CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH THOI, HÌNH VUÔNG A.. MỤC TIÊU: * Củng cố và nâng cao kiến thức về hình thoi, hình vuông: tính chất và dấu hiệu nhận biết * Vận dụng tính chất của hình thoi và hình
Trang 1CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH THOI, HÌNH VUÔNG
A MỤC TIÊU:
* Củng cố và nâng cao kiến thức về hình thoi, hình vuông: tính chất và dấu hiệu nhận biết
* Vận dụng tính chất của hình thoi và hình vuông vào các bài toán chứng minh các đoạn thẳng, góc bằng nhau, đường thẳng vuông góc, song song,…
* Nâng cao kỹ năng chứng minh hình học cho HS
B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
I Hệ thống kiến thức:
Định
nghĩa
Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc
bằng nhau
Tính
chất
- Các cạnh đối song somg, bằng nhau
- các góc đối bằng nhau
- Hai đường chéo vuông góc với nhau
tại trung điểm mỗi đường, là trục đói
xứng của hình thoi
- mỗi đường chéo là phân giác của hai
góc đối nhau
- Tâm đối xứng là giao điểm hai
đường chéo
- Các cạnh đối song somg, bằng nhau
- các góc đối bằng nhau
- Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường, là trục đói xứng của hình vuông
- mỗi đường chéo là phân giác của hai góc đối nhau
- Tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo
- Đường trung bình là trục đối xứng
Dấu
hiệu
nhận
- Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau
- Hbh có 2 cạnh kề bằng nhau
- Hbh có 2 đường chéo vuông góc với
nhau
- hbh có đường chéo là tia phân giác
- Tứ giác có 4 cạnh và 4 góc bằng nhau
- hình thoi có 1 góc vuông
- hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau
- hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau
- hình chữ nhật có 2 đường chéo vuông
Trang 2biết của 1 góc góc với nhau
- Hình chữ nhật có đường chéo là tia phân giác của 1 góc
II Hệ thống Bài tập
Bài 1:
Cho hình thang cân ABCD AB // CD,
AB < CD Gọi M, N, P , Q lần lượt là
trung điểm của CD, AB, DB, CA
a) C/m: NM là tia phân giác của PNQ
b) Tính số đo các góc của tứ giác MPNQ
biết các góc nhọn của hình thang ABCD
C = D = 50
c) Hình thang ABCD thoã mãn điều kiện
gì thì tứ giác MPNQ là hình vuông?
* Để C/m MN là tia phân giác của PNQ
Ta cần C/m gì?
Để C/m MPNQ là hình thoi ta C/m như
thế nào?
Hãy C/m MPNQ là Hình bình hành
Bằng cách C/m có hai cạnh đối vừa song
song vừa bằng nhau, đó là hai cạnh nào?
Hãy C/m NP //= MQ ?
C/m MP = MQ để suy ra H.b.h MPNQ là
hình thoi
HS ghi đề và vẽ hình
Q P
N
M
B A
Ta C/m tứ giác MPNQ là hình thoi
C/m MPNQ là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau
Từ GT NP là đường trung bình của ADE
nên NP // AD và NP = 1
2AD (1)
MQ là đường trung bình của ADC nên
MQ // AD và MQ = 1
2AD (2)
Từ (1) và (2) NP // MQ và NP = MQ suy ra
tứ giác MPNQ là H.b.h
Trang 3MPNQ là hình thoi ta suy ra điều gì ?
CMQ bằng góc nào? Vì sao?
PMD bằng góc nào? Vì sao?
CMQ + PMD = ? PNQ =?
MPN = MQN = ?
Hình thoi MPNQ là hình vuông khi nào?
Bài 2:
Cho ABC vuông cân tại B từ điểm D
thuộc cạnh AB vẽ DE AC tại E, tia
ED cắt tia CB tại F Gọi M, N, P, Q lần
lượt là trung điểm của AD, DF, FC, CA
Chứng minh MNPQ là hình vuông
Để C/m tứ giác MNPQ là hình vuông ta
cần C/m điều gì?
Để C/m tứ giác MNPQ là hình chữ nhật
ta cần C/m gì?
Hãy C/m tứ giác MNPQ là hình bình
hành?
Mặt khác MP = 1
2 CB = 1
2AD (Vì AD = CB) Suy ra MP = MQ MPNQ là hình thoi (H.b.h
có 2 cạnh kề bằng nhau) NM là tia phân giác của PNQ
b) MQ // AD ADC = CMQ = 500 (3)
MP // CE ECD = PMD = 500 (4)
Từ (3) và (4) CMQ + PMD = 1000
0
PMQ = 80
PNQ = 800
0
MPN = MQN = 100 c) Hình thoi MPNQ là hình vuông
PMQ = 900 CMQ + PMD = 900
Vậy: Hình thang cân ABCD có C = D = 450 thì tứ giác MPNQ là hình vuông
HS ghi đề bài và vẽ hình
Để C/m tứ giác MNPQ là hình vuông ta cần C/m MNPQ vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi MNPQ là hình bình hành có một góc vuông
Từ Gt MN là đường trung bình của FCA
F
E Q
P N
M
D
C B
A
Trang 4Để C/m H.b.h MNPQ là hình chữ nhật
thì ta C/m gì?
MNP = 90
Hãy C/m H.b.h MNPQ là hình thoi bằng
cách C/m NP = MN
Bài 3:
Cho hình vuông ABCD, gọi I, K lần lượt
là trung điểm của AD, DC; E là giao
điểm của BI và AK
a) chứng minh: BI AK
b) Chứng minh CE = AB
c) So sánh AK, BI, BK
d) C/m: BD là phân giác của IBK
MN // FA và MN = 1
2FA (1)
Tương tự ta có: PQ // FA và PQ = 1
2FA (2)
Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là H.b.h Mặt khác D là giao điểm của 2 đường cao AB và
FE của FAC nên CD là đường cao còn lại của
FAC CD FA PN FA
PN MN (Vì MN // FA) 0
MNP = 90
Nên tứ giác MNPQ là hình chữ nhật (*)
FCE vuông tại E và có 0
cân tại A) FCE vuông cân tại E
DBF vuông cân tại B BD = BF nên suy
ra ABF = CBD FA = CD Mặt khác NP là đường trung bình của FCD,
nên NP = 1
2CD = 1
2FA = MN hình bình hành MNPQ là hình thoi (**)
Từ (*) và (**) suy ra MNPQ là hình vuông
HS ghi đề và vẽ hình
_
_
1
1
1
M
K
I
F
E
B A
Trang 5* Để C/m BI AK ta C/m gì?
1 1
A + I = 90 ta C/m A 1 bằng góc
nào? Vì sao?
Hãy C/m AIB = DKA?
Để C/m CE = AB ta C/m gì?
AB =? Vậy để C/m CE = AB ta C/m
CE = CB bằng cách C/m hai tam giác
nào bằng nhau? Hay tam giác nào cân?
AK = BI? Vì sao?
Ta cần C/m gì? (AK = BK hoặc BI =
BK)
a) HS suy nghĩ, trả lời:
1 1
A + I = 90
0
1 1
B + I = 90 do ABI vuông tại A
Ta cần C/m AIB = DKA
Vì có AB = DA (ABCD là hình vuông)
AI = DK (nửa cạnh hình vuông ABCD)
0
1 1
B = A
1 1
1 1
A + I = 90
1 1
AEI = 90
b) Gọi F là trung điểm AB
AKCF là H.b.h vì có FA //= CK
AK // CF CM BE hay CM là đường cao của của BCE (1)
F là trung điểm AB mà MF // AK nên M là trung điển BE hay CM là đường trung tuyến của
BCE (2)
Từ (1) và (2) suy ra BCE cân tại B suy ra
CE = CB mà CB = AB nên CE = AB c) BI = AK (do AIB = DKA(c.g.c)- C/m ở câu a) IDB = KDB (c.g.c) vì có: ID = KD (nửa cạnh hình vuông ABCD);
0
của góc D); DB chung BI = BK Vậy: AK = BI = BK
d) IDB = KDB (c.g.c) nên IBD = KBD hay
BD là tia phân giác của IBK
Trang 6III Bài tập về nhà:
Bài 1:Cho hình vuông ABCD Từ điểm E trên cạnh BC dựng 0
EAx 90 , tia Ax cắt CD tại
F Gọi I là trung điểm FE, AI cắt CD tại M Vẽ Ey // CD, Ey cắt AI tại K
a) Tam giác AFE là tam giác gì? Vì sao?
b) Tứ giác KFME là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh chu vi CEM không đổi khi E chuyển động trên BC
Bài 2: Cho ABCD là hình vuông Gọi M, N, I, L lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,
DA; DN lần lượt cắt AI, CM tại K và P; BL cắt AI, CM tại H và Q
a) Chứng minh PA = DA
b) Tứ giác KPQH là hình gì? Vì sao?
