Đề và giải bài tập đại số tuyến tính

Chứng minh rằng nếu một hệ phương trình tuyến tính có hạng của ma trận liên kết bằng số phương trình, thì hệ ấy có nghiệm.. a Chứng minh rằng điều kiện cần để cho một hệ phương trình tuy

6 Tìm x, y ∈ R sao cho (1+2i)x + (3-5i)y = 1-3i

7 Giải hệ phương trình với ẩn số thực

(1+i)x + (1+2i)y + (1+3i)z + (1+4i)t = 1+5i ; (3-i)x + (4-2i)y + (1+i)z + 4it = 2-i

8 Giải hệ phương trình với ẩn số phức

(3-i)x + (4+2i)y = 2 + 6i ; (4+2i)x- (2+3i)y = 5 + 4i

9 Tìm các số thực x thoả mãn phương trình

10 Tìm các số thực a, b, c sao cho phương trình

(a + 2bi)z3 - (2c - ai)z2 + (b + ci)z - 1 = 0

i 6

+ + +

i 3

) i 3 )(

i 1 ( i

3

) i 3 )(

i 1 (

2 3

3 2

) i 2 ( ) i 2 3 (

) i 1 ( ) i 2 1 (

+

− +

−

− +

16 Biểu diễn qua sinx và cosx : a) cos5x; b) sin6x

17 Biểu diễn sin3x dưới dạng đa thức bậc nhất của các hàm số lượng giác của các góc bội

18 Tính các tổng :

a) 1 + z + z2 + + zn-1 với z = cosϕ + isinϕ;

b) sinx + sin2x + + sinnx ;

c) 1 + cosx + cos2x + + cosnx

itg 1

β

−

β

α +

20i 1

3 2 1

15

i 1

3 i 1 i

1

3 i 1

+

−

− +

2

1

zz

2

1z z

a)3z1 - 4z2; b)  

24 a) Cho số phức z = Tìm số phức x thoả mãn điều kiện :

b) Cho số phức z = 3 + 4i Tìm số phức x thoả mãn điều kiện :

c) Tìm x , y ∈ C thoả hệ phương trình :

25 Tìm các căn bậc 3 của 1+i, và 1- i

26 Tìm các căn bậc n của -1, i, 1-i, và 1+ i

i 5 z z 2

2 1

1 2

− +

−

−

− +

i 4

x ( Arg

1 z x

) x ( Arg

3 z x

) y ( Arg )

x ( Arg

1 y x

i 1 y x

33

bi

i4

5

3 i 1

i 1 +

BÀI TẬP VỀ ĐỊNH THỨC

1 Cho A = ( aij )n×n với aij là số nguyên, thoả mãn điều kiện : aij lẻ nếu i = j, chẵn nếu i ≠

j Chứng minh rằng det(A) ≠ 0

2 Cho ma trận A = (aij)∈M(4, R) thoả mãn điều kiện : aij = 0 nếu i = j, aij = ±1 nếu i ≠ j Chứng minh rằng det(A) ≠ 0

3 Định thức thay đổi thế nào nếu ta nhân mỗi phần tử aij với ci-j ( c ≠ 0 ) ?

4 Giả sử

R)

Chứng minh rằng không thể có sáu số hạng của det(A) = aek + bfg + cdh +

(-ceg) + (-afh) + (-bdk) đều dương

5 Tìm các số hạng của định thức

mà chứa x4 và x3

6 Tính các định thức sau bằng định nghĩa :

a)

với ε = cos + isin

;

b)

;

c)

với f(x) = x(x-1)(x-2) (x-n+1)

;





















k h

g

f e

d

c b

a

x 2 2 1 x

3 x 2 1

2 1 x x

3 2 1 x

1

1

1

1

1

2

2

ε

ε

ε

ε

3

2π

3

2π

0 0

0 0 1

0 1

0 0 0 1 0

0 0 0 ) n 2 (

) 2 n ( ) 1 n ( ) n (

) 1 n (

) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) n (

) 2 ( )

1 ( )

0

(

+ +

+

d) với f(x) như trên

e)

7

a)

b)

c)

8 Không khai triển, chứng minh rằng , chia hết cho 3

) a ( f

) a ( f ) a ( f ) a ( f

) a ( f

) a ( f ) a ( f ) a ( f ) a ( f

) a ( f ) a ( f

)

a

(

) n ( )

2 n ( )

1 n ( )

n

(

) 1 n ( ''

'' '

+ +

+

0 0 0 a

a

0 0 0 a

a

0 0 0 a

a

a a a a

a

a a a a

a

52

51

42

41

32

31

25 24 23 22

21

15 14 13 12

11

i h

g

f e

d

c b

a

i

4

h

g

f

4

e

d

c

4

b

a

g i

h

g

d f

e

d

a c

b

a

+

+

+

c b a

f e d

i h g

g i

2

h

g

d f

2

e

d

a c

2

b

a

+ + +

0 1 2

5 1 6

7 4 1

9 Biết rằng các số 325, 273, 455 chia hết cho 13 Chứng minh rằng định thức

cũng chia hết cho 13

10 Giải phương trình

= 0

11 Cho A = ( aij ) ∈ M(n, C) có aij = -aji Chứng minh rằng det(A) = 0 nếu n lẻ

12 Định thức thay đổi thế nào nếu ta :

a) viết các hàng theo thứ tự ngược lại ?

b) đổi dấu mọi phần tử của định thức ?

13 Cho ma trận A = ( aij ) ∈ M(n, C) mà các phần tử aij và aji liên hợp với nhau, ( i, j = 1, , n ) Chứng minh rằng det(A) là một số thực

372

523

xn

1

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

baaccb

baaccb

baaccb

++

+

++

+

++

+

3 3 3

2 2 2

1 1 1

cba

cba

cba

2 2

2 2

2 2

acca

a

c

cbbc

c

b

baab

b

a

++

++

++

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

)3d()2d()1d

(

d

)3c()2c()1c

(

c

)3b()2b()1b

(

b

)3a()2a()1a

(

a

++

+

++

+

++

+

++

+

12

ba2

ac2

c

b

1ba

c

1acb

1cba

++

+

3 3 2 3 2 3 2 3

3

2 2 2 2 2 2 2 2

2

1 1 2 1 2 1 2 1

1

baba)

b

a

(

baba)

b

a

(

baba)

b

a

(

++

++

++

γγ

γ

ββ

β

αα

α

2 2

2 2

2 2

cos2cossin

cos2

cossin

cos2

cossin

3523

5894

5743

3452

7855

6452

523

3002

5431

2003

7215

111

1

1

151

1

1

1141

1

1113

1

1111

2

bacc2c

2

ba

cbb

a2a

2cba

2

2 2 2

2 2

2

)ba(ba

c)ac(a

cb

)cb(

++

+

2 2

2 2

1 1

1 1

c0d

0

0c

0

b

d0

c

0

0b

0

a

1acosbcos1

acos1ccos1

bcosccos1

1

111

1

γγ

ββ

αα

sincos

zz

sincosyy

sincosx

x

001

1

2 1

2 1 2 1

10) ; 11) ; 12) ;

17 Dùng khai triển Laplace chứng minh rằng

= 4( a2 + b2 )( c2 + d2 )

18 Chứng minh rằng nếu tất cả các định thức con cấp k của ma trận vuông A đều bằng 0, thì mọi định thức con cấp lớn hơn ( nếu có ) của A cũng bằng 0

19 Tính các định thức sau đây bằng cách đưa về dạng tam giác

20 Tính các định thức sau bằng cách sử dụng các quan hệ hồi qui :

2 4 2 3 2 2 2

1

4 3 2 1

0

0

1 1 1

1

0

0 0 3

2

1

0 0 1

1

1

x x x

x

x x x

x

x 0

0 0 y y x

0 0 0

0 0

y x 0 0 0

0 y x 1

3 n 2 n 1 n n

3 n

1 2 3 4 2 n

2 1 2 3 1 n

3 2 1 2 n

4 3 2 1 − − − − − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 n .(

) 2 n ( ) 1 n ( n

) 2 n (

5 4 3 ) 1 n (

4 3 2 n

3 2 1 − + + + + x

a a a

a

x a a a

a x a a

a a x 3 2 1 n 2 1 n 2 1 n 2 1 c d c d d c d c a b a b b a b a − − − − − − 0

3 2 1

n

0 2 1 n

3 0 1 n

3 2 1 − − − − − − x x

x x 1

x x

x x 1 x x

x x 1 x x

x x 1 1 n 2 1 n 1 n 1 n 1 n 2 n 1 n 2 1 − − − − 1 n 1 n

3 2 1 n 3 n

3 2 1

n 1 n

5 2 1 n 1 n

3 3 1 n 1 n

3 2 1 − − − − − − x

a a a

a

x a a a

a x a a

a a x 0 x

x x 1 x 0

x x 1

x x

0 x 1 x x

x 0 1 1 1

1 1 0 x

0 0 0

0

x x 0 0

0 x x a

a a a0 1 2 n − − n n 2 2 n 2 2 1 n 2 1 0 x

0 0 0

a

x x 0 a

a x x a

a a a

−

−

1) ; 2) ;

21 Tính các định thức sau bằng cách biểu diễn chúng thành tổng của các định thức :

22 Tính các định thức sau bằng cách tách nhân tử bậc nhất

23 Giả sử A ∈M(n, R) sao cho A-1

= 3A2 Tính det(A2005 - A)

24 Chứng minh rằng đối với ma trận

A =

đẳng thức sau đúng A2 - (a + d)A + (ad - bc)E = O

25 Giả sử A∈M(2, R) Chứng minh rằng, nếu An

= O với số tự nhiên n nào đó thì A2 =

O

26 Tìm tất cả những ma trận thực, cấp 2, mà bình phương bằng ma trận không

27 Tính các luỹ thừa sau đây

1 n

2 n

2 1

a 1

0 0 1 0 a

0 0 1

0 0

a 1 1 0 0

0 a 1 1 0

0 0 1 − − n 1 n 3 2 1 a 1 1

1 1 1 1 a 1

1 1 1

1 1

a 1 1 1 1 1

1 a 1 1 1 1

1 1 a 1 + + + + + − 5 2

0 0 0 0

0 0

0 3 5 2 0 0

0 0 3 5 ϕ ϕ ϕ cos 2 1

0 0 0 0

0 0

0 1 cos 2 1 0 0

0 0 1 cos 2 [ ] n a 0

0 b 0 a

b 0

0 b

a 0 b 0

0 a n 3 2 1 n 3 2 1 n 3 2 1 n 3 2 1 a x

a a a

a

a x a a a

a a x a a

a a a x + + + + n 2 1 n 2 1 n 2 1 x

a a

a

x a a

a x n n n n n n 3 3 3 3 2 2 2 1 1 a x

x x x x

0 0

a x x x 0 0

0 a x x 0 0

0 0 a x 1 1

1 1 1 0 0 x y z x 0 z y y z 0 x z y x 0 2 2 x 9 1 3 2 5 1 3 2 3 2 x 2 1 3 2 1 1 − − x 1

3 2 1

n

x 1 2 1 n

3 x 1 1 n

3 2 1

+

+ +













d

c

b

a

1i

12

21

ba

210

321

0023

0012

1

1

00

2

3

00

21

65

1614

210

121

726

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ ĐỊNH THỨC

3 Dùng định nghĩa định thức suy ra định thức không thay đổi

4 Nhân 6 số hạng với nhau

5 10x4, -2x3 và -5x3

7 a) 28 b) 7 c) -7 d) 14

8 Cộng tất cả các cột vào cột thứ nhất

9 Cộng vào cột thứ 3 cột thứ nhất nhân với 100 và cột thứ hai nhân với 10

10 Đây là đa thức bậc (n-1) nên có đúng (n-1) nghiệm trên C Khi thay x = i-1 vào cột thứ i ( i = 0, 1, , n-1 ) ta được định thức có hai cột giống nhau, nên x = i-1 ( i = 0, 1, , n-1 ) là nghiệm

11 det(A) = det(Ac) Đưa thừa số (-1) ở mỗi hàng của Ac ra ngoài, ta có det(Ac) = 1)ndet(A) = -det(A)

(-12 a) Định thức được nhân với b) Định thức được nhân với (-1)n

13 Sử dụng tính chất của liên hợp phức, khi lấy liên hợp khai triển của det(A), ta có

= det(Ac) = det(A)

14 a) Tách dần định thức thành tổng theo mỗi cột

b) Thực hiện : hàng 1 - hàng 2, hàng 2 - hàng 3, rồi rút nhân tử chung,

c) Thực hiện : cột 1 - cột 2, cột 2 - cột 3, rồi rút nhân tử chung,

d) Thực hiện : hàng 3-a3×hàng 1, hàng 2-a×hàng 1, rồi rút nhân tử chung,

15 1) Nhân cột đầu với (-1), cộng vào các cột sau Tách dần định thức mới theo cột thứ

2, 3, 4 thành tổng những định thức có các cột tỉ lệ Đáp số : 0

2) Cộng cột 2, cột 3 vào cột 1 Rút thừa số chung a+b+c Đáp số : 0

3) Nhân cột 3 với 2 rồi cộng vào cột 2 Đáp số : 0

4) Nhân cột đầu với (-1) rồi cộng vào cột cuối Đáp số : 0

8) Nhân cột 1 với (-1) rồi cộng vào các cột sau Rút thừa số chung ra ngoài dấu định thức

rồi khai triển theo cột 1 Đáp số : -16sin2 sin2 sin2

9) Dùng định lý Laplace Đáp số :

(x2 - x1)sin(γ - β) + (y2 - y1)sin(α - γ) + (z2 - z1)sin(β - α)

10 ) Dùng định lý Laplace Đáp số :

(x4 - x3)[(x3 - x2)(x4 - x2) - 2(x3 - x1)(x4 - x1)]

11) Khai triển định thức theo cột 1 Đáp số : xn - (-1)n+1yn

12) Hàng thứ i - hàng thứ (i-1), với i ≥ 2 Trong định thức nhận được, cộng cột 1 vào mỗi cột còn lại Khai triển định thức nhận được theo cột cuối Đáp số : (-1)n+1(n+1)2n-2

2 ) 1 n ( n

)1(

−

) 1 (

)(

+ n n

) 1 (

)(

+ n n

n

2 ) 1 n ( n

)1(

b2c

13) Cột thứ j - cột thứ (j-1), với j ≥ 2 Trong định thức nhận được, cột thứ j - cột thứ (j-1), với j ≥ 3 Đáp số : 0, nếu n ≥ 3 -7, nếu n = 2 1, nếu n = 1

14) Cộng tất cả các cột vào cột đầu, rút thừa số chung x + ra ngoài dấu định thức Nhận xét rằng định thức mới nhận sẽ triệt tiêu nếu ta lần lượt thay x bởi a1, , an, tức định thức chia hết cho x-a1, , x-an, mà hệ số của xn+1 trong định thức mới là 1 Vậy đáp

∆ = (-1)n-1

(n-1)xn-2 6) Cộng tất cả các cột vào cột đầu, rút thừa số chung ra ngoài dấu định thức Khai

triển định thức nhận được theo cột 1 Đáp số : xn

7) Đưa xj ở mỗi cột thứ j ra ngoài dấu định thức, sau đó làm như câu 7) Đáp số :

20 1) Khai triển định thức theo hàng 1 Trong định thức mới nhận được, thực hiện n-2 phép đổi chỗ các hàng để đưa hàng cuối lên hàng đầu, ta được

Dn = a1a2 an-1 - Dn-1 Đáp số : Dn = a1a2 an-1 - a1a2 an-2 + + (-1)na1 + (-1)n+1

2) Tách cột cuối (1 1 1+ an)c = ( 1 1 1)c + (0 0 an)c, thì định thức Dn tách thành tổng Ta có công thức

i)xx(

∑

= n 0 i i

a

∑

= n 0 i i

a

∏

= n 1 i i

n i 2

1a aˆ aa

ϕ

ϕ+sin

)1nsin(

21 1) Biểu diễn các phần tử bên ngoài đường chéo chính ở dạng ai = 0 + ai

24 Chứng minh bằng cách thay A vào vế trái đẳng thức, rồi tính toán

25 An = Θ ⇒ |A|n = |An| = |Θ| = 0, nên |A| = 0 Theo đẳng thức ở bài 24

A2 = Tr(A)A

Vì vậy, An = An-2A2 = Tr(A)An-1 = = (Tr(A))n-1A

Theo giả thiết, Θ = (Tr(A))n-1A, nên

* Hoặc Tr(A) = 0 : Từ A2 = Tr(A)A suy ra A2 = Θ

i

i a )x

= −

n 1

i i i

i

axa

∏

=

−

n 1 i

i

i a )x(

31

3

1

|A

|

E3

1A

3

1

|A

|

E3

31EA

n 668 668

3

31

b a

b a

2

ii

1i

Ngược lại, giả sử A là ma trận với các phần tử nguyên và |A| = ±1 Do các phần tử của

A nguyên nên PA có các phần tử là Aij cũng nguyên Suy ra A-1 = |A|-1PA = ±PA cũng có các phần tử nguyên

31

ii

1i

ii

12

12

23

12

bcad

bd

0

21

0

72

431931

002

3

001

2

a1

−

−

1047

1a4a7a

00a2a3

00aa2

45

23

1

25

16

87

21

1

121

011

32

210

121

351

341

210

121

726

1

211

101

11

726

231

111

BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1 Giải các hệ phương trình trên R sau đây bằng qui tắc Cramer :

Thử để thấy hệ có nghiệm x1 = x2 = x3 = x4 = 1 và tính định thức của ma trận liên kết

4 Cho A ∈ M(m×n, T) Chứng minh rằng rankA ≤ min{m, n}

5 Giả sử A là ma trận con của ma trận B Chứng minh rằng rankA≤ rankB

6 Tìm hạng của các ma trận sau đây bằng phương pháp b.đ.s.c và phương pháp dùng định thức con bao quanh :

7 Tìm giá trị của λ sao cho ma trận sau đây có hạng thấp nhất :

,02b

y

a

,01c

71524

42312

70531

43235

52313

3422

31771

1104

4113

8 Chứng minh rằng mỗi ma trận hạng ≤ 1 đều có dạng

9 Chứng minh rằng nếu một hệ phương trình tuyến tính có hạng của ma trận liên kết bằng số phương trình, thì hệ ấy có nghiệm

10 a) Chứng minh rằng điều kiện cần để cho một hệ phương trình tuyến tính với số phương trình lớn hơn số ẩn một đơn vị có nghiệm là định thức của ma trận bổ sung của hệ phương trình đó bằng 0

b) Chứng minh rằng điều kiện trên cũng là đủ nếu hạng của ma trận liên kết bằng số ẩn

11 Với a là tham số, tìm điều kiện cần và đủ để hệ phương trình trên R sau có nghiệm :

2x1 + x2 - 2x3 + x4 = 3, 4x1 + 2x2 + 2x3 - x4 = 0, 2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = a

Giải hệ với a đã tìm

12 Cho hệ phương trình trên R

x + 2y + az = 3, 3x - y - az = 2, 2x + y + 3z = b

i) Xác định a và b để hệ có nghiệm duy nhất

ii) Xác định a và b để hệ vô nghiệm

iii) Xác định a và b để hệ có vô số nghiệm Giải hệ với a, b đã tìm

13 Giải, biện luận các hệ phương trình sau ( ẩn (x, y, z) ∈C3, tham số a∈C) :

a) x + 2y + az = 1, b) (2a+1)x - ay + (a+1)z = a-1,

2x + ay + 3z = -1, (a-2)x + (a-1)y + (a-2)z = a,

x +2y - 2z = 1 (2a-1)x + (a-1)y + (2a-1)z = a

14 Giải, biện luận các hệ phương trình sau ( ẩn (x, y, z) ∈C3, các tham số a, b ∈C) :

n 2 2 2 1 2

n 1 2 1 1 1

ba

baba

ba

baba

ba

baba

x1 + 10x2 - 6x3 + x4 = 0

Tìm λ để hệ có nghiệm :

a) Phụ thuộc một tham số

b) Phụ thuộc hai tham số

20 Cho hệ phương trình trên R

3x + y + z + 4t = 0,

λx + 4y + 10z + t = 0,

x + 7y + 17z + 3t = 0, 2x + 2y + 4z + 3t = 0

a) Tìm λ để hệ có nghiệm không tầm thường

b) Tìm λ để hệ có nghiệm phụ thuộc vào nhiều ẩn tự do nhất

21 Tìm điều kiện để hệ

y + az + bt = 0, -x + cz + dt = 0,

ax + cy - et = 0,

bx + dy + ez = 0,

có thể nhận z và t làm ẩn tự do

22 Tìm điều kiện của λ để hệ phương trình trên R

λx + ay + bz = 0, -ax + λy + hz = 0, -bx - hy + λz = 0,

có nghiệm không tầm thường

23 Giả sử A ∈ M(n, R) thoả mãn điều kiện akk > ( k = 1, , n ) Chứng minh rằng det(A) ≠ 0

24 Cho hệ tuyến tính gồm 4 phương trình và 5 ẩn số Biết rằng

(i) ( 2001, 2002, 2003, 2004, 2005 ) là một nghiệm của hệ;

(ii) Khi bỏ đi cột thứ j trong ma trận liên kết của hệ phương trình ta được một ma trận vuông

(b) Tìm số thực a để phương trình vô nghiệm

28 Cho hệ gồm hai phương trình ma trận thực với hai ẩn X, Y sau đây

k s 1 s ks

01

12

12

11

11

43

31

(a) Giải hệ với m = -7

có nghiệm duy nhất Chứng minh rằng abc ≠ 0 và tìm nghiệm

33 Cho A∈M(n, R) có det(A) ≠ 0 Chứng minh rằng với x1, x2, , xn ∈R

( x1 x2 xn )AcA( x1 x2 xn )c = 0 khi và chỉ khi x1 = x2 = = xn = 0

210

321

0023

0012

1111

1111

1111

1 011

1 101

1 110

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

3 Định thức của ma trận liên kết bằng 0 do hệ có nghiệm không tầm thường

6 a) hạng =2

7 Dùng phép biến đổi sơ cấp, suy ra λ = 0

8 Phản chứng, nếu có hai hàng i và j không tỉ lệ, thì tồn tại bốn phần tử aih, aik, ajh, ajk sao cho aih: aik ≠ ajh: ajk Vì định thức cấp hai là aih ajk- ajhaik ≠ 0, nên hạng ma trận > 1 Vô lý

9 số phương trình = hạng của ma trận liên kết ≤ hạng của ma trận bổ sung ≤ số phương trình,

nên hạng của ma trận liên kết = hạng của ma trận bổ sung Theo tiêu chuẩn Kronecker - Capelli, hệ có nghiệm

10 a) Nếu hệ có nghiệm thì rank = rankA Do rankA ≤ số ẩn, nên rank < số hàng của Suy ra det( ) = 0

b) Nếu det( ) = 0, thì rank < số hàng của ⇒ rank ≤ số ẩn Nhưng số ẩn = rankA ≤ rank , nên rankA = rank Theo tiêu chuẩn Kronecker - Capelli, hệ có

12 i) Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ |A| ≠ 0 ⇔ a ≠ 21/2, còn b là số thực tuỳ ý

ii) Dùng phương pháp Gauss hoặc định lý Kronecker-Kapelli, có :

* Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ a ≠ 21/2, còn b là số thực tuỳ ý

a+ +

3

cb

a+ ε2 + ε

3

cb

2 21

2 z 3

* Nếu a ≠ 0, a ≠ ±1 : hệ có một nghiệm duy nhất tính theo qui tắc Cramer

* Nếu a = 0 : rankA = 2 < rank = 3, hệ vô nghiệm

* Nếu a = 1 : rankA = 2 < rank = 3, hệ vô nghiệm

* Nếu a = -1 : rankA = rank = 2, hệ có vô số nghiệm phụ thuộc một tham số

* Nếu a = 1, b = 0,5 : hệ có vô số nghiệm phụ thuộc một tham số

* Trong các trường hợp khác : hệ vô nghiệm

b) Dùng phương pháp khử Gauss

* Nếu a ≠ 1 : hệ có một nghiệm duy nhất tính theo qui tắc Cramer

(6 - ab, 6 - b, 15 - 21a + ab)

* Nếu a = 1, b = 6 : rankA = rank = 2 Hệ thu gọn :

3x - 3y = 6, 2x - y + z = 9

Hệ có nghiệm : ( 7 - z, 5 - z, z ), ∀z ∈ C

* Nếu a =1, b ≠ 6 : hệ vô nghiệm

c) Hệ tạo bởi 3 phương trình đầu có nghiệm duy nhất ( 2, 2a - 2, 2a ) với mọi a ∈C Thế vào phương trình thứ 4, ta có : a = b Vậy

* Khi a ≠ b : hệ vô nghiệm

* Khi a = b : hệ có nghiệm duy nhất ( 2, 2a - 2, 2a )

15 i) |A| = (1-a)2(2+a)

* Nếu a ≠ 1, a ≠ -2 : hệ có một nghiệm duy nhất tính theo qui tắc Cramer

* Nếu a = 1 : Dùng phương pháp khử Gauss, suy ra ( hệ có nghiệm ⇔ b = c = d ), và các nghiệm là : ( b - y - z, y, z), ∀y, z ∈ C

* Nếu a = -2 : Dùng phương pháp khử Gauss, suy ra ( hệ có nghiệm ⇔ b + c + d = 0 ), và

các nghiệm là : ( z - , z - , z), ∀ z ∈ C

ii) * Nếu a, b, c đôi một khác nhau : hệ có nghiệm duy nhất, tính theo qui tắc Cramer

* Các trường hợp hệ có nghiệm phụ thuộc một tham số :

AAA

)1a(b

1b

1b4ab2

−

+

−

)b1(3

1

−A

3

cb

2 +

3

bc

2 +

b = c ≠ a, d = c hoặc d = a

* Các trường hợp hệ có nghiệm phụ thuộc hai tham số :

a = b = c = d

* Các trường hợp khác đều vô nghiệm

* Nếu m ≠ 5 : vô nghiệm

b) * Nếu m ≠ 1 : nghiệm (x, x+1, x + , -(m + 2)x - ), ∀(x, y)∈C2

* Nếu m =1 : vô nghiệm

c) Cộng 4 phương trình đầu tiên : x + y + z + t = 2 Từ đây suy ra hệ tạo bởi bốn phương trình đầu có nghiệm duy nhất : x = 1, y = -1, z = 0, t =2 Thay

vào phương trình thứ 5 và 6, suy ra :

* Nếu a = b =-1, hệ có nghiệm duy nhất (1, -1, 0, 2)

* Các trường hợp khác đều vô nghiệm

d) Cộng các phương trình lại, suy ra : (a + 3)(x + y + z + t) = 1 + b + b2 + b3

* Nếu a ≠ 1, và a ≠ 3 : Đặt c = , hệ có nghiệm duy nhất

* Nếu a = b = 1 : nghiệm (x, y, z, 1 - x - y - z), ∀(x, y, z)∈C3

* Nếu a = -3 và 1 + b + b2 + b3 = 0 : nghiệm

* Các trường hợp khác đều vô nghiệm

19 Dùng phương pháp khử ẩn Gauss, kết luận được

21 Dùng phương pháp khử Gauss thấy điều kiện là : e = ad - bc

22 Giả sử hệ có nghiệm không tầm thường ( x, y, z) ∈R3 : Lần lượt nhân phương trình 1,

2, 3 với x, y, z rồi cộng với nhau, ta có : λ(x2 + y2 + z2) = 0 Suy ra λ = 0

Ngược lại, nếu λ = 0 thì ma trận liên kết là ma trận phản đối xứng cấp lẻ cho nên định thức của nó bằng 0 Suy ra hệ có nghiệm không tầm thường

23 Nếu det(A) = 0, thì hệ thuần nhất = 0 ( k = 1, , n)

có nghiệm không tầm thường x = ( c1, , cn) Giả sử

max{|c1|, , |cn|} = |cj| ≠ 0

5

2y6

−

5

3y

x− +

−

1m

bbb

+

+++

1a

cb,1a

cb,1a

cb,1a

s

ksxa

Từ ⇒ ajjcj = - , nên |ajj||cj|

≤

do đó

Mâu thuẫn với giả thiết đề bài

24 Ký hiệu A = (aij)4×5 là ma trận liên kết của hệ Từ giả thiết suy ra rankA = 4, nên không gian nghiệm của hệ phương trình thuần nhất tương ứng có chiều bằng 1 Theo giả thiết α = ( 2001, 2002, 2003, 2004, 2005 ) là nghiệm riêng của hệ, nên mọi nghiệm của

hệ đều có dạng

(x1, , x5) = ααα + tββββ, t ∈R, trong đó ββββ =(x1*, , x5*) là nghiệm không tầm thường nào đó của hệ thuần nhất tương ứng

Ta tìm ββββ Cho x1* = -1, từ hệ thuần nhất nói trên ta có :

a12x2+ + a15x5 = a11

a42x1+ + a45x5 = a41Theo công thức Cramer và giả thiết ta tìm được :

jsc

≠

= j s 1 s

s

js ca

∑

≠

= n

j s 1 s js

211

2 1

2 1

zz

yy

xx

=++

1y

0y

0z2yx

1z2yx

2 1

2 2 2

1 1 1

=+

1y

0y

1z2x

1z2x

2 1

2 2

1 1

2 1

zz

10

z21z2

2 1

2 1

zz

yy

xx

1x

1 1

a) Nếu có nghiệm thì ma trận ở vế trái có định thức, còn ma trận ở vế phải có định thức bằng 1 Vô lý

(a) Giải hệ, có : X = , Y = , ∀x, y∈R

(b) Dùng phương pháp Gauss : phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi a ≠ 5

28 Cho hệ gồm hai phương trình ma trận thực với hai ẩn X, Y sau đây

* Nếu |A| = 0 thì hai cột của A tỉ lệ, nên A có dạng A =

30 Đặt X = ( x, y, z )c, ta có hệ tuyến tính Dùng phương pháp Gauss, có m = -6 Khi ấy

yx

yx

43

31

−4x 3

4x

x 2 6

2 1 1 1

baba

baba

ybxb

1 1

2 2

31 Đặt X = ( x, y, z )c, ta có hệ tuyến tính Do định thức của ma trận liên kết det

=3abc - a3 + b3 + c3 = 0, hệ này có nghiệm X không tầm thường

32 Đặt X = ( x, y, z )c, ta có hệ tuyến tính với định thức của ma trận liên kết

Vì detA ≠ 0 nên hệ có nghiệm duy nhất x1 = x2 = = xn = 0

34 Đối với các bài này sẽ tìm được ma trận nghịch đảo rất nhanh khi dùng phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

a0c

0ab

bc2

ac

b2 + 2 − 2

ac2

bc

a2 + 2 − 2

ab2

cb

a2 + 2 − 2

2 n

1 i j j

1x )a(∑

=

2 n

1 i j

njx )a(∑

=

0xa

n 1 i j j

1 =

∑

= n 1 i j

njxa

210

721

431931

002

3

001

2

41

1111

1111

1111

1n

1 n211

1 1n21

1 11n2

BÀI TẬP VỀ KHÔNG GIAN VÉCTƠ

1 Xét xem các tập hợp sau đây có lập thành T - không gian véctơ hay không đối với các phép toán thông thường ( được định nghĩa theo từng thành phần )

vi) Tập hợp các véctơ trong mặt phẳng, gốc ở gốc toạ độ, còn ngọn

chạy trong góc phần tư I và III, với phép cộng véctơ và phép nhân véctơ

với số thực thông thường

vii) Tập hợp các véctơ trong mặt phẳng, gốc ở gốc toạ độ, còn ngọn

chạy trên một đường thẳng đi qua gốc toạ độ, với phép cộng véctơ và

phép nhân véctơ với số thực thông thường

viii) Tập hợp các đa thức một biến bậc n có các hệ số trong trường T

với những phép toán thông thường

ix) Tập hợp các đa thức một biến bậc ≤ n có các hệ số trong trường T

với những phép toán thông thường

4 Cho T - không gian véctơ V Chứng minh rằng

i) Với mọi ααα, ββββ ∈ V tồn tại duy nhất một γγγγ ∈ V sao cho ααα + γγγγ = ββββ

ii) a(ααα - ββββ ) = aααα - aββββ, ∀a ∈ T, ∀ααα, ββββ ∈ V

iii) (a-b)ααα = aααα - bααα, ∀a ∈ T, ∀ααα ∈ V

5 Trong các tập hợp sau tập nào là không gian con của Rn

i) Tập hợp các véctơ ( x1, , xn ) ∈Rn có x1 = xn

ii) Tập hợp các véctơ của Rn mà có các toạ độ thứ chẵn đều bằng 0

iii) Tập hợp các véctơ ( x1, , xn ) ∈Rn mà x1 + x2 + + xn = 1

iv) Tập hợp các véctơ của Rn có dạng ( x, y, x, y, )

v) Tập hợp các véctơ của Rn với các thành phần hữu tỉ

6 Trong các tập hợp sau tập nào là không gian con của không gian các hàm số xác định trên (a, b)

i) Tập C(a, b) các hàm liên tục trên (a, b)

ii) Tập C1(a, b) các hàm khả vi liên tục trên (a, b)

iii) Tập các hàm khả tích trên (a, b)

iv) Tập các hàm đơn điệu trên (a, b)

v) Tập các hàm thoả điều kiện f(0) = 0

vi) Tập các hàm thoả điều kiện f(0) = 1

7 Trong các tập con sau đây của R[x], tập nào là không gian con của nó

i) Tập các đa thức bậc n

ii) Tập các đa thức dạng a1x + a2x2 + + a10x10

iii) Tập các đa thức dạng a0 + a1x + + a10x10, với a0 + a1 + + a10 = 0

iv) Tập các đa thức dạng a0 + a1x + + a10x10, với a0 + a1 + + a10 = 1

v) Tập các đa thức với hệ số nguyên

8 Chứng tỏ rằng tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính n ẩn trên T là không gian con của Tnkhi và chỉ khi hệ này là hệ thuần nhất

9 Cho T-không gian V

a) Cho V1 là một không gian con của V Chứng minh rằng V\V1 không

bao giờ là không gian con của V

b) Chứng minh rằng giao của một họ tuỳ ý các không gian con của V là

một không gian con của V

c) Giả sử V1, V2, , Vn là các không gian con của V Chứng minh rằng

V1 + V2 + + Vn := { α1 + α2 + + αn  αi ∈ Vi } là không gian con

của V

d) Giả sử V1, V2 là các không gian con của V sao cho V1∩V2 ≠ {θθθθ }

Chứng minh rằng mọi phần tử của V1+ V2 đều có ít nhất hai cách viết

thành tổng hai véctơ của V1 và V2

e) Giả sử V1, V2 là các không gian con của V sao cho V1∩V2 = {θθθθ }

Chứng minh rằng mọi phần tử của V1+ V2 đều có duy nhất một cách

viết thành tổng hai véctơ của V1 và V2

f) Giả sử V1, V2, V3 là các không gian con của V Chứng minh rằng nếu

V1 ⊆ V2 thì V1 + ( V2 ∩ V3) = V2∩(V1 + V3)

g)* Chứng minh rằng nếu V1, V2 là các không gian con của V thì điều kiện

cần và đủ để V1∪V2 là không gian con của V là V1 ⊆ V2 hoặc V2 ⊆ V1

Cho ví dụ chứng tỏ rằng hợp của các không gian con của một không gian

nói chung không phải là không gian con

10 Chứng minh : Hệ véctơ { αα1 , αα2, , ααn } phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi mỗi véctơ thuộc L{ αα1 , αα2, , ααn } đều có ít nhất hai biểu diễn tuyến tính qua { αα1 , αα2, , ααn }

11 Chứng minh rằng, nếu hệ αα1 , αα2, αα3 là độc lập tuyến tính thì hệ αα1 + αα2, αα2 + αα3, αα3 + αα1cũng độc lập tuyến tính

12 Tìm a∈R để ββββ = ( 7, -2, a ) là tổ hợp tuyến tính của hệ véctơ αα1 = ( 2, 3, 5), αα2 = ( 3, 7 , 8 ),

α3 = ( 1, -6, 1 ) Chứng minh rằng αα1 , αα2, αα3 phụ thuộc tuyến tính Nêu ý nghĩa hình học của lời giải

13 Cho αα1 , αα2, αα3 là 3 véc tơ độc lập tuyến tính trong không gian các véctơ hình học

i) Tìm a để các véctơ aαα1 + 4αα2+ 2αα3, αα1 + aαα2- αα3 phụ thuộc tuyến tính

ii) Tìm b để các véctơ bαα1 + αα2+ 3αα3, bαα1 - 2αα2+ αα3, αα1 - αα2+ αα3 là phụ

thuộc tuyến tính

14 Cho αα1 = 1 + x + x2, αα2 = 1 - x + x2, αα3 = 3x2

a) Hãy biểu diễn ααα = 2 + 8x2

thành tổ hợp tuyến tính của αα1 , αα2, αα3 b) αα1 , αα2, αα3 độc lập hay phụ thuộc tuyến tính?

15 Trong C4 cho các véctơ

α1 = ( 1, -3, 2, -4 ); αα2 = ( 3, 4, -1, 3 );

α3 = ( 2, 7, -2, 5 ); αα4 = ( 2, -6, 4, m )

(1) Xét sự phụ thuộc tuyến tính của { αα1; αα2; αα3; αα4 } tuỳ theo tham số

m ∈ C

(2) Tìm m ∈ C để αα4 biểu diễn tuyến tính qua αα1; αα2; αα3

16 Chứng minh rằng trong không gian Tn mọi hệ gồm quá n véctơ đều là phụ thuộc tuyến tính

17 Khi xem Cn như R- không gian, chứng minh rằng trong Cn tồn tại hệ véctơ độc lập tuyến tính gồm quá n véctơ

18 Trong không gian T[x] xét các đa thức pk(x) bậc k, k = 0, , n Chứng minh chúng độc lập tuyến tính

b) Tìm số chiều và một cơ sở của L( αα1 , αα2, αα3 )

25 Cho hệ véctơ trong R[x]2

p1 = -1 + 2x + x2; p2 = -3 + 3x + x2; p3 = -2 + mx

(i) Tìm số thực m để p1; p2; p3 là cơ sở của R[x]2

(ii) Khi m = 2, hãy biểu diễn tuyến tính p(x) = 1 + x + 3x2 qua p1; p2; p3

28 Cho W = { ax2 + bx + c ∈R[x]2 | b = a + c } Hãy chứng minh :

(1) W là không gian con của R[x]2

33 i) Tìm một cơ sở và số chiều của không gian C trên C

ii) Tìm một cơ sở và số chiều của không gian C trên R

37 Cho n số thực không đồng thời bằng không k1, , kn Tìm chiều của

V := { ( x1, , xn ) ∈ Rn  k1x1 + + knxn = 0 }

38 Trong R3 cho hai hệ véctơ

α1 = ( 1, 2, 1 ); αα2 = ( 2, 3, 3 ); αα3 = ( 3, 2, 1 ) (I) ββββ1 = ( 1, 1, 1 ); ββββ2 = ( 5, 2, 1 ); ββββ3 = ( 1, 1, -6 ) (II) (a) Chứng minh (I) và (II) là hai cơ sở của R3

(b) Tìm ma trận chuyển từ (I) sang (II) và (II) sang (I) Biết toạ độ của γγγγ trong (I) là ( -1, -1, 1 ), tìm toạ độ của nó trong (II) và trong cơ sở tự nhiên

39 Trong R[x]2 cho hai hệ véc-tơ

α1 = 1 + 2x + x2, αα2 = 2 + 3x + 3x2 , αα3 = 3 + 2x + x2 (I) ββββ1 = 1 + x + x2, ββββ2 = 5 + 2x + x2 , ββββ3 = 1 + x - 6x2 (II) (a) Chứng minh (I) và (II) là hai cơ sở của R[x]2

(b) Tìm ma trận chuyển từ (I) sang (II) và (II) sang (I) Biết toạ độ của γγγγ trong (I) là (-1, -1, 1), tìm toạ độ của nó trong (II) và trong cơ sở tự nhiên

40 Cho V là R- không gian với cơ sở αα1, αα2, αα3 Giả sử trong cơ sở này véctơ ββββ có toạ độ ( 1, 1,

1 ) Hãy tìm toạ độ của ββββ trong cơ sở αα1 + αα2, αα1 - αα2, αα1 + αα2 + αα3

41 Trong R3 cho hai cơ sở

α1 = ( 1, 2, 1 ); αα2 = ( 2, 3, 3 ); αα3 = ( 3, 2, 1 ) (I) ββββ1 = ( 1, 1, 1 ); ββββ2 = ( 5, 2, 1 ); ββββ3 = ( 1, 1, -6 ) (II) Tìm các véctơ ααα, ββββ, biết ααα + ββββ có toạ độ (1, 1, -1) trong (I), ααα - ββββ có toạ độ (1, -1, 1) trong (II)

42 Trong R3 cho hai cơ sở

α1 = ( 1, 1, 1 ); αα2 = ( 0, 1, 1 ); αα3 = ( 0, 0, 1 ) (I) ββββ1 = ( 1, 0, 0 ); ββββ2 = ( 1, 1, 0 ); ββββ3 = ( 1, 1, 1 ) (II) Tìm véctơ ααα, biết véctơ này có toạ độ ( x, -2, y) trong (I) và có toạ độ

=

, ββββ4

=

(II)

Tìm ma trận chuyển từ (I) sang (II) và (II) sang (I) Biết toạ độ của γγγγ trong (I) là (-1, -1, 1 , 1 ), tìm toạ độ của nó trong (II)

11

11

11

53

32

75

48 Cho W1 là không gian nghiệm của hệ

Chứng minh rằng W là không gian con của R[x]2 Tìm số chiều và một cơ sở của W

0ac0

0cba

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ KHÔNG GIAN VÉCTƠ

1 a) , d) : Có

b), c) : Không, do tập hợp không khép kín đối với các phép toán

2 Q không là R- không gian R không là C - không gian C là R- không gian

3 i) Tập này không là không gian véctơ, do (V5) không đúng đối với a = b = 1,

ααα = (1, 1, 1)

ii), v), vi), viii) : Không, do tập hợp không khép kín đối với các phép toán

iii), iv), vii), ix) : Có

4 i) Sự tồn tại : Lấy γγγγ = ββββ - ααα thì ααα + γγγγ = ββββ

Sự duy nhất : Nếu có γγγγ' sao cho ααα + γγγγ = ββββ, thì theo luật giản ước γγγγ = γγγγ'

ii) Từ a(ααα - ββββ ) + aββββ = a(ααα + (-ββββ) + ββββ) = aααα, suy ra đẳng thức phải chứng

minh

iii) Từ (a-b)ααα + bααα = (a - b + b)ααα = aααα, suy ra đẳng thức phải chứng

minh

5 Các tập trong i), ii), iv) là không gian con của Rn

6 Các tập trong i), ii), v) là không gian con của không gian các hàm số xác định trên (a, b)

7 Các tập trong ii), iii) là không gian con của R[x]

8 HD : Chỉ cần kiểm tra tổng hai nghiệm, tích một nghiệm với vô hướng cũng là nghiệm

9 a) Vì θθθθ∈V1 nên θθθθ∉V\V1 Suy ra V\V1 không là không gian con của V

b) Giả sử Vi là không gian con của V, i ∈I W :=

Nếu ααα, ββββ∈ W và a∈T, thì ∀i∈T : ααα, ββββ∈ Vi Do Vi khép kín đối với các phép toán nên α

α + ββββ∈ Vi và aααα∈Vi Từ đó có ααα + ββββ∈ W và aααα∈W Từ đây suy ra W là không gian con của V

c) HD: Kiểm tra V1+ +Vn khép kín đối với các phép toán của V

d) Lấy α∈ V1∩V2 khác θθθθ Với mọi β = β1+ β2∈V1+V2 ( βi ∈ Vi) thì β = (β1- α)+(β2+α), trong đó β1- α∈V1, β2+α∈V2

e) Giả sử β = β1+ β2 = γ1 + γ2∈V1+V2 ( βi, γi∈ Vi) thì β1- γ1 = γ2 - β2 Do véctơ ở vế trái thuộc V1, còn véctơ ở vế phải thuộc V2, nên β1- γ1, γ2 - β2∈ V1∩V2 Vì V1∩V2 = {θθθθ }, nên β1= γ1, γ2 = β2, đ.p.c.m

Nếu V1∪V2 là không gian con của V nhưng V1 ⊄ V2 và V2 ⊄ V1 thì tồn tại α∈V1\V2

và β∈V2\V1 Do V1∪V2 là không gian con nên α + β∈ V1∪V2 Thế thì α + β∈ V1 hoặc

α + β∈V2 Xét trường hợp thứ nhất : α + β = γ ∈ V1

I

I i

V

∈

thì β = γ - α ∈ V1, trái với việc β∈V2\V1 Tương tự, cũng không thể xảy ra trường hợp thứ hai Mâu thuẫn này chứng tỏ V1 ⊆ V2 hoặc V2 ⊆ V1

Lấy ví dụ trong hình học : Cho V1 = L( αα1 ) và V2 = L( αα2 ) với α1 và α2 khác phương nhau Theo qui tắc hình bình hành rõ ràng α1 + α2 khác phương với αα1 và α2 Nếu V1∪V2

là không gian con thì α1 + α2 ∈V1∪V2 nên α1 + α2

thuộc V1 hoặc V2, tức là α1 + α2 cùng phương với αα1 và α2 Mâu thuẫn

10 Nếu { αα1 , α2, , αn } phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại các xi không đồng thời bằng 0 sao cho θθθθ = x1α1 + + xnαn Vì vậy mỗi ββββ = y1α1 + y2α2 + + ynαn∈ L{ αα1 , α2, , αn}thì ββββ = (x1+y1)α1 + + (xn+yn)αn Tức là ββββ có hai biểu diễn tuyến tính khác nhau qua {

11 Nếu x(αα1 + α2) + y(α2 + α3) + z(α3 + α1) = θθθθ, thì (x+z) αα1 + (x+y)α2 + (y+z)α3 = θθθθ

Do α1, α2,α3 độc lập tuyến tính, nên x + z = x + y = y + z = 0 Từ đây suy ra x = y = z =

0 Vậy hệ α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1 cũng độc lập tuyến tính

12 Ta tìm a để phương trình véctơ ββββ = x1α1 + x2α2 + xnα3 có nghiệm Dùng phương pháp Gauss có a = 15

Vì det(α1, α2,αn) = 0 nên α1, α2,α3 phụ thuộc tuyến tính Ý nghĩa hình học của lời giải :

α1, α2,α3 đồng phẳng nhưng không cùng phương ββββ nằm trên mặt phẳng chứa αα1, α2,α3khi và chỉ khi a = 15

13 i) Cách 1 : Phương trình véctơ x1(aα1 + 4α2+ 2α3) + x2(α1 + aα2- α3) = θ tương đương với hệ

ax1 + x2 = 0, 4x1 + ax2 = 0, 2x1 - x2 = 0

aα1 + 4α2+ 2α3, α1 + aα2- α3 phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi hệ này có nghiệm không tầm thường, hay a = -2 ( phương pháp Gauss )

Cách 2 : α1 , α2, α3 chính là một cơ sở của E3 Trong cơ sở này [aα1 + 4α2+ 2α3]=( a,

4, 2)c, [α1 + aα2- α3] = ( 1, a, -1 )c aα1 + 4α2+ 2α3, α1 + aα2- α3 phụ thuộc tuyến tính khi

và chỉ khi chúng cùng phương, nên

Từ đây suy ra a = -2

ii) Giải tương tự cách 1 của i)

14 a) Giải phương trình véctơ ααα = x1α1 + x2α2 + xnα3, có αα = αα1 + α2 + 2α3

b) Trong cơ sở {1, x, x2 } [α1]=( 1, 1, 1 )c, [α1]=( 1, -1, 1 )c, [α1]=( 0, 0, 3 )c

Vì det([α1], [α1], [α1]) = - 6 ≠ 0, nên αα1 , α2, α3 độc lập tuyến tính

15 Xét ma trận vuông A cấp 4 thiết lập từ các véctơ αα1 , α2, α3, α4

(1) Dùng phép b.đ.s.c trên A thấy rằng {α1 , α2, α3, α4} p.t.t.t khi và chỉ khi m = -8 (2) Vì {α1 , α2, α3} đ.l.t.t nên α4 b.d.t.t qua chúng khi và chỉ khi {α1 , α2, α3, α4} p.t.t.t, tức là khi và chỉ khi m = -8

1

2a

41

a

−

=

=

Cách khác : Xét phương trình : α4 = x1α1 + x2α2 + x3α3 Dùng phương pháp Gauss suy

ra điều kiện cần và đủ để phương trình này có nghiệm là m = -8

16 Giả sử { αα1 , α2, , αm }⊂ Tn

, với m > n Coi các véctơ này là các cột của ma trận A

cỡ n× m Vì rank{ αα1 , α2, , αm }=rankA ≤ min{m, n}< m, nên

Nếu x1e1 + + xnen + xn+1ββββ = θθθθ (

xi ∈ R ), thì ( x1+ ixn+1, , xn )c = ( 0, , 0, 0 )c nên x2= = xn = 0 và x1 + ixn+1 = 0 Do

x1 + ixn+1 = 0 kéo theo x12 = -xn+12, nên x1 = xn+1 = 0 Vậy { e1 , e2, , en, ββββ} đ.l.t.t

nghiệm Giả sử x0, , xn không đồng thời bằng 0 Gọi xm là số cuối cùng mà khác 0 trong

dãy này, thì là đa thức bậc m, nên có không quá m nghiệm, vô lý Vậy x0, ,

xn đồng thời bằng 0, nên { p0(x), , pn(x) }độc lập tuyến tính

19 Ma trận cỡ 3× 4 tạo bởi αα1 , α2, α4 có định thức con

20 (i) rank{αα1 , α2, α3, α4} = 4, nên {α1 , α2, α3, α4} đ.l.t.t

(ii) Ma trận thiết lập từ các véctơ này có định thức con cấp cao nhất khác không chính là định thức cấp l sau đây

Vì vậy hạng của hệ véctơ bằng l

21 Dùng phép biến đổi sơ cấp trên ma trận thiết lập từ 4 véctơ này, suy ra a ≠-4

22 (1) Dùng phép biến đổi sơ cấp trên ma trận thiết lập từ 5 véctơ này, tính được hạng bằng 3 và {α1 , α2, α3} đ.l.t.t cực đại trong {α1 , α2, α3, αα4 , α5 }

kp (x)

= n 0 k k

kp (x)x

∑

= n 0 k

k

kp (x)x

2 2

1

10

01

εε

ε

−

−ε

01

0

10

0

01

dim L( αα1 , αα2, αα3, αα4 , αα5 ) = rank{αα1 , αα2, αα3, αα4 , αα5 } = 3 {αα1 , αα2, αα3} là một cơ sở của L( αα1 , αα2, αα3, αα4 , αα5 )

(2) Thay thế các véctơ bởi toạ độ của chúng trong cơ sở {1, x, x2} của R[x]2, ta đưa được bài toán này về bài toán (1)

23 Theo bài 18, hệ {1, x, x2, , xn } đ.l.t.t Mọi phần tử p(x) = a0 + a1x + + anxn của T[x]n rõ ràng là tổ hợp tuyến tính của 1, x, x2, , xn Vì vậy {1, x, x2, , xn } là cơ sở của T[x]n Vậy dimT[x]n = n+1

Theo bài 18, { p0(x), , pn(x) }độc lập tuyến tính trong không gian n+1 chiều, nên {

p0(x), , pn(x) } là cơ sở của T[x]n

24 a) Dùng phép biến đổi sơ cấp trên ma trận thiết lập từ 3 véctơ này, tính được hạng của {αα1 , αα2, αα3} bằng 2 Vì dimR3 = 3, nên {αα1 , αα2, αα3} không là cơ sở của R3

b) {αα1 , αα2} đ.l.t.t nên nó là cơ sở của L( αα1 , αα2, αα3)

25 (i) dimR[x]2 = 3 nên {p1, p2, p3} là cơ sở của R[x]2 khi và chỉ khi rank{p1, p2, p3} = 3 Toạ độ của {p1, p2, p3} trong cơ sở {1, x, x2} tạo nên ma trận

Dùng phép biến đổi sơ cấp tìm được điều kiện cần và đủ để rank{p1, p2, p3} = 3 là m ≠ 1 (ii) Giải phương trình [p] = x1[p1] + x2[p2] + x3[p3] theo phương pháp Gauss được (x1,

x2, x3) = (2, 1, -3) Vậy p = 2p1 + p2 - 3p3

26 Điều kiện cần là hiển nhiên theo định nghĩa của cơ sở

Điều kiện đủ : Nếu { αα1 , αα2, , ααn } là hệ sinh của V Ta chỉ cần chứng minh { αα1 , αα2, , ααn } đ.l.t.t thì sẽ suy ra nó là cơ sở Nếu { αα1 , αα2, , ααn } p.t.t.t thì tồn tại ααj là tổ hợp tuyến tính của n - 1 véctơ còn lại trong hệ Không mất tổng quát có thể coi j = n Thế thì αα1 , αα2, , ααn biểu diễn tuyến tính qua { αα1 , αα2, , ααn-1 } Gọi { ββββ1 , ββββ2, , ββββn } là một

cơ sở của V { αα1 , αα2, , ααn } là hệ sinh nên mỗi ββββi là tổ hợp tuyến tính của { αα1 , αα2, ,

αn } Do tính bắc cầu ββββi là tổ hợp tuyến tính của { αα1 , αα2, , ααn-1 } Do đó, V = L{ββββ1 , ββββ2, , ββββn } ⊂ L{ αα1 , αα2, , ααn-1 }⊂ V, nên L{ αα1 , αα2, , ααn-1 }= V Suy ra n = dimV ≤ n-1,

vô lý Vậy, { αα1 , αα2, , ααn } đ.l.t.t

27 là đa thức bậc n - k ( k = 0, , n ) Do bài 18 chúng đltt trong không gian

n + 1 chiều T[x]n, suy ra lập nên cơ sở của T[x]n

28 (1) Kiểm tra tính đóng kín của W đối với các phép toán của R[x]2

(2) p(x) ∈W ⇔ p(x) = ax2 + (a+c)x + c ⇔ p(x) = a(x2+x) + c(x+1) Do đó {x2+x, x+1}

là hệ sinh của W

Nếu a(x2+x) + c(x+1) = θ, thì ax2 + (a+c)x + c = 0 ∀x, nên a = a+c = c = 0 Do đó {x2+x, x+1} đ.l.t.t

Vậy {x2+x, x+1} là cơ sở của W và dim W = 2

29 (1) Kiểm tra tính đóng kín của W đối với các phép toán của R[x]4

(2) p(x) ∈W ⇔ p(x) = (x + 1)(x - 2)(ax2 + bx + a) ⇔ p(x) = a(x + 1)(x - 2)(x2 + 1) + b(x + 1)(x - 2)x Do đó {(x+1)(x-2)(x2+1), (x+1)(x-2)x } là hệ sinh của W

Nếu a(x + 1)(x - 2)(x2 + 1) + b(x + 1)(x - 2)x = θ, thì (x + 1)(x - 2)(ax2 + bx + a) = 0

133

121

)

x

(

p(nk)

Vậy {(x+1)(x-2)(x2+1), (x+1)(x-2)x } là cơ sở của W Suy ra dimW = 2

30 (1) Kiểm tra tính đóng kín của W đối với các phép toán của R[x]4

(2) p(x) ∈W ⇔ p(x) = (a + c)x4 + bx2(x + 2) + a(x + 1) + 2b + 3c ⇔ p(x) = a(x4 + x) + b(x3+2x2+2) + c(x4 + 3) Do đó {x4 + x, x3+2x2+2, x4 + 3 } là hệ sinh của W

Nếu a(x4 + x) + b(x3+2x2+2) + c(x4 + 3) = θ, thì (a + c)x4 + bx2(x + 2) + a(x + 1) + 2b + 3c = 0 ∀x, nên a + c = b = a = a + 2b + 3c = 0 Từ đây suy ra a = b = c = 0 Do đó {x4 +

x, x3+2x2+2, x4 + 3 } đ.l.t.t

Vậy {x4 + x, x3+2x2+2, x4 + 3 } là cơ sở của W

31 Cách 1 : W chính là tập hợp các đa thức với hệ số thực có dạng p(x) =

(x-1)(ax2+bx+c)

(1) Kiểm tra tính đóng kín của W đối với các phép toán của R[x]3

(2) Tương tự bài 29, chứng minh được {(x-1)x2, (x-1)x, x-1} là cơ sở của W Vì vậy dimW = 3

Cách 2 : W = { ax3 + bx2 + cx + d ∈R[x]2 | a + b + c + d = 0 }

p(x) ∈W ⇔ p(x) = ax3 + bx2 + cx - ( a + b + c ) ⇔ p(x) = a(x3 - 1) + b(x2 - 1) + c(x - 1) Tiếp theo chứng minh { x3-1, x2-1, x-1} là cơ sở của W

32 {cosx, sinx, 1} rõ ràng là hệ sinh của V

Nếu a.cosx + b.sinx + c.1 = θ thì acosx + bsinx + c = 0 ∀x ∈R Lần lượt cho x = 0, ,

π, ta có hệ phương trình

a + c = 0

b + c = 0 -a + c = 0

Từ đây a = b = c = 0, nên {cosx, sinx, 1} đ.l.t.t

Vậy, {cosx, sinx, 1} là cơ sở của V Do đó dimV = 3

33 (i) Cơ sở là {1} và dimCC = 1

(ii) Cơ sở là {1, i} và dimRC = 2

34 (a) Nếu W là không gian con của R3 thì (0, 0, 0) ∈R3 nên m = 0

Ngược lại, khi m=0 thì W đóng kín đối với các phép toán của R3, nên W là không gian con của R3

(b) α∈W ⇔ α = ( x1, x2, 0) ⇔ α = x1( 1, 0, 0) + x2(0, 1, 0) Do đó {( 1, 0, 0), (0, 1, 0)}

là hệ sinh của W

Nếu x1( 1, 0, 0) + x2(0, 1, 0) = (0, 0, 0), thì ( x1, x2, 0) = (0, 0, 0), nên x1 = x2 = 0 Do

đó {( 1, 0, 0), (0, 1, 0)} đ.l.t.t

Vậy {( 1, 0, 0), (0, 1, 0)} là cơ sở của W và dimW =2

35 (a) Tương tự bài 34 : m = 0

Nếu x1( 1, 0, 1, 1) + x2(0, 1, 1, -1) = (0, 0, 0), thì ( x1, x2, x1+x2, x1-x2) = (0, 0, 0), nên

x1 = x2 = 0 Do đó {( 1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, -1)} đ.l.t.t

Vậy {( 1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, -1)} là cơ sở của V1 và dimV1 =2

* dimV2 = 2 {( 0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)} là cơ sở của V2

* dimV3 = 2 {( 1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} là cơ sở của V3

37 Giả sử k1 khác 0 Đối với các trường hợp còn lại lập luận tương tự Khi chia cả hai vế của phương trình k1x1 + + knxn = 0 cho k1 ta có thể xem như k1 = 1

α∈V ⇔ α = ( -x2- x3- - xn, x2, , xn) ⇔ α = x2( -1, 1, 0, , 0) + x3( -1, 0, 1, , 0) + + xn(-1, 0, 0, , 1) Do đó {( -1, 1, 0, , 0), ( -1, 0, 1, , 0), , (-1, 0, 0, , 1)} là hệ sinh của V

Nếu x2( -1, 1, 0, , 0) + x3( -1, 0, 1, , 0) + + xn(-1, 0, 0, , 1) = ( 0, 0, 0, , 0 ), thì ( -x2- x3- - xn, x2, , xn) = ( 0, 0, 0, , 0 ) Suy ra x2 = x3 = = xn = 0 Do đó

2602

3461

61

777

267621

211

71

Từ đây, suy ra x = y, x -2 = y - 2, x - 2 + y = -2 Giải ra được x = y = 0

Do đó, ααα = 0αα1 - 2αα2 + 0αα3 = - 2( 0, 1, 1 ) = ( 0, -2, -2 )

43 Khi thay thế các véc tơ trong M(2, T) bởi toạ độ của nó trong cơ sở {E11, E12, E21,

E22}, thì bài toán này đưa về bài toán trong không gian R4 :

A(aX1+ bX2) = A(aX1) + A(bX2) = a(AX1) + b(AX2) = aO2 + bO2 = O2,

nên (aX1+ bX2) ∈W Suy ra W là không gian con của M(2, R)

5221

0021

2121

0235

1211

2432

01

10

00

yx

0z2x

t2z2

02