Tìm tọa độ tâm 7 của hình vuông... Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho hinh vuéng ABCD.. Tìm tọa độ điểm 4.. Kẻ đường thăng qua H va song song voi AB, cat AD va BC 1an lượt tại P và Q
Trang 1C— LCÁCBÀITOÁN TRONG HÌNH VUÔNG
Trong mặt phăng với hệ trục @xy, cho hình vuông ABCD co BD:x+2y=Q0, đỉnh 4 thuộc đường thăng đ:x— y— 2=0, dường thăng CD
Bài 1
đi qua điểm Ä⁄(6;—8) Tìm tọa độ tâm 7 của hình vuông
Lời giải
Vi Je BD=> 1(-2m;m)
Duong thang AC di qua / va vuông góc với 8D nên 4C :2x - y+ 5m = 0
Khi đó tọa độ điểm 4 là nghiệm của hệ phương trình
2x— y+S5m =0 x=-S5m-2
{: -y-2=0 =>
Vậy 4(—5zm~ 2;—5m — 4) Vì C đối xứng với 4 qua Ï nên C{m+2;7m + 4)
Vi ABCD là hình vuông nên
y=-5m-4
[Sm + 20| ]
VSAl50m2 +160m+160 2
m =0
lcos(MC, Meo) =cos45° ©
S nề +2m =0 |
m=-2
Từ đó suy ra có hai điểm 7(0;0), 7(4;~2)
Bài 2
Trong mặt phăng với hệ trục Oxy, cho hinh vung ABCD cé
A(2:-4) đỉnh C thuộc đường thăng đ:3x+ y+2 =0
Duong thang DM :x— y—2=0, với Ä/ là trung điểm của AB
Xác định tọa độ các đỉnh 8, C, Ð biết răng đỉnh C' có hoành độ âm
Lời giải
Vì đỉnh Œ thuộc đường thăng đ:3x+ y+2=0 nên C{(c;~3—2)
Vì M là trung điểm của 4ð nên
( )= 5a )® J2 22 of,
Vì Œ có hoành độ âm nên e = -2 => C(~2;4)
Vì đỉnh D thuộc đường thăng DM :x- y-2=0 nên D(đ;đ-2)
Ta có
2BCB=0œ(4~3)(4+)+(4+3)(4-6)=0<s|4 4 | PH?)
d=-—2 D(-2;-4)
Vì 4BCD là hình vuông nên điểm D phải thỏa mãn 24= DC nên ta nhận
trường hợp Ð(4;2)
Tir AD = BC tasuy ra B(-4;-2)
Vay B(-4;-2), C(-2;4), D(4;2)
Bai 3
Trang 2
Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho hinh vuéng ABCD Goi M 1a trung diém
của cạnh BC, N là điểm trên canh CD sao cho CN =2ND Gia sit MỆ: 2) và đường thắng 4N có
phương trình 2x— y—3=0 Tìm tọa độ điểm 4
Lời giải
Goi H là giao điệm của 4N và BD Kẻ đường thăng qua H
va song song voi AB, cat AD va BC 1an lượt tại P và QO
A B Dat HP = x Suy ra PD = x, AP = 3x va HO = 3x
Ta co OC =x, nén MO = x Do do AAHP = AHMQ, suy ra
AH 1 HM
Hơn nữa, ta cũng có 4H! = HÀ
Hư Do d6 AM = J2MH =V2d(M,(AN)) = — 3/10
P
AeAN, suy ra A(; 2 — 3)
D N C wa=24)9 25 (6) 4(-2) =5 2 2
© /2—5t+4=0 © ¡=l hoặc £ =4
Vậy: 4(l1;—l) hoặc 4(4;Š)
Bài 4
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết
M(2;1); N(4;-2); P(2;0); Q(1;2) lần lượt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD Hay
lập phương trình các cạnh của hình vuông
Lồi giải
Giả sử đường thắng AB qua M và có véc tơ pháp tuyến là n(a;b)
la? +b? # 0) suy ra véc tơ pháp tuyến của BC là: fi, (—b;a)
Phương trình AB có dạng: ax + by - 2a - b =0
BC có dạng: - bx + ay + 4b + 2a = 0
Do ABCD là hình vuông nên d(P; AB) = d(Q; BC)
®e b=-2a suy ra phương trình các cạnh cần tìm là:
BC: 2x+y-6=0; AD: 2x+y-4=0
¢ b=-a.Khi do
AB: -x+y+l=0 ;BC: -x-y+2=0
AD:-x-y+3=0 ;CD:-x+y+2=0
Bài 5
Trang 3
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;-1) va B(4;3)
Tìm toạ độ các điểm C va D sao cho ABCD là hình vuông
Lời giải
x=4-4t Phuong trinh BC 1 GỌI C(4 -4t;3+ 3t)
y=3+3t
Ta có BC = ABỂ =25 © 16t” + 9t? =25 © t= +1
Do đó có hai điểm C(0; 6) va C(8;0) thoa man yéu cau bai toan
Suy ra trung điềm của AC tương ứng là
Ij —;— (3;š]> P( 32) va i[3;-2) + (65-4 D(-—3;2) va I} —;-— |= D[(5;-4)
Vay taco C(0;6) và D(-3;2) hoặc C{(8;0) và D(5;-4)
Bài 6
Viết phương trình cạnh AB phương trình đường thắng AB có hệ số góc
dương), AD của hình vuông ABCD biết A(2;-1) và đường chéo BD có phương trình: x+2y-5=0
Lời giải
Do ABCD la hinh vuông nên phương trình AC:2x~- y—5=0
Goi I 1a tam của hình vuông, suy ra I= BDA AC=> 1(3;1)
=> C(4;3) => AC? = 20 Goi B(5-2yy;y9)
Do 2ABẺ = AC? ©(3~2yạ)” +(yạ + 1)” =10 © yạ =0,yạ =2
® Với yạ =0 B(5;0)=> D(1;2)
¢ V6i yo =2=> B(1;2)=> D(5;0)
Vì đường thẳng AB có hệ số góc dương nên phương trình
AB:x-3y~5=0 và AD:3x+y—-5=0
Bài 7
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ba điêm I(1;1),E(-2;2),
F(2;-2) Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết I là tâm của hình
vuông, AB đi qua E và CD đi qua E
Lời giải
Trang 4
Duong thang AB cé phuong trinh dang: a(x +2) + b(y-2)=0
<> ax + by +2a-2b=0 véi a* +b? >0
Đường thang CD có phương trình dạng:
a(x-2)+b(y+2)=0 ©ax+ by -2a +2b =0
-JBa-bL lR-3ÐL gy
Va* +b? a? +b?
Suy ra phương trình AB: x~ y+4=0, CD:x- y-4=0
Vi d(I, AB) =d(I,CD) =
Phuong trình BC và DA có dạng x + y+c =0
4(1,BC) =d(1,AB)=2/5 => S2 =2/2 >c=2,c=-6
e BC:x+y+2=0, DA:x+y-6=0
Suy ra A(1;5), B(-3;1), C(1;-3), D(5;1)
® BC:x+y-6=0,DA:x+y+2=0
Suy ra A(-3;1), B(1;5), C(5;1), D(1;-3)
Bài §
Trong mặt phăng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, có cạnh AB đi
qua điểm M(-3;-2), và xạ >0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD
khi đường tròn (C):(x=2)Ÿ +(y -3)Ÿ = 10 nội tiếp ABCD
Lời giải
Đường tròn (C) có tâm I(2;3), bán kính R = v10
Gọi đường thăng AB đi qua M, có phương trình: a(x+3)+ b(y +2)=0, a?” +bễ >0 Đường tròn nội tiếp ABCD nên AB tiếp xúc với đường tròn (C)
° |5a + 5b|
Va? +b?
<> (a+3b)(3a+b)=0<> a=-3b hoac b=-3a
TH1: a=-3b chon a=3, b=-1=> AB:3x-y+7=0,vi Ac AB
nén A(a;7 +3a) và a>0
hoặc a = -2 (không thỏa a > 0)
TH2: b=-3a chon a=1, b=-3=> AB:x-3y-3=0,vi Ac AB
nén A(3+3a;a) và a>0
hoặc a =-1 (không thỏa a >0)
Khi đó A (6;1) , I là trung điểm của AC > C(-2; 5)
Trang 5Bai 9
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có phương trình đường thăng AB: 2x + y - 1 = 0, và C, D lần lượt thuộc 2 đường thẳng
đdị:3x—y~=4=0, d;:x+yT—6 =0 Tính diện tích hình vuông
Lời giải
C, D lần lượt thuộc 2 đường thẳng d; :3x- y—4=0, d,:x+y-6=0
= C(a;3a-4), D(b;6-b) => CD =(b-a;10- b-3a)
Gọi n =(2;1) là một vectơ pháp tuyến của AB
CDLn d(C; AB) =CD 2(b-a)+1.(10-b-3a)=0
c© EÐ:6-5-Í_ fp-aÿ +(10~b~3a)Ÿ ¢>
Vì ABCD là hình vuông nên |
Ẳ dnia
a -T1| = |4a —10
+ Giải hệ tìm a,b Từ đó tiếp tục tính diện tích hình vuông