
−
−
n n
n n
n
n n
1
1 1
3
2 1
3
3 3 2 2 1 1 3
2 1
3 2 1 1
3
2 1 3
2 1
3 2
1
2 2
2 2 2
0 2
0
2 2
0
2
0 0
0 2 0
0 0 0
0 1 0
1 1 2
0 1 1
1 1 2
1 0 0
1 0 1
1 2 dim 1
, 1 , 1 2
1 2 dim 1
, 0 , 0 2
; 1 0 dim 2
, 0 , 1 0
2 2 2
0 4
0 2
0
0 2
:
, , ,
,
,
: 3
2
0 1
0 1
0 0 0
0
1 0 1
0
0 1
0 0
0 0 1
0 0 0
0
1 0 1
0
0 1
0 1
0 0
; 0 0
1 0
; 1 0
0 1
0 1
0 0
; 0 0
1 0
; 1 0
0 1
3 2
1
P D P E D
P P
P E P D
E e
E e
E e
I E
e m e m e m A f m
m m
c b
a E A
f
c b
a E A f A
f
Y f X f BY YB BX
XB
Y X B B Y X Y
X f R V
Y X
a c
b a A
f
V X BX XB X
f V
V f
c b
a c
b a
e e
e
n n
n n
n
n
e e
e
với :
là A của chéo Dạng
: vì được hóa chéo
E
quả kết ra suy ta E Tính
: có ta V A
Với
V
gian không trong
tính tuyến tử toán 1 là f
V
gian không trong
tính tuyến tử toán một là f CMR
A với tính
và V gian không trong tính tuyến tử toán một là f CMR
bởi nghĩa định được
và B
Cho
(b)
3
V dim và V của sở cơ là
a A thì V A
: vậy Thật
sinh
hệ là
: sử Giả
: vậy Thật tính
tuyến lập độc
: Đặt
: Xét hệ
V
của chiều số và sở cơ một Tìm
(a)
:
Giải
n
n
λ
λ λ
λ λ λ λ λ
λ λ
β α
β β α
α
β α β
α β
α β
α
β
β
α α α α
α
α α α
α α
β β
β
β β β
o
o o
o
o
o
3 2 1 3 2 1 4 42 1
Trang 5( ) ( )
( )
( )
2
5 1 2
5 1
2
5 1 2
5 1
2
5 1 3 2
5 1 3 5
1
3 3 1
3 3
3
3 1
3 3
3
3
1
1
3
1
1
1
1
1
1
1
1 0
0
1 1
1
1 1 1
1
1
, :
2
5 1 E
Tìm
1
, 1
0 0
1 1 0
1
1 1
1 1
1 1
:
2
5 1 E
Tìm
2
5 1 0
0 2
5 1
2
5 1 0
1 1
1 1
1
3 ,
0 1
1 1
0 1
1 1 , 0 ,
?
0 ,
3
; 1
1 1
1 1
1 2
1
1
2 1
2 1 2 1 2
1 2 1
2 1 2 1 2
1
1 2 1 2
1 1
1 2
1 1 2 1 1 1
2 1 2 1 2
1
1 2 1 2
1 1
1 2
1 1 2
1
2 1 2 1 2
1
1 2 1 2
1 1
1 2
1 1 2 1 1 1
2 1 2 1 2
1
1 2 1 2
1 1
1 2
1 1 2 1 1 2 2
1
1 2
1 1 2
1
1
2 2
1 2
1 2 1 1 1
1
2 2
1
1 2
1
2 2 2
1 1 1 1 2
1 1
2 1
1 1
1
1 1
1 2
1 1
2
1 1
1
1 1
1 1
1
1
1 2 1
1 1 2 2
1
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+ +
−
−
−
−
−
↔
+
+ +
−
−
−
+
+ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ − +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ − +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
= +
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
−
= +
−
−
−
=
⇒
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
−
+
−
−
−
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
•
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
−
+
−
−
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
−
+
−
−
−
=
=
⇒
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
−
+
−
−
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
=
⇒
=
⇒
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
•
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
=
•
=
⇒
=
⇒
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+ +
−
−
→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
=
•
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
=
=
±
=
⇔
=
−
−
=
−
−
=
•
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
=
=
=
•
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
≥
∀
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
•
=
∗
≥
∀ +
=
=
=
k k
k
k k
k k
k k
k k
k k
k
k k
k k
k k
k k
k k
k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k
k k
k
d d d
d A
A
k k
k
k k
k k
k k k
k k
k k
k k
k k k
F F
u
F
F
u A
u
P D P A P
D
P
A
P e
e x
x
I A
P A P
P
u u
A u
A u
u F
F F
F F F
F u
A A
k F
F
F F
k F F F
F
: Vậy
P : là A của chéo làm trận
Ma
E của sở cơ là :
có ta tự Tương
E của sở cơ là
Cho
P D : là A trận ma của chéo Dạng
: A trận ma của trưng đặc thức
Đa
với
: vậy
Như
: đó Khi u
:
Đặt
F
Tính
:
Giải
vàng"
lệ tỉ "
tới dần cũng
số tỉ CMR và mới Fibonacii số
các tính
Hãy
và F
với mình của số dãy dựng xây Fibonacii
sử
Giả
5)
2 1
1
-k k
0
λ
λ
λ λ
λ λ λ λ λ
λ λ λ
λ λ λ λ λ
λ
λ λ λ λ λ
λ λ λ
λ λ λ λ λ
λ
λ λ λ λ λ
λ λ
λ
λ λ λ λ λ
λ
λ λ λ λ λ
λ λ λ
λ λ λ λ λ
λ
λ λ λ λ λ
λ λ λ λ
λ λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ λ
λ λ
λ λ λ
λ
λ λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ λ
λ
λ λ
λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ
λ α
λ λ λ
λ α
λ
o
Trang 6( ) ( )( ) ( )( )
: là A của trưng đặc
thức
Đa
A : thì :
sở
cơ
Xét
R
trên được hóa chéo f tử Toán
:
CMR
chéo
trận ma một là đó sở
cơ
trong
f tử toán diễn biểu trận ma cho sao R của sở cơ một tìm và R trên được hóa chéo f tử Toán
:
CMR
(a)
:
Giải
cho sao :
g tử toán một tại tồn CMR 2, n nguyên số
mỗi
Với
(b)
chéo
trận ma một là đó sở
cơ
trong
f tử toán diễn biểu trận ma cho sao R của sở cơ một tìm và R trên được hóa chéo f tử Toán
:
CMR
(a)
tử phần mọi với đối
: thức
công
bởi
định xác được R tơ véc gian không trong tính tuyến tử toán một là
và thực số trường
là
R
Cho
0 c
ý tùy
được hóa
chéo
A
: là A của trưng đặc
thức
Đa
:
Giải
: được hóa chéo đây sau trận ma cho sao c b, a, thực số các đ/v
đk
tìm
Hãy
6)
vàng"
lệ tỉ "
tới dần
cũng
nên
Do
:
có
Ta
: vàng"
lệ tỉ "
tới dần cũng
:
CM
3
3
3
2 1 3 3
2
1 0
2 1 3 2
1 2
0 3
2
1 1 1
2 1 2
0 3 2
1 1 1 1
, 0 , 0 , 0 , 1 , 0 ,
0 , 0 , 1
,
, ,
2 2
, 3 2 , ,
,
: )
7
0
0 0 0
0 0
0 0 0 0 0 0
0 0
1 1
0
0
1
0
0
0 2 1 2
1
2 1 2
1 2
0 0
2 0
1
2 0 0
2 0 1
618 , 1 2
5 1 lim
0
1
1
1
1
1 lim
1
1 lim
lim
2 3
3 2
1 0
3 3
3 3 2 1 3
2 1 2 1 3 2 1 3 2 1
3 3
3 3
2 2
3
1
1 1 1
2 2
1
3 2
1 1
1
1
1 1
2
1
2 1 1
1
0
−
−
−
=
→
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
=
⇔
=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
=
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
=
=
=
=
=
•
=
→
≥
∈ +
+
− +
− +
−
=
→
⎩
⎨
⎧
=
⇔
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⇔
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⇔
=
−
−
⇔
−
−
=
⇔
•
−
−
−
=
−
−
=
−
−
−
=
−
=
•
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
→
≈
+
=
=
<
−
<
−
•
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− +
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− +
=
∗
+
+
∞
→
+
+
∞
→ + +
+ +
∞
→
+
∞
→
+
λ λ λ λ λ
λ
λ λ
λ λ λ
λ λ
λ λ
λ
λ λ λ
λ λ λ
λ λ
λ
λ λ
λ
λ λ
λ
λ λ
λ λ
λ λ
A A
A
B
n
A
A
k
k
k
k k
k k
k k k
k k
k k
k
k
k
k
m P
I A P
f e
e e
B
f g R
R
R x x x x
x x x x x x x x x x f
R R f
a c
ac c
b a c
b
a
I A I A m
c
b a I
A P
c
b a A
F
F
F F
F
F
F
F
o
o
o
Trang 7( ) ( )
(0,1,1) 0
0 0 0
0 0 1
0 0 0
1 1 0
0 0 0
0 0 1
0 0 0
1 1 2
0 0 0
1
1
1
1
1
2
1
1
2
0 0
:
2 0 0
2 0
1 ' ,
,
1 2 2
1 1
1
2
1 1 3
2 1 1
1 0 2
1 1 3
0 1 1
1 0 1
2 2 3
; 2 1 1
1 0 2
1 1 3
' , ' , '
1 , 1 , 0 ' 0
1 1 0
0 0 1
0 0 0
1 1 0
0 0 1
1 1 0
1 1 2
0 0 2
1 1 2
3 :
3 , 2 , 1 ' 3
2
0 0 0
0 1 2
1 0 3
0 0 0
0 1 2
1 1 1
0 1 2
0 1 2
1 1 1
2 :
1 , 1 , 1 '
0 0 0
1 1 0
1 0 1
1 1 0
1 1 0
0 1 1
1 1 2
1 1 0
0 1 1
1 1 2
0 2 2
1 1 0
1 :
3 0 0
0 2 0
0 0 1
1 3 2 1 2
1 3 1
1 1
1 1
1 3
2 1
2 3
3 2 1
3 2
3
1
3
2 1
3
1
2
3
1 3
2
1
2 2
1
3
1
3 3 1 1
3 1 2
3 1 2
1 2 3
2 1 2
3
2 3 2 1 2
3 2
1 2
=
→
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒
−
→
−
−
→
−
−
−
⇔
=
−
⇔
=
−
⇔
=
•
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
=
=
∃
•
−
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
=
•
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
=
=
⇒
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
=
−
•
=
=
⇒
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
=
−
•
=
=
⇒
=
=
⇒
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
−
•
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
•
⇒
⇒
−+
−
−
−
+
−−
+
−
−
− +
↔
−
−
u x x x
u d I A u
u f u u f u
c
b a P
A P A u
u u
I A P
e e e
e x
x
x
I A
e x
x
x
x
I A
e x
x
x
I A
P A P D
d d d d
d d d
B A
d d d
d d d
d d d
d
d d d d d
d d
d d
: có Ta
Tìm
: trên giác tam dạng có f A' : cho sao R của sở cơ là B
đó,
Khi
: A của trưng dặc
thức
Đa
A
(a)
:
Giải
B (b) A
(a)
: nó hóa giác tam làm P nghịch khả trận ma rõ chỉ và giác tam dạng về đưa hãy đây dưới trận ma mỗi
với
Đối
8)
tìm
cần sở cơ là
sở
cơ
:
Vậy
3 E
3
E
Tìm
2 E
2
E
Tìm
1 E
1
E
Tìm
: là A của
chéo
Dạng
R trên được hóa chéo f tử toán được
hóa
chéo
A
3
3
λ λ
λ λ
λ λ
λ
Trang 8( ) ( ) ( )
( 0) (1, 1,0) 0
1
1 2
0 0 0
1 1 1
0 0 0
1 1
1
1 1
1
2 2
2
:
1 , 1 , 0 0
0
1 0
0 0 0
1 1 1
0 0 0 0
1 1
1
1 1
1
2 2
2
:
1 , 0 , 1 0
1 0
0 0
0 0 0
0 0 0
1 1 1
0 0 0
1 1
1
1 1
1
2 2
2
0 0
:
1 0 0
1 0
1 ' ,
,
1 1
1
1
1
2 2 3
0 1 1
1 0 1
2 2 3
2 0 0
1 2 0
1 0 1 '
? 1
0 1
1 1 1
2 1 0
1 1
, 1 , 2 1
1
2
0
0 1 1
1 0 0
0 0 0
0 1 1
1 0 0
1 0 0
0 1
1
1 2
2
1 1
1
2 2
2 :
0 0
, 1 , 1 0
0 0 0
1 0 0
0 1 1 0
1 0 0
1 0 0
1 1 1 0
0 1
1
1 2
2
1 1
1
2 2
2 :
3 3
1
2 2
1 2 3 3 1
2 3 3 1
2 3 3 3
2 1
3 2 2
1 2 3 1
2 2 1
2 2 2
1 2
3 1 2
1
1 3 1
1 1
1 1
1 3
2 1
3 3
1
1
3 3
2
1
2
2 1 3 3 2
1 3 3 2
1 3 3 3
2 3
2 1 2
1 2 3 1
2 2 1
2 2
2
2 1 2 3
2 1 2 3
1 1 3 1 2
2 1 3
1 3 2
2 3 1 2 1
3 1 2
−
=
→
=
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
−
=
⇒
−
−
−
→ +
−
−
−
−
⇔
+
=
−
⇔ +
=
−
⇔ +
+
=
•
=
→
=
⎩
⎨
⎧
=
=
=
⇒
−
−
→
−
−
−
−
⇔
=
−
⇔
=
−
⇔ +
=
•
=
→
⎩
⎨
⎧
=
=
=
⇒
−
→
−
−
−
−
⇔
=
−
⇔
=
−
⇔
=
•
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
=
=
∃
•
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
=
•
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
•
=
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
•
=
=
=
→
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
⇒
−
→
−
−
−
→ +
−
−
−
⇔
+
=
−
⇔ +
=
−
⇔ +
+
=
•
=
=
→
⎩
⎨
⎧
=
+
=
⇒
−
−
→
−
−
−
→
−
−
−
⇔
=
−
⇔
=
−
⇔ +
=
•
−−
−−
−−
−
−
−
−
−−
−+
−
−
u c
b x
x x
b c
c b
c b c b
bu cu u I A bu
cu u u f bu cu u u f u
u a
x
x x
a
a
a
a
au u I A au
u u f au u u f u
u x
x x
u I A u
u f u u f u
c
b a P
A P B u
u u
I B P
P A P A
P P
c b u
x
x
x
b
c b
b c
b c
b
c b c
cu bu u I A cu
bu u u f cu bu u u f u
a u
a x
a x x a
a
a
a a
a
au u I A au
u u f au u u
f u
d d d d
d d d d
d d d d d
C B
d d d
d d d
d d d d d
d d d
: có Ta
Tìm
: có Ta
Tìm
: có Ta
Tìm
: trên giác tam dạng có f B' : cho sao R của sở cơ là C
đó,
Khi
: B của trưng dặc
thức
Đa
B
(b)
: là A của chéo
Dạng
: là A của chéo làm
trận
Ma
: có Ta
Tìm
: có Ta
Tìm
3
λ λ
λ
λ λ
λ
Trang 9( )
( )
( )
,
1
1
1
/ det 1
, )
20
2
1 , 3 0
,
0
2
5 ,
1 0
,
1
0 2 3 2
0 4 2 2
0 ' ,
0 ' , '
' ,
,
,
2 2 4 :
) 2 , 3 , 2 , 0 ( ' );
4 , 2 , 1 , 2 ( '
&
2
dim
0 0 0 0
2 3 2 0
4 2 1 2
4 6 4 0
2 3 2 0
4 2 1 2
8 4 3 2
6 1 1 2
4 2 1 2
8 , 4 , 3 , 2
6 , 1 , 1 , 2
4 , 2 , 1 , 2
,
1 , 3 , 5 , 5
, , ,
,
8 , 4 , 3 , 2 ,
6 , 1 , 1 , 2 ,
4 , 2 , 1 , 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1 '
? 0
1 1
1 1 0
1 0 1
1 1
1
1 2 3
4
1 2 3
4
4 3 2
4 3 2 1
2
1
2
1 4
3 2
1
2 1
2
3
2
1
4
3 2 1 3
2 1
3 2
1 1
1
2 3 2
3
1 3
ij ij T
T T n
T T
j i ij
ij
ij
d d d
d d d w
C a A
Adj A
A Adj A
A A I A A R
n
O
A
A A
Adj A
Adj A A A
A Adj A A
j i C
a A
a R
n O
A
x x
x
x
x x x
x
x x x
x x x x u
v
u v u
v
u v w
x x
x
x
v
u u
w
u
u
u
W u d u
pr R
u
u u u u
u u
u u
u
P B P B
P P
=
→
=
•
=
⇒
=
⇒
=
∈
•
=
=
=
=
•
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
→
−
=
=
•
=
∈
=
=
⇒
=
=
−
=
=
⇒
=
=
⎩
⎨
⎧
=
−
−
= +
− +
⇔
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
⇔
⎩
⎨
⎧
⊥
⊥
→
∈
=
=
−
=
•
−
−
=
−
=
=
⇒
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
−
−
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
−
−
=
−
−
−
=
−
=
•
∈
−
=
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
•
=
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
•
−
−
−
+
⊥
⊥
⊥
− +
+
⊥
⊥
⊥
−
−
: có ta j i, trí vị Tại
trận ma
2
sánh
So
: nên Do
Vì :
có
Ta
j
cột i dòng xóa thức Định :
bù Phần
:
lại
Nhắc
:
Giải
nó
của số đại bù phần bằng đều A của tử phần mỗi thì 1 A det nếu CMR, Cho
Cho
Cho
dimW
:
có
Ta
W cho sở cơ
một
Tìm
W
của sở cơ một là
Xét :
có
Ta
W và W con gian không mỗi cho sở cơ
một
Tìm
(a)
:
Giải
W
đến
u
từ
cách khoảng và
W xuống u của giao
trực chiếu Tìm hình Cho
(b)
W và W con gian không mỗi cho sở cơ một
Tìm
(a)
W
với
giao
trực
R của con gian không là
W và
tơ véc các bởi ra sinh R của con gian không là W
Gọi
: tơ véc các cho thường thông
tích với R Euclid KG
Trong
19)
: là B của
chéo
Dạng
: là B của chéo làm
trận
Ma
4 4
4
o
o
o
o
Trang 10( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( 1; 1;2) 1
; 1 2
0 0 0
1 2 0
2 5 1
6 12 0
12 24 0
2 5 1
0
6
0 0
6 0 6
6
2
6 2 6
4
0 6
5 2 2 0
5 2 2 1 5
0
2 5
1 0
2 2 2
2 1 5
2 5
1 0
2 2 2
2 5
1
2 1 5
0
2 2 2
2 5 1
2 1 5
:
0
Im Im
Im Im
ker
ker Im
, 0
0
0
0 ,
, ,
, ,
, ,
,
*
1
1
1 )
(
2 ) (
* 2 4
2 ) ( ,
,
, ,
0 , ,
, ,
,
)
Im
)
0
Im
)
1 1
2 3
3
2
2 5
2
3 3 2
2 2
2 2
2 2 2
2
1 2 1 3
1 2
−
−
=
⇒
−
=
−
=
→
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
=
−
•
⎢
⎣
⎡
=
=
⇔
=
−
−
⇔
=
−
−
−
−
−
−
⇔
=
−
− +
− +
−
−
−
−
⇔
=
−
−
−
−
−
⇔
=
−
−
−
−
−
⇔
=
•
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
→
=
⇔
=
−
⇔
−
⊂
−
⇒
−
=
−
•
−
⊂
−
⇒
∈
∀
=
−
−
•
=
=
−
=
⇒
=
−
⇒
=
−
=
−
=
−
=
−
−
−
=
−
−
•
=
⇒
⎩
⎨
⎧
→
−
=
→
=
•
±
=
⇒
=
=
⇔
•
= +
≤ +
= +
⇔
= +
⇔
=
−
− +
⇔
=
=
•
=
=
−
=
−
=
−
=
−
∈
•
=
⇒
∈
∀
•
−
=
=
=
−
−
=
− + +
↔
⊥
⊥
⊥
⊥
v x
x x
I
A
P
A
R R f
Id f Id
f Id
f Id
f Id
f Id
f
Id f Id
f E
x x
Id f Id
f
Id f Id
f
u u f u
u f u
u
f
u
u u f u u u u f u f u f u u f u u u f u f u u f
u
u
f
u u f
u f u
f u
u u
f u u f u
u u
f u u
u f u u
u f u u f u u
u u u
f
u
u x u f x f
u x u x u x f u f x f u u f x f u
x x f f
x
Id f f
Id f Id
f
Id f f
d d d d
d d A
E E
E E
E E
E E
E E
E E
E
E E
E
Cho
:
E(0)
Tìm
kép
đơn
:
Xét
A
của riêng trị
các
Tìm
:
Giải
: là tắc chính sở cơ trong diễn biểu trận ma có tử toán của riêng tơ véc các từ R của chuẩn trực sở cơ một dựng Xây 22) : có ta (a) câu Theo thì nếu CMR (b)
: khác Cách * thỏa không * thỏa u Mà ra xảy bằng Dấu : có ta giác tam BĐT Theo nên giao trực f Do u f x, E, u Với Id -Ker( Id -Ker( : CMR (a)
: Giải thì nếu CMR (b)
Id -Ker( : CMR (a)
E
Euclid gian
không trong giao trực đổi biến phép 1 là
f
Cho
21)
3
E
E E
o
λ
λ λ
λ λ
λ
λ λ
λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ λ
λ