Chuyên đề tiệm cận đồ thị hàm số có lời giải chi tiết

Chuyên đề về tiệm cận hàm số chương trình toán họcTHPT từ cơ bản đến nâng cao lớp 12, được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết từng câu, từng bài. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, ôn luyện cho học sinh, học sinh tham khảo tài liệu này rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức toán học về tiệm cận của hàm số lớp 11, 12 và để ôn thi TN THPQG và ôn thi đại học.

DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – MỨC 5-6 ĐIỂM

Dạng Xác định đường tiệm cận thông qua bảng biến thiên, đồ thị

1.1.1 Đường tiệm cận ngang

Cho hàm số y f x( ) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng a;� , �;b

hoặc

 � �; 

) Đường thẳng y y 0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm

số y f x( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: xlim ( )f x y0, lim ( )x f x y0

A Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x và 1 x  1

B Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

C Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.

D Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y1 và y 1.

Lời giải Chọn D

Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ta chọn đáp án D.

Câu 2 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

21

x y x



Suy ra y  1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 3 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

4 11

x y x





 là1

TI M C N Đ TH C A HÀM S Ệ Ậ Ồ Ị Ủ Ố

Chuyên đề 6

Ta có là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 5 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

2 11

x y x

y B y  1 C y 1 D y 2

Lời giải Chọn D

Ta có

12

Suy ra đồ thị hàm số có tiệmcận ngang là y 2

Câu 6 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

3 11

x y x

y B y 3 C y  1 D y 1

Lời giải Chọn B

x y x

x y x





 là

5 11

x y x

x x y

x

x x



�   �

 Suy ta tiệm cận đứng là đường thẳng x3.

Câu 9 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2 21

x y x

2 2lim lim

1

x y

1

x y

Câu 10 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

13

x y x

Câu 11 (Mã 103 - 2019) Cho hàm số y f x  có báng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:

Lời giải Chọn B

Nhìn bảng biến thiên ta thấy x=0 hàm số không xác định nên x=0 là TCĐ của đồ thị hàm số

Câu 12 (Mã 102 - 2019) Cho hàm số f x 

có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

Lời giải Chọn B

Từ bảng biến thiên đã cho ta có :

Câu 13 (Mã 101 - 2019) Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:

Lời giải Chọn D

Vậy tổng số tiệm cận đứng và ngang là 2

Câu 14 (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau

Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

Lời giải Chọn A

Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là 3

Câu 15 (THPT - Yên Dịnh Thanh Hóa 2019) Cho hàm số có bảng biến thiên như hình sau

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x  là

Câu 16 (Đề Tham Khảo 2017) Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây Hỏi đồ

thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

A 3 B 2 C 4 D 1

Lời giải Chọn A

Dựa vào bảng biến thiên ta có :

, suy ra đường thẳng y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận

Câu 17 (Mã 104 2019) Cho hàm số y f x 

có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

Lời giải Chọn B

nên hàm số có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng có phương trình x0.

Câu 18 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số f x 

có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:

Câu 19 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

Câu 20 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho đồ thị hàm số y f x  như hình bên Khẳng

định nào sau đây là đúng?

A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x0, tiệm cận ngang y1.

B Hàm số có hai cực trị.

C Đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận.

D Hàm số đồng biến trong khoảng � ;0 và 0;  �.

Câu 21. Cho hàmsố ( )f x có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

là một tiệm cận ngang1

Câu 22. Cho hàm sốy f x( )có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

là một tiệm cận đứngVậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận là 2

Câu 23 (Sở Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho bằng

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tổng đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là 3

Câu 24. Cho hàm số y f x  liên tục trên �\ 1 

có bảng biến thiên như hình vẽ Tổng số đường tiệmcận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x 

Lời giải Chọn D

Câu 25 (Cụm liên trường Hải Phòng 2019) Cho hàm số y= f x( )

có bảng biến như sau:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là:

Lời giải Chọn A

Từ bảng biến thiên của hàm số ta có:

� = +� � =- � �

đồ thị hàm số nhận đường thẳng x= là tiệm cận đứng.3Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 3

Câu 26 (Thi thử cụm Vũng Tàu 2019) Cho hàm số y  f x  có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

Lời giải Chọn C

Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là 3 tiệm cận

DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM

Dạng 1 Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số thông hàm số cho trước

1 Đường tiệm cận ngang

Nếu degP x degQ x :TCN y0

Nếu degP x  degQ x : y k (k là tỉ số hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu)

TI M C N Đ TH C A HÀM S Ệ Ậ Ồ Ị Ủ Ố

Chuyên đề 6

Dạng 2: y f x( ) u v (hoặc u v): Nhân liên hợp

2( ) u v

Đkiện 2: - x không phải nghiêm 0 P x( )�x x 0 là TCĐ

-x là nghiêm 0 P x( )�x x 0 là TCĐ nếu xlim ( )x0 f x

Câu 1 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

2 2

1lim

A

2 3 21



x y x

Lời giải Chọn D

5 41

y x

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận

Câu 4 (Mã 123 2017) Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số:

 





2 2

16

y x

Lời giải Chọn C

416

x y x

Ta có x2 4 0� x�2

2 2

2 1lim

4 4

x

x x

���



�  �

� � nên đường thẳng y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy có đồ thị có hai đường tiệm cận

Câu 6 (Mã 101 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2

9 3

x y

Tập xác định của hàm số: D   4; � \ 0; 1 

Ta có: 0

1lim

x y

x y

Lời giải Chọn D

� = không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả 1 đường tiệm cận

Câu 9. Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2 2

Tập xác định D  25;� \ 1;0 Biến đổi f x( )x 1  1x 25 5.

Vì  1  1    

1lim lim

nên đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng x  1

Câu 11 (Mã 104 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2

16 4

x y

Câu 12 (Chuyên Sơn La 2019) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2

4 2

x y

x y

Nên đường thẳng x0 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng x 1.

Câu 13 (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Đồ thị hàm số   2 1

Vậy hàm số có hai tiệm cận ngang y �2.

Câu 15 (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Cho hàm số

Lời giải

Điều kiện: x� � ; 2�1;1� 2;�

3 21

nên đường thẳng x  2 là đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận (1 tiệm cận ngang, 3 tiệm cận đứng)

Câu 16 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Hàm số

2 3

TXĐ: D �\ 0 

2 3

2 2

x x

2 2

x x

Lời giải Chọn D

Ta có:

2 2

2 1lim

nên đường thẳng y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Câu 18 (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho hàm số

2 3

đề nào sau đây là đúng?

A Đồ thị  C của hàm số không có tiệm cận.

B Đồ thị  C của hàm số chỉ có một tiệm cận ngang y0.

C Đồ thị  C

của hàm số có một tiệm cận ngang y0 và hai tiệm cận đứng

11;

Lời giải Chọn A

Xét hàm số

22

2 3

x y

[ 2;2 \] { }1

2 2

x y

-Suy ra đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng, d= 2

Câu 22 (Chuyên Long An-2019) Đồ thị hàm số 2

Tập xác định của hàm số là D  1;0 �2;�

Ta có

2 2

Câu 23 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

1

4 3 1 3 5

x y

y 

là đườngtiệm cận ngang của đồ thị hàm số Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận

x y

Tập xác định D  � �;0 3;�

2

85

3

x y

3

x y

1 5

1 0

41

Dạng 2 Định m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận thỏa mãn điều kiện cho trước

1 Đường tiệm cận ngang

Nếu degP x degQ x :TCN y0

Nếu degP x  degQ x : y k (k là tỉ số hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu)

Dạng 2: y f x( ) u v (hoặc u v): Nhân liên hợp

2( ) u v

Đkiện 2: - x không phải nghiêm 0 P x( )�x x 0 là TCĐ

-x là nghiêm 0 P x( )�x x 0 là TCĐ nếu xlim ( )x0 f x

Câu 1. (Đề Minh Họa 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số

2

11

x y

Xét các trường hơp sau:

Với m : hàm số trở thành 0 y x 1 nên không có tiệm cận ngang.

Câu 2 (Chuyên KHTN - 2020) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m để đồ thị hàm số

x x m có hai đường tiệm cận đứng Số phần tử của S là

Lời giải Chọn B

Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình x26x2m0 có hai nghiệm

phân biệt x x lớn hơn 21, 2     

1 2 2

m

m m

x y

Kết hợp với điều kiện m nguyên dương ta có m�1;2;3; ;6;8; ;15

Vậy có 14 giá trị của m

Ta có xlim y 0, limx y 0

� �  � � 

� đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận ngang

Do đó đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận khi và chỉ khi nó có 3 tiệm cận đứng  *

Có x33mx22m21x m x m x   22mx1

m m

Do đó tập tất cả giá trị nguyên của m thỏa ycbt là 2020; 2019; ; 2;2; 4;5; ;2020   .

Vậy có 4037 giá trị m thỏa ycbt.

Câu 5. (Chuyên Sư Phạm Hà Nội - 2020) Có bao nhiêu số nguyên của m thuộc đoạn 100;100để đồ

thị hàm số   2

12

Ta có điều kiện xác định là  0;2

x m x

Suy ra x0, x là hai đường tiệm cận đứng2

Vậy để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì

02

m m

�

�

� �

� , theo bài m thuộc đoạn 100;100.

Vậy có 200 số nguyên của m thỏa mãn đầu bài.

Câu 6. (HSG Bắc Ninh 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số

Khi đó:

14

m m

252

m m

m m m

m m

Để đồ thị có ba đường tiệm cận thì x22mx 4 0 có hai nghiệm phân biệt �1

Câu 9 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Biết rằng đồ thị của hàm số

Theo công thức tìm nhanh tiệm cận của đồ thị hàm số

ax b y

Câu 10. (Sở Vĩnh Phúc 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số

mx x có đúng bốn đường tiệm cận?

Lời giải TH1: m0 suy ra tập xác định của hàm số là Dx x1; 2

, (x x là nghiệm của phương trình1; 2

28  2 0

mx x ) Do đó m0 không thỏa yêu cầu của bài toán.

TH2:

10

Khi đó ta có x 4 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Do đó m0 không thỏa yêu cầu của bài toán

TH3: m0 suy ra tập xác định của hàm số là D  �;x1 � x2;�

(x x là nghiệm của 1; 2phương trình mx28x 2 0) Do đó đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận khi phương trình

Suy ra có tất cả 6 giá trị nguyên của

tham số m thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Câu 11 (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Với giá trị nào của hàm số mđể đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang

�Hàm số xác định trên một trong các miền �; ,a �; , ,a a �







ax y

bx Tìm ,a b để đồ thị hàm số có x1 là tiệm cận đứng và

12



y

là tiệmcận ngang

A a 1;b2. B a4;b4. C a1;b2. D a 1;b 2.

Lời giải Chọn C

+ b �0 đồ thị hàm số

12







ax y

không có tiệm cận

+ b�0, tập xác định của hàm số

12







ax y

1

22







ax y

bx có tiệm cận ngang là đường thẳng

1

22

bx

�đồ thị hàm số

12







ax y

Câu 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên m�10;10

sao cho đồ thị hàm số 2

1

x y





   có haiđường tiệm cận đứng?

Lời giải Chọn C

Ta có đồ thị hàm số 2

1

x y

2.1 6.1 3 0

m m

m m

Từ đó ta suy ra tập các giá trị nguyên của m thỏa mãn là

      7, 6, 5, 4, 3, 2, 1,0,1, 2,3, 4,6,7,8,9,10 Vậy có 17 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

* Xét điều kiện tồn tại xlim y

với x ; 1 x là nghiệm của2

Vậy điều kiện để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là m0

* Xét trường hợp x 2 là nghiệm của tử số�x 2 là nghiệm của g x  mx23mx4

� đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng x 2 với  �m 0; 2

Vậy điều kiện để đồ thị hàm số

Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài là m1; m2.

Câu 15. (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Tổng các giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số

Đặt f x  x22m1xm22

Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng khi và chỉ khi f x  0 có 2 nghiệm phân biệt trong

đó có 1 nghiệm x hoặc 1 f x  0 có nghiệm kép



Câu 16. Cho hàm số 3 2 ( 2 )

3

x y

họn B

lim lim 0

�+� = �- � =

nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳngy=0

Do đó, đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận khi phương trình x3- 3mx2+(2m2+1)x m- =0

x - mx+ = có hai nghiệm phân biệt x� 3

2 2

33

m m

m m

m m

Vậy có 9 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.

Câu 17 (THPT Yên Dũng 2-Bắc Giang) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số

Vậy đáp án C.

Câu 18. (Cụm liên trường Hải Phòng 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn

[- 2017; 2017] để đồ thị hàm số 2

24

x y

Để đồ thị hàm số 2

24

x y

Do đó số giá trị nguyên của tham số m thỏa đề bài là:3 ( 2017) 1 1- - + - =2020 giá trị

Câu 19 (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho hàm số y=f x( ) thỏa mãn lim ( ) 2019

�- � =

,4

lim ( ) 2020

(với m là tham số thực) Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị của m để đồ thị của

hàm số y=f x( ) có duy nhất một tiệm cận ngang?

Lời giải Chọn B

Đồ thị hàm số y f x  có duy nhất một tiệm cận ngang

Vậy có 2 giá trị của m thỏa bài toán

Câu 20 (THPT Hai Bà Trưng - Huế - Lần 1- 2019) Cho hàm số 2  

m m

m m

m m

+ Trường hợp 2: m� và cả hai tam thức 0 f x 

m m

x làm nghiệm

luôn có 2 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số đã cho có nhiều hơn 1 đường tiệm cận

Vậy có 1 giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số  2   2 

6 3

x y

Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số: y= +x mx2+ có tiệm cận ngang.1

A 0< <m 1. B m=1 C m=- 1 D m>1

Lời giải Chọn B

Điều kiện cần và đủ để đồ thị hàm số: y= +x mx2+ có tiệm cận ngang là tồn tại số thực k sao1

cho:

2 2

2

2

1x(1 )(1 ) 1

Để giới hạn trên hữu hạn khi và chỉ khi m=1

Câu 23 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số 2

2

2 4

x y

Với m ; ta có hàm số 0

22

2 4

x y x

  y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận � đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng �

4

0

m m

� m không thỏa mãn điều kiện.0

Vậy chỉ có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 24. (HSG Sở Nam Định-2019) Gọi S là tập các giá trị nguyên của m sao cho đồ thị hàm số

2

2019

17 1

x y

17 1

m m



Lời giải Chọn B

�- �

-

-+ Nên đồ thị hàm số luôn có hai đường tiệm cận ngang y=1 vày=- 1

=-Trường hợp 1: m= khi đó hàm số là 0

12

x y x

-=+ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x=- 2Vậy m= thỏa mãn yêu cầu đề bài.0

Trường hợp 2: m> Hàm số 0 g x( ) có tập xác định là D= - �( ;0] [� +�m; )

.2

x=- � D g( 2)- = 2(m+ - �2) 1 0 nên x=- là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số2

Vậy m= , 1 m= ,.2 m = thỏa mãn Nên có 9 giá trị m 9

Vậy 12 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu.

Câu 27. Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn 2019;2019 của tham số m để đồ thị hàm số 2

3

x y