Bài toán biên Dirichlet cho phương trình Elliptic tuyến tính cấp 2 trong không gian Holder

TRẦN THỊ THÚY MAIBÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI TRONG KHÔNG GIAN HOLDER LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012... 11 2 Bài toán biên Diric

TRẦN THỊ THÚY MAI

BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI TRONG KHÔNG GIAN HOLDER

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2012

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN

Thái Nguyên - Năm 2012

Mục lục

1.1 Công thức tích phân từng phần 3

1.2 Công thức Green thứ nhất 3

1.3 Công thức Green thứ hai 4

1.4 Công thức Green biểu diễn hàm số 4

1.5 Lớp hàm Holder 6

1.6 Đánh giá Schauder đối với thế vị Newton 7

1.7 Phương pháp liên tục 10

1.8 Phương pháp làm trơn hàm số 11

2 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 14 2.1 Đánh giá Schauder đối với nghiệm của bài toán biên Dirich-let cho phương trình Poisson 14

2.2 Đánh giá Schauder đối với nghiệm bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 19

2.3 Tính giải được của bài toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson 26

2.4 Tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình el-liptic cấp hai dạng tổng quát 27

Mở đầu

1 Lý do chọn Luận văn

Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai có một đặc điểm quan trọng là:khi vế phải và các hệ số của phương trình là các hàm liên tục thì nghiệm

cổ điển lớp C2 của nó nói chung là không tồn tại Nhà toán học Schauder

đã có một phát hiện quan trọng là khi vế phải và các hệ số của phươngtrình thuộc lớp Holder Cα thì nghiệm luôn tồn tại trong lớp C2,α Do đócần phải trình bày một cách hệ thống lý thuyết Schauder về tính giải đượccủa phương trình elliptic cấp hai trong không gian Holder

2 Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp chính được sử dụng trong Luận văn là các đánh giátiên nghiệm đối với thế vị Newton và sử dụng phương pháp liên tục đểchuyển các kết quả cho phương trình Poisson sang loại phương trình tổngquát

3 Mục đích của Luận văn

Trình bày tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình ellipticcấp hai dạng tổng quát

4 Nội dung của Luận văn

Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận

và Tài liệu tham khảo

Chương 1 Giới thiệu các kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu kếtquả chính của Luận văn Trước hết trình bày công thức tích phân từngphần, sau đó trình bày các công thức Green thứ nhất, công thức Greenthứ hai và công thức tích phân từng phần Tiếp theo giới thiệu về lớp hàmHolder, đánh giá của Schauder đối với thế vị Newton và hai phương phápquan trọng là phương pháp liên tục và phương pháp làm trơn hàm số.Chương 2 Giới thiệu các đánh giá của Schauder đối với nghiệm của

bài toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson và đối với nghiệm của bàitoán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Tiếp theotrình bày về tính giải được của bài toán biên Dirichlet cho phương trìnhPoisson và tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình ellipticcấp hai dạng tổng quát.

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và nhiệt tình chỉ bảocủa PGS.TSKH Hà Tiến Ngoạn, Viện Toán học Em xin được bày tỏ lòngbiêt ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đếnBan Giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán-trường Đại học sư phạm, Đạihọc Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tậptại trường

Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viêntrong lớp cao học toán K18B đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôitrong suốt thời gian học tập và quá trình làm Luận văn

Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạnnên Luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sự đónggóp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc

Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012

Tác giảTrần Thị Thúy Mai

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Công thức tích phân từng phần

Giả sử Ω ⊂ Rd là miền bị chặn trong Rd với biên ∂Ω Với x ∈ ∂Ω ta

ký hiệu νx = (ν1, ν2, , νd) là véctơ pháp tuyến ngoài đơn vị tại x, dσ(x)

Khi đó ta có công thức Green thứ nhấtZ

1.3 Công thức Green thứ hai

Bổ đề 1.3.1 Giả sử u(x), v(x) ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω), ta có công thức Greenthứ hai:

Trừ các vế của hai phương trình trên ta có (1.3)

1.4 Công thức Green biểu diễn hàm số

trong đó

Γ(x, y) = Γ(|x − y|) =

( 1 2π log |x − y| với d = 2

1 d(2−d)ωd|x − y|2−d với d > 2 (1.5)

và ωd là thể tích của hình cầu đơn vị trong Rd

Chứng minh Với  > 0 đủ nhỏ, tồn tại hình cầu tâm y bán kính 

B(y, ) ⊂ Ω

(vì Ω mở ) Áp dụng (1.3) cho v(x) = Γ(x, y) và Ω \ B(y, ) Do Γ là hàmđiều hòa theo biến x trong Ω \ {y}, ta thu được:

do vậy là pháp tuyến trong của B(y, )

Ta lấy giới hạn từng tích phân trong công thức khi → 0 Dou ∈ C2(Ω),

∆u bị chặn Do Γ là khả tích nên vế trái của (1.6) trở thành:

(do ν là pháp tuyến trong của B(y, )).

Do vậy, ta có (1.4)

1.5 Lớp hàm Holder

Định nghĩa 1.5.1 Cho f : Ω → R, x0 ∈ Ω, 0 < α < 1 Hàm f được gọi

là liên tục Holder tại x0 với số mũ α nếu

sup

x∈Ω

|f (x) − f (x0)|

|x − x0|α < ∞ (1.7)Hơn nữa f được gọi là liên tục Holder trong Ω nếu nó liên tục tại mọi

x0 ∈ Ω (với số mũ α) Khi đó ta viết f ∈ Cα(Ω)

Nếu f liên tục Holder tại x0 thì f liên tục tại x0

Trong (1.7) nếu α = 1 thì f được gọi là liên tục Lipschitz tại x0

Ví dụ 1.5.2 Hàm f trên B1(0) được cho bởi f (x) = |x|β, 0 < β < 1,liên tục Holder với số mũ β tại x = 0 và liên tục Lipschitz khi β = 1.Định nghĩa 1.5.3 Ck,α(Ω) là không gian các hàm f ∈ Ck(Ω) mà đạohàm cấp k liên tục Holder với số mũ α

Khi đó

kf kCk,α (Ω) = kf kCk (Ω) + X

|α|=k

|Dαf |Cα (Ω) (1.10)

Ta thường viết Cα thay cho C0,α

Không gian Ck,α(Ω) với chuẩn (1.10) là không gian Banach

Bổ đề 1.5.4 Nếu f1, f2 ∈ Cα(G) trên G ⊂ Rd Khi đó f1f2 ∈ Cα(G) và:

Suy ra điều phải chứng minh.

1.6 Đánh giá Schauder đối với thế vị Newton

Định nghĩa 1.6.1 Cho Ω ∈ Rd là mở và bị chặn Thế vị Newton của f

là hàm số u trên Rn được định nghĩa bởi:

Các hằng số trong (1.12) và (1.13) phụ thuộc vào α, d và |Ω|

Chứng minh a Đạo hàm cấp một vi = ∂x∂ui của u được cho bởi:

dy (1.14)

Theo định lý giá trị trung bình ta có: Trong đoạn [x1; x2] tồn tại x3 saocho:

Trong công thức trên đã bỏ qua thừa số mà chỉ phụ thuộc vàod Tuy nhiên

ta vẫn cần chỉ ra rằng tích phân này là hữu hạn nếu giả thiết f ∈ C0α(Ω)

1.7 Phương pháp liên tục

Định lý 1.7.1 Giả sử L0, L1 : B1 → B2 là các toán tử tuyến tính giữacác không gian Banach B1, B2 Ta đặt:

Lt = (1 − t)L0 + tL1 với 0 ≤ t ≤ 1 (1.27)Giả sử tồn tại hằng số c không phu thuộc vào t mà:

kukB1 ≤ ckLtukB2 với mọi u ∈ B1 (1.28)Khi đó, nếu L0 là toàn ánh thì L1 cũng là toàn ánh

Chứng minh Giả sử Lτ là toàn ánh với một giá trị nào đó τ ∈ [0; 1].Theo (1.28), khi đó Lτ là đơn ánh Vì vậy Lτ là song ánh Do đó có toán

tử nghịch đảo:

L−1τ : B2 → B1

Với t ∈ [0; 1], ta viết lại phương trình:

Lτu = f với f ∈ B2 (1.29)

thành phương trình sau:

Lτu = f + (Lτ − Lt)u = f + (t − τ )(L0u − L1u),

hoặc

u = L−1τ f + (t − τ )L−1τ (L0 − L1)u = Λu

Vì vậy, để giải (1.29), ta cần tìm một điểm bất động của toán tử Λ : B1 →

B2 Theo định lý điểm bất động của Banach thì tồn tại một điểm bất độngnếu ta tìm được q < 1 mà:

Và thu được điểm cố định cần tìm Có nghĩa là nếu Lτu = f giải được thì

Ltu = f cũng giải được với mọi t thỏa mãn |t − τ | ≤ η Từ đó L0 là toànánh theo giả thiết, khi đó Lt là toàn ánh với 0 ≤ t ≤ η Lặp lại chứngminh trên với τ = η, ta thu được toàn ánh với η ≤ t ≤ 2η Lặp lại tất cả

Lt với t ∈ [0; 1] và đặc biệt L1 là toàn ánh

trong đó u(y) được hiểu là bằng không bên ngoài Ω Khi đó hàm uh(x) ∈

Hơn nữa, uh hội tụ tới u tại hầu khắp nơi

Chứng minh Ta sử dụng bất đẳng thức Holder, trong (1.30) ta có

%(z)u(x − hz) = %(z)1q%(z)1pu(x − hz),

với 1q + 1p = 1, ta thu được:

Vì vậy uh hội tụ tới u với chuẩn tương ứng k.kp Do đó dãy con của uh hội

tụ tới u tại hầu khắp nơi Khi đó dãy uh hội tụ tới u khi h → 0

Chương 2

Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

2.1 Đánh giá Schauder đối với nghiệm của bài toán biên

Dirich-let cho phương trình Poisson

Xét phương trình Poisson sau trong miền Ω ⊂ Rd

H01(Ω) = {v(x) ∈ H1(Ω); v(x) = 0, x ∈ ∂Ω}

Định lý 2.1.1 Giả sử Ω ⊂ Rd là mở và bị chặn, và Ω0 ⊂⊂ Ω Cho u làmột nghiệm yếu của ∆u = f trong Ω.

Bây giờ ta chỉ ra rằng với α ∈ (0; 1), với bất kỳ ε > 0 tồn tại N (ε) < ∞

Bằng cách tương tự ta cũng chứng minh được

kukC2 (Ω) ≤ εkukC2,α (Ω) + N (ε)kukL2 (Ω) (2.17)

kukC2,α (B(0,r)) ≤ c26k∆ukC0 (B(0,R)) + kukL2 (B(0,R))



(2.21)với 0 < r < R Từ ∆u = f, ta có (2.3) và (2.4) được chứng minh với

u ∈ C2,α(Ω)

Với u ∈ H1(Ω) ta xét uh như trong chương 1

Giả sử 0 < h < dist(Ω0, ∂Ω) Khi đó:

kuh1 − uh2kC2,α (Ω0) ≤ c28kfh1 − fh2kCα (Ω) + kuh1 − uh2kL2 (Ω)



(2.23)Hàm giới hạnu được chứa trongC1,α(Ω0)hoặc C2,α(Ω0)và thỏa mãn (2.3)

và (2.4)

Định lý 2.1.2 Giả sử u là một nghiệm yếu của ∆u = f trong Ω (Ω

là miền bị chặn trong Rd), f ∈ Lp(Ω) với p > d, Ω0 ⊂⊂ Ω Khi đó

u ∈ C1,α(Ω) với α phụ thuộc vào p và d, và

kukC1,α (Ω 0 ) ≤ const kf kLp (Ω) + kukL2 (Ω)

Hệ quả 2.1.3 Giả sử u ∈ H1(Ω) là nghiệm yếu của ∆u = f với f ∈

2.2 Đánh giá Schauder đối với nghiệm bài toán biên Dirichlet

cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

Hơn nữa aij(x) = aji(x) với mọi i, j, x

(B) Hệ số liên tục Holder: Tồn tại K < ∞ sao cho:

kaijkCα (Ω), kbikCα (Ω), kckCα (Ω) ≤ K

với mọi i, j

Định lý 2.2.2 Giả sử f ∈ Cα(Ω) và u ∈ C2,α(Ω) thỏa mãn

Lu = f (2.25)trong miền Ω (0 < α < 1) Với bất kỳ Ω0 ⊂⊂ Ω Khi đó ta có:

kukC2,α (Ω 0 ) ≤ c1kf kCα (Ω) + kukL2 (Ω)



trong đó c1 là hằng số phụ thuộc vào Ω, Ω0, α, d, λ, K

Chứng minh Để chứng minh định lý trên ta cần bổ đề sau:

Bổ đề 2.2.3 Giả sử có ma trận đối xứng (Aij)i,j=1, ,d thỏa mãn:

T r(AD2u(x)) = T r(BABtD2v(y)) (2.30)

Do A là đối xứng nên ta có thể chọn B sao cho BtAB là ma trận đơn vị.Thực tế, B được chọn như tích các ma trận đường chéo

1

λ−

1 2

(λ1, , λd là các giá trị riêng của A) với ma trận trực giao R Bằng cáchnày ta thu được phương trình

∆v(y) = f (B−1y) (2.31)Theo Định lý 2.1.1 ta tiến hành đánh giáC2,α đối với v, và có thể biến đổilại với u = v ◦ B Kết quả ta thu được các hằng số phụ thuộc vào λ, Λ vớicác giá trị riêng của A, do đó xác định giá trị riêng của D và vì vậy xácđịnh của B

Ta chứng minh định lý

Ta sẽ chỉ ra rằng với mọi x0 ∈ Ω0 tồn tại hình cầu B(x0, r) mà trên đóước lượng (2.26) là đúng Bán kính r của hình cầu này chỉ phụ thuộc vàokhoảng cách (Ω0, ∂Ω) và chuẩn Holder của các hệ số aij, bi, c Do đó Ω0

là compact, nên nó có thể bị phủ bởi một số hữu hạn các hình cầu, và tatiến hành đánh giá trên Ω0

Thật vậy, giả sử x0 ∈ Ω0 Ta viết lại phương trình vi phân Lu = f nhưsau:

Bổ đề 2.2.3 trên ta tiến hành đánh giá đối với chuẩn C2,α của u Số hạngquan trọng trong đánh giá của ϕ là P

(aij(x0) − aij(x))∂x∂i2∂xuj Giả sử

B(x0, R) ∈ Ω Theo Bổ đề 1.5.4, ta có:

X

C α (B(x0,R))

≤ sup |aij(x0) − aij(x)|kukC2,α (B(x 0 ,R)) + c3kukC2 (B(x 0 ,R))

(2.34)trong đó c3 phụ thuộc vào chuẩn Cα của aij

Do (2.17), với mọi ε > 0, tồn tại N (ε) sao cho:

kukC2 (B(x 0 ,R)) ≤ εkukC2,α (B(x 0 ,R)) + N (ε)kukL2 (B(x 0 ,R)) (2.41)Với cùng phương pháp trong chứng minh của Định lý 2.1.1, từ (2.41) và(2.40) ta thu được đánh giá sau:

kukC2,α (B(x0,R)) ≤ c10kf kCα (B(x0,R)) + kukL2 (B(x0,R))



(2.42)

Định lý 2.2.4 Giả sử Ω ∈Rd là miền bị chặn trong lớp C2,α, f ∈ Cα(Ω),

g ∈ C2,α(Ω), và giả sử u ∈ C2,α(Ω) thỏa mãn :

Lu(x) = f (x) với x ∈ Ω,u(x) = g(x) với x ∈ ∂Ω (2.43)

Khi đó:

kukC2,α (Ω) ≤ c11kf kCα (Ω) + kgkC2,α (Ω) + kukL2 (Ω)



, (2.44)với c11 là một hằng số phụ thuộc vào Ω, α, d, λ, K

Chứng minh Về bản chất, chứng minh định lý này là sự cải biên củaĐịnh lý 2.2.2, do đó ta chỉ phác thảo chứng minh Ta bắt đầu với việc đơngiản hóa, cụ thể là, phương trình Poisson trên nửa hình cầu, từ đó ta sẽđược các trường hợp tổng quát

Và ta có thể đánh giá như trong chứng minh của Định lý 1.6.2(a), do đó

ta không cần bất kỳ giả thiết nào trên giá trị biên

Bỏ qua thừa số mà chỉ phụ thuộc vào d, đạo hàm cấp hai của u đượccho bởi:

R1<|y|<R2

yd>0

K(y)d(y) = 0 (2.48)

do tính thuần nhất như trong (1.19) Do vậy, với i 6= d hoặc j 6= d, chuẩn

α-Holder của đạo hàm cấp hai ∂x∂i ∂x2 ju có thể được đánh giá như trongchứng minh của Định lý 1.6.2(b) Phương trình vi phân ∆u = f kéo theo:

∂2(∂xd)2u = f −

d−1

X

i=1

∂2(∂xi)2u, (2.49)

và vì vậy ta thu được đánh giá cho chuẩn α-Holder của (∂x∂2d)2u Vì vậy ta

có thể đánh giá được tất cả đạo hàm cấp hai của u

Như trong chứng minh của Định lý 2.1.1, khi đó ta thu được đánh giá

C2,α trong B+(0, R) cho nghiệm của:

∆u = f trong B+(0, R) với f ∈ Cα(B+(0, R)) ,

như trong (2.6) với cùng một hàm như trong (2.5), ta có ϕ = 0 trên

∂B+(0, R2) (0 < R1 < R2 < R), do đó η triệt tiêu trên ∂+B+(0, R2), và

u cũng triệt tiêu trên ∂0B+(0, R2) Vì vậy, lại có:

∆u = f trong B+(0, R) với f ∈ Cα(B+(0, R)) , (2.53)

Để xử lý vấn đề cuối cùng của Định lý 2.2.4, ta biến đổi một lân cận U của

x0 ∈ ∂Ω với một C2,α-đồng phôi φ tới hình cầu B(0, R)˚ thỏa mãn phần

của u mà chứa trong Ω được ánh xạ tới B+(0, R), và giao của u với ∂Ω

được ánh xạ tới ∂0B+(0, R) Lại có, u = u ◦ φ¯ −1 trên B+(0, R) thỏa mãnphương trình vi phân Lu = f, ˜L˜u = ˜f với các hằng số khác λ, K trong(A) và (B) Ta thu được đánh giá C2,α cho u˜ trong B+(0,R2) Lại có ánh

xạ φ biến đánh giá này đối với u thành đánh giá trên tập con U0 của U

Do Ω bị chặn, ∂Ω compact và có thể bị phủ bởi một số hữu hạn các lâncận U0

Hệ quả 2.2.5 Ngoài các giả thiết trong Định lý 2.2.4, giả sử rằngc(x) ≤ 0

Định lý 2.3.1 Giả sửΩ là miền bị chặn của lớpC∞ trong Rd, f ∈ Cα(Ω),

g ∈ C2,α(Ω) Khi đó bài toán Dirichlet:

∆u = f trong Ω,

u = g trên ∂Ω (2.57)

có duy nhất nghiệm u thuộc lớp C2,α(Ω)

Chứng minh Tính duy nhất có được từ nguyên lý cực đại Ta chỉ cầnchứng minh sự tồn tại

Giả sử f và g thuộc lớp C∞ Khi đó người ta chứng minh rằng tồn tạinghiệm yếu u(x), nghiệm này thuộc lớp C∞(Ω) và

kukC2,α (Ω) ≤ c1 kf kCα (Ω) + kgkC2,α (Ω)

Quay trở lại trường hợp C2,α Ta xấp xỉ f và g bởi các hàm khả vi vô hạn

fn và gn xác định trên Ω Giả sử un là nghiệm tương ứng của bài toánDirichlet:

trong đó hằng số c1 không phụ thuộc vào nghiệm, nó chỉ phụ thuộc vàomiền hình học C2,α Ta giả sử rằng fn hội tụ tới f trong Cα(Ω), và gn hội

tụ tới g trong C2,α(Ω) và vì vậy un trở thành dãy Cauchy trong C2,α(Ω)

và do đó hội tụ tới u ∈ C2,α(Ω) thỏa mãn:

∆u = f trong Ω,

u = g trên ∂Ω,

và đánh giá (2.58)

2.4 Tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình

elliptic cấp hai dạng tổng quát

Định lý 2.4.1 Giả sử Ω là miền bị chặn của lớp C∞ trong Rd Giả sửtoán tử vi phân

(A) Tính elliptic: Tồn tại λ > 0 sao cho với mọi x ∈ Ω, ξ ∈ Rd,

C2,α(Ω) của bài toán Dirichlet:

Lu = f trong Ω,

u = g trên ∂Ω (2.62)

Chứng minh Thay u = u − g vào vị trí của u, ta có thể giả sử g = 0,khi đó bài toán tương đương với:

Lt = tL + (1 − t)∆ (2.64)Toán tử vi phân Lt thỏa mãn điều kiện (A) và (B) với

λt = min(1, λ), Kt = max(1, K) (2.65)

Ta có L0 = ∆, L1 = L Theo Định lý 2.3.1, ta có thể giải (2.63) với t = 0

Ta cần chỉ ra rằng ta có thể giải phương trình này với mọi t ∈ [0, 1], đặcbiệt với t = 1

Toán tử

Lt : B1 = C2,α(Ω) ∩ {u : u = 0 trên ∂Ω } → Cα(Ω) = B2

là toán tử tuyến tính bị chặn giữa không gian Banach B1 và B2 Giả sử ut

là nghiệm của Ltut = f, ut = 0 trên ∂Ω Theo Hệ quả 2.2.5 ta có:

kutkC2,α (Ω) ≤ c2kf kCα (Ω)

Tức là:

kukB1 ≤ c2kLtukB2, (2.66)với mọi u ∈ B1 và hằng số c2 không phụ thuộc vào t Như vậy, các điềukiện của Định lý 1.7.1 được thỏa mãn và suy ra điều phải chứng minh

Hệ quả 2.4.2 Trong Định lý 2.4.1 giả sử Ω là một hình cầu B và toán

tử L thỏa mãn các điều kiện như trong định lý đó Khi đó nếu f ∈ Cα(B)

và φ ∈ C2,α(B), bài toán Dirichlet Lu = f trong B, u = φ trên ∂B cónghiệm duy nhất u ∈ C2,α(B)

Chương 2< /h3>

Bài tốn biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

2. 1 Đánh giá Schauder nghiệm tốn biên

Dirich-let cho phương trình Poisson

Xét phương. .. nghiệm tốn biên Dirichlet

cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

Hơn aij(x) = aji(x) với i, j, x

(B) Hệ số liên tục Holder: Tồn K < ∞ cho:

kaijkCα... C2, α(Ω) thỏa mãn:

∆u = f Ω,

u = g ∂Ω,

và đánh giá (2. 58)

2. 4 Tính giải tốn Dirichlet cho phương trình

elliptic cấp hai dạng tổng quát

Định lý 2. 4.1