Tiệm cận của đồ thị hàm số và cách giải bài tập A LÝ THUYẾT 1 Đường tiệm cận đứng Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng ( )a;+¥ ; ( );b ¥ hoặc ( ); ¥+¥ ) Định nghĩa Đường[.]
Trang 1Tiệm cận của đồ thị hàm số và cách giải bài tập
A LÝ THUYẾT.
1 Đường tiệm cận đứng.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a;+¥ ; ) (-¥;b) hoặc (-¥+¥; ))
- Định nghĩa: Đường thẳng xx= 0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
0
xxlimf(x)
+
;xxlimf(x)0 +
;xxlimf(x)0
;xxlimf(x)0
.
2 Đường tiệm cận ngang
- Định nghĩa: Đường thẳng yy= 0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số yf(x)= nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
0
xlimf(x)y
xlimf(x)y
Chú ý:
- Đồ thị hàm số y,adbc0,c0axb ( )
cxd
+
=-¹¹ + luôn có tiệm cận ngang và tiệm cận
đứng lần lượt là
a y c
=
;
d x c
=-
- Nếu
P(x) yf(x)
Q(x)
==
là hàm số phân thức hữu tỉ
+ Nếu Q(x) = 0 có nghiệm là x0, và x0 không là nghiệm của P(x) = 0 thì đồ thị có tiệm cận đứng là xx= 0
+ Nếu bậc (P(x)) bậc (Q(x)) thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
B CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
Dạng 1 Xác định tiệm cận của hàm số.
1 Phương pháp giải.
Dựa vào định nghĩa để giải bài toán
2 Ví dụ minh hoạ.
Trang 2Ví dụ 1. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
x1 y x2
+
=
- là đường thẳng có phương trình:
A x1=- B x2=- C x2 = D x1=
Lời giải
Ta có: x2x2
x1 limylim
x2
++
®®
+
==+¥
- (hoặc x2x2
x1 limylim
x2
®®
Vậy x2= là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Chọn C.
Ví dụ 2. Cho hàm số xác định và liên tục trên có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận
B Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận
C Đồ thị hàm số có hai TCN và một TCĐ
D Đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận
Lời giải
Từ bảng biến thiên, ta có:
( ) ( )
( ) ( )
x1
x1
limfx
x1 limfx
+
-
®-=+¥
ì
ï
¾¾®=-í
=-¥
ï
( )
xlimfx5y5
là TCN và ( )
xlimfx2y2
là TCN
Chọn C.
Ví dụ 3. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
x
f’(x)
f(x)
¥
2
Trang 3A. Đồ thị hàm số yfx= ( )có tiệm cận ngang y1= khi và chỉ khi ( )
xlimfx1
và
( )
xlimfx1
B Nếu hàm số yfx= ( ) không xác định tại x0 thì đồ thị hàm số yfx= ( ) có tiệm cận đứng xx= 0
C. Đồ thị hàm số yfx= ( ) có tiệm cận đứng x2= khi và chỉ khi ( )
x2limfx
+
và
( )
x2limfx
D. Đồ thị hàm số yfx= ( ) bất kì có nhiều nhất hai đường tiệm cận ngang
Lời giải
A sai vì chỉ cần một trong hai giới hạn ( )
xlimfx1
hoặc ( )
xlimfx1
tồn tại thì đã suy ra được tiệm cận ngang là y1=
B sai, ví dụ hàm số yx1=- 3 không xác định tại x2=- nhưng ( ) ( )
x2
limfx
x2
limfx
+
®- không tiến đến vô cùng nên x2=- không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
C sai vì chỉ cần tồn tại một trong bốn giới hạn sau:
x2x2x2x2limfx,limfx,limfx,limfx
++
D đúng vì chỉ có hai giới hạn ( ) ( )
xxlimfx,limfx
Chọn D.
3 Bài tập vận dụng.
Câu 1 Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2x2 y
x1
-= + là
A x2=- B x1= C x1=- D x2=
Câu 2 Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
4x1 y
x1
+
=
- là
Trang 4A
1
y
4
=
Câu 3 Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
5x1 y
x1
+
=
- là:
1 y
5
=
C y1.=- D y5.= Câu 4 Cho hàm số yfx= ( ) có ( )
xlimfx1
và ( )
xlimfx1
=- Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang
B Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y1= và y1=-
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x1= và x1=-
Câu 5. Cho hàm số yfx= ( ) có ( )
xlimfx0
và ( )
xlimfx
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang
B Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.
C Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là trục hoành
D. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng y0.=
Câu 6. Cho hàm số yfx= ( ) có ( )
xlimfx0
và ( )
x0limfx+
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng
B Trục hoành và trục tung là hai tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.
C Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là đường thẳng y0=
D Hàm số đã cho có tập xác định là D0,=+¥( )
Câu 7. Cho hàm số yfx= ( ) xác định và liên tục trên ¡ \1 -{ }, có bảng biến thiên như sau:
Trang 5Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng y1=- và tiệm cận ngang x2.
=-B Đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận.
C. Đồ thị hàm số có ba tiệm cận
D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x1=- và tiệm cận ngang y2.
=-Câu 8. Cho hàm số fx( ) xác định và liên tục trên ¡ \1,-{ } có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận
B Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.
C Đồ thị hàm số có hai TCN y2,= y5= và một TCĐ
x1.=-D Đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận
Câu 9. Cho hàm số yfx= ( ) xác định trên ¡ \0{ }, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:
1
x
y
y'
2
-¥ -¥
+¥
-¥
-x y' y
+¥
-¥
2
-2
-x
f’(x)
f(x)
¥
2
Trang 6Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng
B Hàm số đạt cực tiểu tại x0.=
C. Giá trị lớn nhất của hàm số là 1
D. Hàm số không có cực trị
Câu 10. Cho hàm số yfx= ( ) có bảng biến thiên như sau:
0 0
3 3
¥
y'
y x
+¥
Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x3.=-
B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x3.=
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y0.=
D. Đồ thị hàm số có tất cả hai đường tiệm cận
Câu 11 Cho hàm số yfx= ( ) có bảng biến thiên như sau:
-¥
2
+¥
+
-1 2
¥
y'
y
+¥
Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
Trang 7Câu 12. Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2 2
x3x4 y
x16
=
Câu 13. Đồ thị hàm số nào trong các hàm số dưới đây có tiệm cận đứng?
A.
1
y
x
=
1 y
x1
=
1 y
x1
=
1 y
xx1
= ++
Câu 14. Đồ thị hàm số
2
x1
khi x1 x
y
2x
khi x1 x1
ì ï í ï ï
=
<
-î
+
³
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
Câu 15. Đồ thị hàm số nào sau đây có đúng hai tiệm cận ngang?
A.
2
xx
y
x2
-=
+ B.
x2 y x1
-=
2
4x y
x1
-=
x2 y
x2
+
=
Câu 16. Đồ thị hàm số 2
x1 y
4x2x1
+
=
++ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
Câu 17. Đồ thị hàm số 2
x7 y
x3x4
-= +- có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
Câu 18. Gọi n, d lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số đường tiệm cận đứng
của đồ thị hàm số ( )
1x y
x1x
-=
- Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. nd1.== B n0; d1.== C. n1;d2.== D n0;d2.==
Câu 19. Đồ thị hàm số
2 2
16x y
x16
-=
- có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
Trang 8Câu 20. Cho hàm số 2
x1 y
2x11
-=
Gọi d, n lần lượt là số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A nd1.+= B nd2.+= C nd3.+= D nd4.+=
Câu 21 Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2 2
x3x4 y
x16
=
-
Câu 22 Cho đường cong ( )C:y x2
x2
-= + Điểm nào dưới đây là giao của hai tiệm cận của (C)?
A L2;2(- ) B M2;1 ( ) C N2;2( ) D K2;1(- )
Câu 23 Đồ thị của hàm số nào dưới đây không có tiệm cận đứng ?
A
1
y
x3
=
1 y
2xx1
=
++
1
y
x1
=
1 y
xx1
=
Câu 24 Đồ thị của hàm số 2
x2 y x4
-=
- có bao nhiêu tiệm cận ?
Câu 25 Tổng số các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hai đồ thị hàm số
2 2
2x1xx3
y
x5x6
++
=
2 2
x3x4 y
x1
=
Câu 26 Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
4x3 y
x2
+
=
- tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng
Trang 9Câu 27.Cho hàm số 2
x52x y
x3x2
++-=
-+ Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng y1=
B Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng y0=
C Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng y1=-
D Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là hai đường thẳng y1=- và y1=
Câu 28.Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số
x1 y x1
-= + sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang bằng khoảng cách từ M đến trục tung
A
1
M2;
3
æö
ç÷
èø B M2;1,M4;3( ) ( )
C M1;0,M2;3 -( ) ( ) D M0;1,M2;3 -( ) ( )
Câu 29 Cho hàm số
2x3 y
x2
-=
- ( )C Gọi M là điểm bất kỳ trên ( )C , d là tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của đồ thị ( )C Giá trị nhỏ nhất của d là
Câu 30 Cho hàm số
13x y
3x
-=
- có đồ thị ( )C Điểm M nằm trên ( )C sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của ( )C Khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm cận của ( )C bằng
Đáp án
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Trang 10B C D C C C D B D D C C C D D
Dạng 2 Tìm m để hàm số có tiệm cận thoả mãn điều kiện cho trước.
1 Phương pháp giải.
Bước 1 Tìm điều kiện của tham số để hàm số xác định
Bước 2 Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Bước 3 Giải điều kiện của bài toán để tìm tham số
Bước 4 Kết luận
cxd
+
=-¹¹
Gọi Mx;y( 00 ) là điểm thuộc đồ thị hàm số
axb y
cxd
+
= + , suy ra
0 00
0
axb Mx;y
cxd
= ç÷
+ èø
Đồ thị hàm số
axb y
cxd
+
= + có TCĐ 1
d :x0 c
D+=
; TCN 2
a :y0 c
D-=
Ta có
0 110
220
0
dcxd ddM,x
cc aadbc ddM,y
cccxd
ì+
=D=+=
ï
ï
í
-ï =D=-=
12
dkd=
0
0 0
cxdadbcd
kxkp cccxdc
+-=¾¾®=-±
+
12
d.d
adbc d.dpconst
c
-===
12
ddmin+¾¾®
adbc dd22p
c
-+³=
Dấu ''''= xảy ra khi ( )
0
0
cxdadbc cccxd
+-=
+
( )2 00
d cxdadbcxp
c
¬¾®+=-¬¾®=-±
Trang 11Điểm Mx;y( 00 ) có
hoành độ thỏa
0
d
xp
c
=-±
- Có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận ngắn nhất 2p
- Khoảng cách đến tâm đối xứng nhỏ nhất 2p
2 Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số
2
x1
y
mx1
+
=
+ có hai tiệm cận ngang
A Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài
B m0<
C m0=
D m0>
Lời giải
Khi m0,> ta có:
-
2
xx
2
1 1
limlimy
1mm
x
®+¥®+¥
+ +
==¾¾®=
là TCN ;
-
xx
22
11
limylimy
11mm xmm
xx
®-¥®-¥
æö+
ç÷
èø
===-¾¾®=-++
là TCN
Với m0= suy
x1 y 1
+
=¾¾®
đồ thị hàm số không có tiệm cận
Với m0< thì hàm số có TXĐ là một đoạn nên đồ thị hàm số không có TCN Vậy với m0> thì đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang
Chọn D.
Trang 12Ví dụ 2 Tìm trên đồ thị hàm số
2x1 y
x1
+
=
- những điểm M sao cho khoảng cách từ
M đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của đồ thị
A
7 M4;
5
æö
-ç÷
èø hoặc M2;5( ) B M4;3( ) hoặc M2;1(- )
C M4;3( ) hoặc M2;5( ) D
7 M4;
5
æö -ç÷
èø hoặc M2;1(- )
Lời giải
Gọi
2a1
Ma;
a1
+ æö
ç÷
-èø với a1¹ là điểm thuộc đồ thị
Đường tiệm cận đứng d:x1;= đường tiệm cận ngang d:y2¢ =
Yêu cầu bài toán dM,d3dM,da132[ ] [ ] 2a1
a1
+
¢
Û=Û=
a19
é
= é
Chọn B.
0
0 0
cxdadbcd
kxkp cccxdc
+-=¾¾®=-±
+
adbc c1,d1,k3,p3
c
-==-===
Suy ra x13=±0
3 Bài tập tự luyện.
Câu 1 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số
(m2x3)
y
4x
+-=
- đi qua điểm A1;2(- )
Câu 2 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị
hàm số
4x5
y
xm
-=
- đi qua điểm A3;1(- )
Trang 13A m3=- B m4=- C m5= D m4=
Câu 3 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2021;2021] để đồ
thị hàm số 2
x1 y
xmx4
+
= -+ có 3 đường tiệm cận?
Câu 4 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số
32
x2
y
x3xm
+
=
-+ có nhiều đường tiệm cận nhất
m0 m4
>
é
ê
C 0m4<< D -<<4m0
Câu 5 Số các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
xm y
mx2
+
=
- có đúng 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang, đồng thời hai tiệm cận này tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng 18 là
Câu 6 Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
2
1x1
y
xmx3m
++
=
có đúng hai tiệm cận đứng
A
1
0;
2
æù
11
; 42
éù êú
1 0;
2
æö ç÷
èø
Câu7 Có bao nhiêu giá trị thực của m để đồ thị hàm số fx( ) mxxx622
x1
-++
=
-có tiệm cận ngang là đường thẳng y3=
Câu 8 Đồ thị của hàm số
2 2
axx3 y
4xbx1
+-=
++ có một đường tiệm cận ngang là yc= và
chỉ có một đường tiệm cận đứng Tính
a
bc biết rằng a là số thực dương và ab4= ?
Trang 14A
a1
a 1
a 4
a 2
bc=
Câu 9 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a2021;2021Î-[ ] để đồ thị hàm số
2
2
xx1
y
ax2
-+
=
+ có tiệm cận ngang?
Câu 10.Cho hàm số
2x2 y
x2
-=
- có đồ thị là ( )C , M là điểm thuộc ( )C sao cho tiếp tuyến của ( )C tại M cắt hai đường tiệm cận của ( )C tại hai điểm A, B thỏa mãn AB25= Gọi S là tổng các hoành độ của tất cả các điểm M thỏa mãn bài toán Tìm giá trị của S
Câu 11. Nếu đồ thị
2
mx3mx2 y
x1
+ =
- có đường tiệm cận xiên tiếp xúc với đường tròn có phương trình ( ) (22 )
x1y42-+-= thì tập tất cả các giá trị của m là:
A 1- B 2 C 1 D 3.
Câu 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
2
2mx5 y
x3
-=
+ nhận đường thẳng y8= làm tiệm cận ngang
A m2.= B m2.=- C m2.=± D m0.=
Câu 13. Biết rằng đồ thị hàm số
(m2n3x5 )
y
xmn
+
=
nhận hai trục tọa độ làm hai đường tiệm cận Tính tổng Smn2.=+-22
A S2.= B S0.= C S1.=- D S1.
=-Câu 14 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
2
2x3xm y
xm
-+
=
-không có tiệm cận đứng
Trang 15C m0, m1== D m1=
Câu 15 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để đồ thị hàm số
2 2
x1 y
3x2axa
+
=
-+
có đúng một tiệm cận đứng
A
3
a
2
=±
B a0, a3.== C a1, a2.== D.a2.=±
Câu 16. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 2
x2 y
x4xm
+
= -+
có đúng một tiệm cận ngang và đúng một tiệm cận đứng
A m4.< B m4 > C m4, m12.==- D m4.¹
Câu 17 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [-2017;2017]
để hàm số 2
x2 y
x4xm
+
=
-+ có hai tiệm cận đứng
A 2018 B 2019 C 2020 D 2021
Câu 18 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
2
x3
y
xmx4
-=
++ có đúng một tiệm cận ngang
A. m0, m1.== B m0.³ C. m1.= D. m0.=
Câu 19. Cho hàm số 22
x1 y
x2(m1)xm
-=
+-+ với m là tham số thực và
1 m 2
> Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?
Câu 20 Cho hàm số
xm y
x1
-= + ( )C với m là tham số thực Gọi M là điểm thuộc
( )C sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của ( )C nhỏ nhất Tìm tất cả các giá trị của m để giá trị nhỏ nhất đó bằng 2
A m0.= B m2.= C m2, m0.=-= D m1.=
Đáp án
Trang 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1
9
2 0