Cho hàm số y f x = ( ) có TXD: D Điều kiện cần: D phải chứa + hoặc − Điều kiện đủ: Dạng 1. ( ) ( ) ( ) P x y f x Q x = = . Nếu degP x degQ x ( ) ( ): thì không có tiệm cận ngang Nếu degP x degQ x ( ) ( ): TCN y = 0 Nếu degP x degQ x ( ) = ( ): y k = (k là tỉ số hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu) Dạng 2: y f x u v = = − ( ) (hoặc u v − ): Nhân liên hợp 2 ( ) u v y f x u v − = = + (hoặc u v u v − + )
Trang 1TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM
Dạng 1 Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số thông hàm số cho trước
1 Đường tiệm cận ngang
Nếu degP x( )degQ x( ):thì không có tiệm cận ngang
Nếu degP x( )degQ x( ):TCN y = 0
Nếu degP x( )=degQ x( ): y=k (k là tỉ số hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu)
Dạng 2: y= f x( )= −u v (hoặc u− v): Nhân liên hợp
2( ) u v
2 Đường tiệm cận đứng
Cho hàm số ( )
( )
P x y
TAILIEUONTHI.NET
Trang 2Ta có: ( )( )
2 2
1lim
x y
21
1
=+
x y x
Lời giải Chọn D
5 4
11
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận
Câu 4 (Mã 123 2017) Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: − −
A 2 B 3 C 1 D 0 TAILIEUONTHI.NET
Trang 3TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Ta có 2
x − = = x
2 2
→
−
nên đường thẳng y =0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Vậy có đồ thị có hai đường tiệm cận
Câu 6 (Mã 101 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y x2 9 3
+ −
=+ là
Lời giải Chọn A
Lời giải Chọn B
Tập xác định của hàm số: D = − + 4; ) \ 0; 1−
Ta có:
0
1lim
4 2lim− y lim− x+ −
+ TAILIEUONTHI.NET
Trang 4Lời giải Chọn D
25 9 lim
-=
0
x
Þ = không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 1 đường tiệm cận
Câu 9 Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Trang 5TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Lời giải Chọn D
+ + + nên đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng x = − 1
Câu 11 (Mã 104 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y x 216 4
1lim lim
Vậy đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x = − 1
Câu 12 (Chuyên Sơn La 2019) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y x2 4 2
x y
Nên đường thẳng x = không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho 0
Vậy đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng x = − 1
TAILIEUONTHI.NET
Trang 6Câu 13 (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Đồ thị hàm số ( )
2
11
Vậy hàm số có hai tiệm cận ngang y = 2
Câu 15 (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Cho hàm số
3 21
Trang 7TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
→ − = + nên đường thẳng x = − 2 là đường tiệm cận đứng
Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận (1 tiệm cận ngang, 3 tiệm cận đứng)
Câu 16 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Hàm số
TXĐ: D = \ 0
2 3
2 2
11
x x
2 2
11
x x
Lời giải Chọn D
x x nên đường thẳng y=0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Câu 18 (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho hàm số
đề nào sau đây là đúng?
A Đồ thị ( )C của hàm số không có tiệm cận TAILIEUONTHI.NET
Trang 8B Đồ thị ( )C của hàm số chỉ có một tiệm cận ngang y =0
C Đồ thị ( )C của hàm số có một tiệm cận ngang y =0 và hai tiệm cận đứng 1; 1
2
x= x= −
D Đồ thị ( )C của hàm số chỉ có một tiệm cận ngang y =0 và một tiện cận đứng x =1
Lời giải Chọn D
Lời giải Chọn A
Xét hàm số
22
2lim
[ 2; 2 \] { }1
-TAILIEUONTHI.NET
Trang 9TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
x y
-Suy ra đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng, d = 2
Câu 22 (Chuyên Long An-2019) Đồ thị hàm số 5 12 1
Vậy đồ thị của hàm số có hai đường tiệm cận có phương trình x = và 2 y = 0
Câu 23 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1
x y
TAILIEUONTHI.NET
Trang 10x y
Tập xác định D = −( ;0) ( +3; )
2
85
Trang 11TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Đường thẳng y = −5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2
5 8lim lim
3
x y
3
x y
1 5
1 0
41
Trang 12Dạng 2 Định m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận thỏa mãn điều kiện cho trước
1 Đường tiệm cận ngang
Nếu degP x( )degQ x( ):thì không có tiệm cận ngang
Nếu degP x( )degQ x( ):TCN y = 0
Nếu degP x( )=degQ x( ): y=k (k là tỉ số hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu)
Dạng 2: y= f x( )= −u v (hoặc u− v): Nhân liên hợp
2( ) u v
2 Đường tiệm cận đứng
Cho hàm số ( )
( )
P x y
x y
Xét các trường hơp sau:
Với m = : hàm số trở thành 0 y= +x 1 nên không có tiệm cận ngang
Với m : 0
TAILIEUONTHI.NET
Trang 13TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
có hai đường tiệm cận đứng Số phần tử của S là
A vô số B 12 C 14 D 13
Lời giải Chọn B
m
x x
m m
− + − + nên hàm số có một tiện cận ngang y =0
Hàm số có 3 đường tiệm cận khi và chỉ khi hàm số có hai đường tiệm cận đứng phương trình 2
Trang 14Câu 4 (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hàm số
Ta có lim 0, lim 0
→+ = →− = đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận ngang
Do đó đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận khi và chỉ khi nó có 3 tiệm cận đứng ( )*
x − mx + m + x− =m có 3 nghiệm phân biệt khác 3
m và 3 ( )2 có 2 nghiệm phân biệt khác m và khác 3
2
2
2 2
m m
Do đó tập tất cả giá trị nguyên của m thỏa ycbt là −2020; 2019; ; 2; 2; 4;5; ; 2020− −
Vậy có 4037 giá trị m thỏa ycbt
Câu 5 (Chuyên Sư Phạm Hà Nội - 2020) Có bao nhiêu số nguyên của mthuộc đoạn −100;100để đồ
thị hàm số
12
Vậy để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì 0
2
m m
Trang 15TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
4
m m
m m
m m m
Để đồ thị có ba đường tiệm cận thì 2
x − mx+ = có hai nghiệm phân biệt −1
TAILIEUONTHI.NET
Trang 16Theo công thức tìm nhanh tiệm cận của đồ thị hàm số y ax b
Câu 10 (Sở Vĩnh Phúc 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mđể đồ thị hàm số
có đúng bốn đường tiệm cận?
Lời giải TH1: m0 suy ra tập xác định của hàm số là D=(x x , (1; 2) x x là nghiệm của phương trình 1; 22
lim ; lim−
→− = − → = −
x y x y Khi đó ta có x= −4 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Do đó m=0 không thỏa yêu cầu của bài toán
TH3: m0 suy ra tập xác định của hàm số là D= −( ;x1) ( x2;+) (x x là nghiệm của 1; 2phương trình 2
Suy ra có tất cả 6 giá trị nguyên của
tham số mthỏa mãn yêu cầu của bài toán
Câu 11 (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Với giá trị nào của hàm số m để đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
Hàm số xác định trên một trong các miền (− ) (− ( +)hoặc TAILIEUONTHI.NET )
Trang 17TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
bx Tìm ,a b để đồ thị hàm số có x=1 là tiệm cận đứng và 1
2
=
y là tiệm cận ngang
A a= −1;b=2 B a=4;b=4 C a=1;b=2 D a= −1;b= −2
Lời giải Chọn C
22
++
bx có tiệm cận ngang là đường thẳng
1
22
−
=+ − − có hai
đường tiệm cận đứng?
A 19 B 15 C 17 D 18
Lời giải
Trang 18Ta có đồ thị hàm số 2 1
x y
−
=+ − − có hai đường tiệm cận đứng khi phương trình
m m
Từ đó ta suy ra tập các giá trị nguyên của mthỏa mãn là
− − − − − − −7, 6, 5, 4, 3, 2, 1,0,1, 2,3, 4,6,7,8,9,10 Vậy có 17 giá trị nguyên của m thỏa mãn
Câu 14 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Vậy điều kiện để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là m 0
* Xét trường hợp x = − là nghiệm của tử số2 = − là nghiệm củax 2 ( ) 2
Trang 19TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng x = −2 với m (0; 2
Vậy điều kiện để đồ thị hàm số
Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài là m = ; 1 m =2
Câu 15 (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Tổng các giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số
Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng khi và chỉ khi f x = có 2 nghiệm phân biệt trong ( ) 0
đó có 1 nghiệm x = hoặc 1 f x = có nghiệm kép ( ) 0
® + ¥ = ® - ¥ = nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳngy = 0
Do đó, đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận khi phương trình 3 2 ( 2 )
ë
TAILIEUONTHI.NET
Trang 20Phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt x ¹ 3 khi và chỉ khi m ¹ 3 và phương trình
m m
m m
m m
m
ìïï
ï ¹ï
Do m nguyên và m Î -[ 6;6] nên m Î -{ 6; 5; 4; 3; 2; 2; 4;5;6- - - - }
Vậy có 9 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài
Câu 17 (THPT Yên Dũng 2-Bắc Giang) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số
x y
Để đồ thị hàm số
2
24
x y
Trang 21TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Câu 19 (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho hàm số y = f x( ) thỏa mãn
Đồ thị hàm số y= f x( ) có duy nhất một tiệm cận ngang
Vậy có 2 giá trị của m thỏa bài toán
Câu 20 (THPT Hai Bà Trưng - Huế - Lần 1- 2019) Cho hàm số
m m
m m
m m
−
=
− + + đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là đường thẳng y =0 do đó m = thỏa mãn yêu cầu bài toán 0 TAILIEUONTHI.NET
Trang 22+ Trường hợp 2: m và cả hai tam thức 0 f x và ( ) g x đều vô ( )
Vậy có 1 giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số
x y
êêëHiển nhiên nếu m £ 0 thì giới lim ( 2 1)
® ± ¥ + + không hữu hạn Nếu m > 0 ta có
2
2
1x(1 )(1 ) 1
11
Để giới hạn trên hữu hạn khi và chỉ khi m=1
Câu 23 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số 2 2
x y
Với m = ; ta có hàm số 0 2 2
x y x
Trang 23TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng
4
0
m m
m = không thỏa mãn điều kiện 0
Vậy chỉ có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 24 (HSG Sở Nam Định-2019) Gọi S là tập các giá trị nguyên của msao cho đồ thị hàm số
2
2019
x y
17 1
m m
tử của S bằng
A 1
12
13
−
Lời giải Chọn B
Trang 24® - ¥
-
= + Nên đồ thị hàm số luôn có hai đường tiệm cận ngang y =1 vày = - 1
-Trường hợp 1: m = 0 khi đó hàm số là 1
2
x y x
-=+ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = - 2 Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài
Trường hợp 2: m > 0 Hàm số g x có tập xác định là ( ) D= - ¥( ;0] [È m;+ ¥ )
2
x= - Î D g( 2)- = 2(m+ 2)- ¹1 0 nên x = - 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Vậy m = , 1 m = 2,.m = 9 thỏa mãn Nên có 9 giá trị m
Vậy 12 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu
Câu 27 Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn −2019; 2019 của tham số m để đồ thị hàm số y 2 x 3
−
=+ −
có đúng hai đường tiệm cận
A 2007 B 2010 C 2009 D 2008 TAILIEUONTHI.NET
Trang 25TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Lời giải Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
Khi m 12 thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
Khi m 12 thì đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng
Do đó để hàm số có đúng 2 đường tiệm cận thì m12; 2019
Vậy có 2008 giá trị nguyên của m
Câu 28 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số 2 1
x y
−
=
− + Có tất cả bao nhiêu giá trị m để đồ thị
hàm số có đúng hai đường tiệm cận
Lời giải Chọn B
Nhận xét:
+ f x( )=mx2−2x+3có bậc 1 nên đồ thị hàm số luôn có 1 tiệm cận ngang
+ Do đó: Yêu cầu bài toán 9 đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng
+ m = , đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng 0 3 0
2
x= =m thỏa bài toán
+ m , đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình 0 2
mx − x+ = có nghiệm kép hoặc nhận x = làm nghiệm 1
10
3(1) 0
− + − với m là tham số Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm
số đã cho có 4 đường thẳng tiệm cận TAILIEUONTHI.NET
Trang 26y = là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Do đó, để đồ thị hàm số đã cho có 4 đường thẳng tiệm cận thì phương trình 3 2
Do hàm số không có tiệm cận đứng nên ( ) ( ) ( )2
Biểu thức: 2
2016 2017
− + + có nghĩa khi − +x2 2016x+2017 − 0 1 x 2017 Đặt ( ) 2
2016 2017
f x = − +x x+
TAILIEUONTHI.NET
Trang 27TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Xét x m− = = Vậy đồ thị nếu có tiệm cận đứng chỉ có thể là 0 x m x m= , khi đó điều kiện là:
tử của S bằng
A 1
12
13
−
Lời giải Chọn B
® - ¥
-
= + Nên đồ thị hàm số luôn có hai đường tiệm cận ngang y =1 vày = - 1
-TAILIEUONTHI.NET
Trang 28Trường hợp 1: m = 0 khi đó hàm số là 1
2
x y x
-=+ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = - 2 Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài
Trường hợp 2: m > 0 Hàm số g x có tập xác định là ( ) D= - ¥( ;0] [È m;+ ¥ )
2
x= - Î D g( 2)- = 2(m+ 2)- ¹1 0 nên x = - 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Vậy m = , 1 m = 2,.m = 9 thỏa mãn Nên có 9 giá trị m
Vậy 12 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu
Câu 34 (THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm
số
1
12+
Nếu m = thì 0 1
1
y x
=+ Hàm số này có tập xác định D = \ − 1
1
+ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = − 1Vậy với m = thì đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận (loại) 0
Nếu m thì 0 mx + 2 1 0 với mọi x và tập xác định của hàm số là D = \ − 1
21lim
1
x
mx x
→+
++
21lim
11
1
x
mx x
→−
++
21lim
11
1
x
mx x
+
→ −
+
= +
+ nên x = − là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 1
Vậy m không thỏa mãn 0
Trang 29TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
11
TAILIEUONTHI.NET