Cấu trúc tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân Affine

§4 Tính liên thông của tập nghiệm trong bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ.... §2 Tính bị chặn và tính liên thông của tập nghiệm và tập nghiệm yếu trong bài toán bất đẳng thức biến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG

MỤC LỤC

Trang

Lời nói đầu

Chương 1 Bất đẳng thức biến phân

§1 Bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan

1.1 Bất đẳng thức biến phân

1.2 Bài toán tối ưu một mục tiêu

1.2.1 Tối ưu hàm một biến

1.2.2 Tối ưu hàm nhiều biến

1.3 Phương trình suy rộng

1.3.1 Hệ phương trình (hệ phương trình trong  n)

1.3.2 Phương trình suy rộng

1.4 Bài toán bù

1.5 Phép chiếu

1.6 Điểm bất động

§2 Tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

§3 Bất đẳng thức biến phân véctơ

§4 Tính liên thông của tập nghiệm trong bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ

Chương 2 Bất đẳng thức biến phân affine

§1 Bất đẳng thức biến phân affine

3-4

5

5

5

6

6

7

15

15

16

17

20

23

24

28

33

36

36

1.2 Bất đẳng thức biến phân véctơ affine……… ………

1.3 Bất đẳng thức biến phân véctơ affine yếu……….…… …

1.4 Bất đẳng thức biến phân affine phụ thuộc tham số………

§2 Tính bị chặn và tính liên thông của tập nghiệm và tập nghiệm yếu trong bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ affine……… ………

§3 Bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức tuyến tính và bài toán tối ưu đa mục tiêu toàn phương lồi ……

3.1 Bài toán tối ưu véctơ………

3.2 Bài toán tối ưu vectơ phân thức tuyến tính (LFVOP)

3.3 Bài toán tối ưu véctơ hàm toàn phương lồi (QVOP)……… …

§4 Một số ví dụ tính tập nghiệm trong bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức tuyến tính

4.1 Thí dụ 1……… …

4.2 Thí dụ 2………

4.3 Thí dụ 3………

4.4 Thí dụ 4………

4.5 Thí dụ 5………

4.6 Thí dụ 6………

4.7 Thí dụ 7………

Kết luận

Tài liệu tham khảo

39

40

40

42

55

55

57

68

70

70

72

75

78

81

84

88

94

95

LỜI NÓI ĐẦU

Bản thân bất đẳng thức biến phân là một đối tượng toán học được nghiên cứu độc lập Hơn nữa, bất đẳng thức biến phân còn chứa đựng trong nó hoặc có liên quan đến rất nhiều bài toán khác của toán học và của thực tế (bài toán tối ưu, bài toán bù, bài toán cân bằng, hệ phương trình suy rộng, ), vì vậy nó thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới cũng như ở Việt Nam trong mấy chục năm qua Một trong những vấn đề cần trả lời khi nghiên cứu bất đẳng thức biến phân là vấn đề về sự tồn tại nghiệm và các tính chất của tập nghiệm (tính đóng, tính compact, tính liên thông, tính

co rút, tính ổn định của tập nghiệm theo tham số, )

Một trong những lớp bài toán bất đẳng thức biến phân được nghiên cứu nhiều nhất

là lớp bài toán bất đẳng thức biến phân affine Tuy là lớp bài toán bất đẳng thức biến phân đơn giản nhất, nhưng bất đẳng thức biến phân affine là một trong những lớp bài toán có cấu trúc đặc thù và chứa một số lớp bài toán quan trọng (tối ưu véc tơ hàm phân thức tuyến tính, tối ưu hàm toàn phương, ) Nghiên cứu bất đẳng thức biến phân affine cũng làm sáng tỏ nhiều vấn đề của bất đẳng thức biến phân tổng quát

Luận văn này cố gắng trình bày một số khái niệm và kết quả liên quan đến sự tồn tại và tính chất tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân, đặc biệt là bất đẳng thức biến phân affine

Luận văn gồm hai Chương

Mục 1 của Chương 1 trình bày bài toán bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan Mục 2 của Chương 1 trình bày sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Mục 3 của Chương 1 trình bày bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ

Mục 4 của Chương 1trình bày tính liên thông của tập nghiệm trong bài toán bất đẳng

thức biến phân véctơ

Chương 2 trình bày hai lớp bất đẳng thức biến phân affine cụ thể

Mục 1 Trình bày định nghĩa và một số định lý về bài toán bất đẳng thức biến phân

affine,véctơ affine,véctơ affine yếu và bất đẳng thức biến phân affine phụ thuộc tham số

Mục 2 Nói về tính bị chặn và liên thông của tập nghiệm và tập nghiệm yếu trong bài

toán bất đẳng thức biến phân véctơ affine

Mục 3 Trình bày bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức tuyến tính và bài toán tối ưu đa

mục tiêu toàn phương lồi

Mục 4 Tính toán một số thí dụ cho bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức tuyến tính

bằng cách đưa về bài toán bất đẳng thức biến phân affine

Các thí dụ trong [8] , [11] và [16] về tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine được tính toán chi tiết và trình bày tường minh Một số thí dụ trước đây được tính toán dựa theo điều kiện cần và đủ tối ưu (tiêu chuẩn Malivert) trong bài toán tối ưu đa mục tiêu hàm phân thức tuyến tính Ở đây chúng tôi trình bày tính toán theo điều kiện cần và đủ để một điểm là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Tạ Duy Phượng- Viện Toán học Thông qua luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy hướng dẫn, người tận tình chỉ bảo và giúp

đỡ tôi hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn Khoa sau đại học, Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, tập thể lớp Cao học Toán K2, bạn bè, và đồng nghiệp về sự quan tâm giúp đỡ trong quá trình tôi thực hiện luận văn này Và cuối cùng, xin cảm ơn Gia đình,

vợ và các con đã giúp đỡ, động viên và khích lệ tôi rất nhiều trong thời gian nghiên cứu học tập

CHƯƠNG I BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

§ 1 BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ CÁC BÀI TOÁN

LIÊN QUAN 1.1 Bất đẳng thức biến phân

Định nghĩa 1.1 Cho F: n  n là một ánh xạ từ  n vào  n và K là một tập nào đó trong  n Bài toán bất đẳng thức biến phân (variational inequality, viết tắt là VI) được phát biểu như sau

Tìm xK sao cho

 , 0,

F x xx   x K (1.1) Bất đẳng thức (1.1) cũng thường được viết dưới dạng

F x xx   x K (1.1’) trong đó a b , kí hiệu là tích vô hướng của hai véctơ a và b trong không gian  n, còn AT và x T là chuyển vị của ma trận A và véctơ x Ta luôn qui uớc véctơ x n

tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1)

Tập tất cả các nghiệm của bất đẳng thức biến phân được kí hiệu là Sol VI   hoặc

Sol VI F K,

Vậy bất đẳng thức F x   , x  x  0,   x K có thể viết dưới dạng

1.2 Bài toán tối ƣu một mục tiêu

1.2.1 Tối ƣu hàm một biến

Trước tiên ta xét hàm một biến nhận giá trị trong 

Cho f :   a b ;   là một hàm số khả vi trên   a b ; , nghĩa là tồn tại đạo hàm tại mọi điểm x0   a b ; và tồn tại đạo hàm từ bên phải ( ) : lim ( )

 là giá trị cực tiểu của hàm số f trên   a b ;

Khi đó theo điều kiện cần cực trị Fermat ta có

Định nghĩa 1.2 Nếu điểm xK được gọi là điểm cực tiểu địa phương của bài toán

tối ưu (1.1) nếu tồn tại một lân cận U x ( ) của điểm x sao cho

theo mọi biến tại mọi điểm x K  n Đặt F x   :   f x ( ). Khi ấy với mỗi xK

Khi đó  là hàm hợp của hai hàm khả vi f và u nên  cũng là hàm khả vi trên   0;1

và nếu f đạt cực tiểu tại x thì  đạt cực tiểu tại t0 Theo điều kiện cần cực tiểu cho bài toán tối ưu hàm một biến ta có

Nhận xét 1.1 Như vậy, tập các điểm dừng của bài toán tối ưu (1.2) chính là nghiệm

của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.1) Hơn nữa, theo Mệnh đề dưới đây, nếu

 

f x là hàm lồi trên K thì ta có điều ngược lại

Mệnh đề 1.3 Cho K là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong  n. Nếu f x   là hàm lồi khả vi trên K và xK là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.1) thì x

cũng là nghiệm của bài toán tối ưu (1.2)

Suy ra f x  f x  ,  x K hay x là nghiệm của bài toán tối ưu (1.2)

Như vậy, trong trường hợp f x   là hàm lồi khả vi trên K thì bài toán bất đẳng thức biến phân (1.1) và bài toán tối ưu (1.2) là tương đương

Dưới đây ta sẽ xét câu hỏi: Với điều kiện nào thì bài toán bất đẳng thức biến phân (1.1)

có thể đưa về bài toán tối ưu (1.2)?

Kí hiệu M n n   , là tập hợp các ma trận vuông cấp n Trước tiên ta đưa vào các định nghĩa sau

Định nghĩa 1.3 Ma trận A M n n    , được gọi là nửa xác định dương trên

n

 nếu nó thỏa mãn điều kiện x Ax 0 với mọi x n

Định nghĩa 1.4 Ma trận A M n n    , được gọi là ma trận xác định dương trên

n

 nếu nó thoả mãn các điều kiện sau

3 2 2 3

0202

02

x x x x x

0 0 0

x x x

Vậy A là ma trận nửa xác định dương trên  4.

Định nghĩa 1.5 Ma trận A được gọi là xác định dương mạnh trên  n nếu tồn

tại một số dương  0 sao cho

2

T

x Ax   x với mọi x n

Trong nhiều bài toán thực tế, ta phải xét trường hợp ma trận A v( ) phụ thuộc vào v

trên một tâp S nào đó Vì vậy định nghĩa ma trận xác định dương còn được mở rộng hơn như sau

Định nghĩa 1.3’ Ma trận vuông n chiều A v( )a v ij( ) , , i j 1, ,n phụ

thuộc vào n

v S  được gọi là nửa xác định dương trên S nếu

( ) 0

T

x A v x  với mọi x n và với mọi vS

Ma trận A v( ) được gọi là xác định dương trên S nếu

( ) 0

T

x A v x  với mọi x  n, x 0 và với mọi vS

Ma trận A v( ) được gọi là xác định dương mạnh trên S nếu tồn tại một số dương

1) Ma trận A v( ) là nửa xác định dương trên S khi và chỉ khi ( )v 0 với mọi vS

2) Ma trận A v( ) là xác định dương trên S khi và chỉ khi ( )v 0 với mọi vS

3) Ma trận A v( ) là xác định dương mạnh trên S khi và chỉ khi ( )v   0 với mọi

vS

Ta đã biết rằng, nếu một hàm lồi hai lần khả vi trên tập lồi đóng K thì đạo hàm bậc hai của nó là một ma trận đối xứng xác định dương Định lí dưới đây chỉ ra rằng, điều ngược lại cũng đúng: ―cho trước một ánh xạ F K: n có đạo hàm là ma trận đối xứng nửa xác định dương thì tồn tại một hàm lồi có đạo hàm bằng chính hàm F.‖

Định lí 1.1 Giả sử tập n

K  và F K: n là hàm khả vi liên tục trên K và ma trận Jacobian F x( ) là đối xứng và nửa xác định dương trên K. Khi ấy tồn tại hàm lồi

dương trên K nên f x( ) là hàm lồi trên K Kết luận của Định lí được suy ra từ Mệnh

đề 1.2

Như vậy, bài toán tối ưu có thể đưa về bất đẳng thức biến phân Ngược lại, bất đẳng thức biến phân VI( ,F K) cũng có thể phát biểu lại như một bài toán tối ưu lồi chỉ khi điều kiện đối xứng và nửa xác định dương của ma trận F x( ) được thỏa mãn Điều này nói lên rằng, bài toán bất đẳng thức biến phân nói chung rộng hơn bài toán tối ưu, bởi vì nó chứa cả trường hợp hàm F x( ) có ma trận Jacobian không đối xứng

Nhận xét 1.3 Hệ quả 1.1 vẫn đúng khi xintK Thật vậy, ta có

Hệ quả 1.2 Nếu xintK là điểm cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu (1.2) thì

  

Ngược lại, nếu x là nghiệm của bất đẳng thức biến phân VI( , F  n) thì ta có

Trong mục trên ta đã thấy, có thể coi nghiệm của bất đẳng thức biến phân VI( , F n)

như là nghiệm của (hệ) phương trình F x( )0 Nhiều bài toán dẫn đến tìm nghiệm của phương trình không nhất thiết là trên toàn không gian Khi ấy ta có khái niệm phương trình suy rộng sau đây

Cho tập lồi đóng n

K  và ánh xạ F K:  n Tìm điểm xn thỏa mãn bao hàm thức

0F x( )N K(x). (1.5)

Bao hàm thức (1.5) được gọi là phương trình suy rộng Điểm xn thỏa mãn bao

hàm thức (1.4) được gọi là nghiệm của phương trình suy rộng (1.5)

Ở đây NK( ) x là nón pháp tuyến (normal cone) của tập lồi K tại điểm

F x x x

   Chứng tỏ F x( )N K(x) hay 0F x( )N K(x)

Chứng tỏ x là nghiệm của phương trình suy rộng (1.5)

Ngược lại, nếu x là nghiệm của phương trình suy rộng (1.5) thì xK và

0F x( )N K(x), tức là F x( )N K(x) hay F x( ),xx 0 với mọi

xK Suy ra x thỏa mãn bất đẳng thức biến phân (1.1)

Như vậy, về mặt hình học, bất đẳng thức biến phân (1.1) nói rằng, nếu x là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1) thì véctơ F x ( ) phải ―vuông góc‖ với tập chấp nhận được K theo nghĩa véctơ  F x ( ) luôn tạo với véctơ xx một góc tù với mọi

Cho nón lồi đóng n

K  và ánh xạ F K:  n. Bài toán bù phi tuyến (nonlinear

complementary problem, viết tắt là NCP hoặc NCP( )K ) được phát biểu như sau Tìm xn thỏa mãn điều kiện

xK F x K F x x  (1.6) với K: v n, v x,   0 x K được gọi là nón đối ngẫu dương của nón K

Mệnh đề 1.4 Giả sử K là nón lồi đóng Khi ấy xn là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VI( ,F K) khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán bù phi tuyến (1.6)

Chứng minh

Giả sử xK là nghiệm của bài toán (1.1), tức là F x( ),xx 0 với mọi xK

Do K là nón lồi đóng nên với mọi vK ta có x v K Thay x trong bất đẳng thức F x( ),xx 0 bởi xv ta được, F x ( ),  x  v  x  0 hay

F x x  hay xK là nghiệm của bài toán bù phi tuyến (1.6)

Ngược lại, giả sử xK là nghiệm của bài toán bù phi tuyến (1.6) Khi ấy vì

( )

F x  K nên F x( ),x 0 với mọi xK và F x( ),x 0 Suy ra

( ), ( ), ( ), ( ), 0

F x xx  F x x  F x x  F x x  với mọi xK Chứng tỏ

xK là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.1)

Trường hợp đặc biệt, khi n

K    thì K  n. Bài toán bù phi tuyến trở thành: Tìm

n

x   sao cho F x ( )  n và F x( ),x 0

Kí hiệu x x1, ,x nT n và ( )  1  , ,   

T n n

F x x   với mọi i  1,2, , , n tức là tất cả các tọa độ của hai vectơ x và F x ( )

phải bù nhau (tích của chúng bằng 0, hay nếu đại lượng này khác không thì đại lượng kia phải bằng không) Điều này giải thích tên gọi của bài toán bù

Ta cũng có một chứng minh khác cho sự tương đương của bài toán bù và bài toán bất đẳng thức biến phân khi n

với mọi i  1, , n Vậy F x ( )  0 hay F x   n

Thay x  2 x n vào bất đẳng thức F x( ),xx 0 ta được F x( ),x 0

Thay x0 vào bất đẳng thức F x( ),xx 0 ta được  F x( ),x 0 Vậy

F x x  Chứng tỏ x n là nghiệm của bài toán bù NCP( n).

Đảo lại, nếu n

x   là nghiệm của bài toán bù phi tuyến NCP( n) thì

lồi đóng nên K1 là tập lồi compact Hàm g y ( ) :   x y 2 liên tục trên tập compact K1

nên theo định lí Vaierstrrass, g y( ) đạt cực tiểu trên K1 tại điểm x K1, tức là

x x  x y hay xx  xy với mọi yK1 Do

xx  x w   r x z với mọi zK K\ 1 nên x cũng là điểm cực tiểu của hàm g y ( )   x y 2 trên K Do g y ( )   x y 2 là hàm lồi chặt trên tập lồi K nên cực tiểu x là duy nhất

* Lµ h×nh chi Õu cña tr ªn tËp K

Định lí 1.2 Giả sử K là một tập lồi đóng trong n. Khi ấy x  P xK( ) khi và chỉ khi

hay xx y, x 0 với mọi yK.

K

0

KP

Cộng hai bất đẳng thức trên ta được

Giả sử I là ánh xạ đồng nhất trên  n, tức là I x( ) x với mọi x n

Quan hệ giữa Bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạ T K: K được mô tả bởi định lí sau

Định lí 1.3 Giả sử K là một tập lồi đóng trong  n. Khi ấy xK là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VI( ,F K) khi và chỉ khi với mọi   0 điểm x là điểm bất động của ánh xạ P I K( F) :KK, tức là

K

P xF x x

§2 TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

Mệnh đề dưới đây chỉ ra rằng, nghiệm địa phương của bài toán   VI cũng là nghiệm

toàn cục của bài toán này

Kí hiệu B x , là hình cầu đóng tâm *

Chứng minh

Giả sử tồn tại một số  0 sao cho (1.8) được thỏa mãn

Với mỗi y tồn tại t    0;1 để zt:  x t y (  x) thuộc tập B x , .

Theo (1.8) ta có

0 F x( ),z t x  F x( ),t yx t F x( ),yx

Suy ra F x( ),yx 0,  y Do vậy xSol(VI)

Định lí 1.4 (Hartman-Stampachia, xem [7], Định lý 3.1 chương1, trang 12)

Nếu   n là tập lồi, compact, khác rỗng và F :   n là một ánh xạ liên tục thì bài toán (VI) có nghiệm

Định lý 1.4 được chứng minh nhờ định lí điểm bất động Brouwer

Ta nhận thấy rằng Định lí 1.4 đòi hỏi tập  phải là tập compact Điều này không phải lúc nào cũng được thỏa mãn trong các bài toán thực tế Với các điều kiện bức

(coercivity), chúng ta có định lí tồn tại cho các bài toán với tập hạn chế  không nhất thiết compact sau đây

thì bài toán (VI) có nghiệm

Ý nghĩa của biểu thức (1.9) là: Với bất cứ  0 có thể tìm được một số 0sao cho:

Nếu tồn tại x0 và  0 sao cho

Định nghĩa 1.6 Nếu tồn tại  0 như ở (1.11) thì ánh xạ F được gọi là đơn điệu

mạnh (strongly montone) trên  Nếu các điều kiện yếu hơn sau đây

F y ( )  F x y x ( ),   0,   x ,  y , (1.12)

và

F y ( )  F x y x ( ),   0,   x ,  y ,x  y , (1.13)

được thỏa mãn thì F được gọi tương ứng là đơn điệu (monotone) trên  và đơn điệu

chặt (strictly monotone) trên 

Bổ đề 1.2 (Bổ đề Minty 1.5, [10], chương 3, trang 89)

Giả sử   n là tập lồi, đóng, khác rỗng và F :   n là liên tục, đơn điệu Khi ấy

Sol(VI)

x khi và chỉ khi x và

F y y( ), x 0,  y (1.14)

Chứng minh

Điều kiện cần Giả sử x Sol(VI), tức là F x( ), y x  ,  y

Do F là đơn điệu nên

F y( ) - ( ), -F x* y x* 0,  y

Suy ra

F y y x( ),    F x( ), y x  0,  y

Vậy (1.14) được chứng minh

Điều kiện đủ Giả sử x và (1.14) thoả mãn

Chọn y  Do  là tập lồi nên y t : xt y( x) với mọi t    0;1

Thay y  y t vào (1.14) ta được

F y y x  F xt yx t yx

i) Ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử F là liên tục và đơn điệu chặt trên 

nhưng bài toán (1.1) có hai nghiệm phân biệt x và y, tức là F x( ), yx 0 và

F y xy  Suy ra F y( )F x( ), yx 0

Mâu thuẫn F y( )F x( ), yx 0

ii) Giả sử F là liên tục và đơn điệu trên  Với mỗi y ta kí hiệu ( )y là tập tất

cả x thỏa mãn bất đẳng thức F y y( ), x 0 Do F là liên tục trên tập lồi 

nên ( )y là tập lồi, đóng Từ bổ đề Minty ta suy ra Sol(VI) ( ).

Nhận xét 1.4 Nếu F: n là ánh xạ liên tục, đơn điêu mạnh trên  thì bài toán

(VI) có nghiệm duy nhất

Thật vậy, vì F là đơn điệu mạnh nên thỏa mãn điều kiện bức Theo Định lí 1.4 thì bài toán (1.1) có nghiệm Vì F là đơn điệu mạnh nên F là đơn điệu chặt Theo i) của Mệnh đề

1.6 thì bài toán (1.1) không thể có hơn một nghiệm Vậy nghiệm là tồn tại và duy nhất

§3 BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÉCTƠ

Trong phần này ta sử dụng các ký hiệu sau

Định nghĩa 1.7 Bài toán tìm x sao cho

 F x1  ,yx , F m x ,yx C\ 0 ,   y , (1.15)

được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ (vector variational inequality

problem) và được ký hiệu là (VVI)

Tập nghiệm Sol VVI   của bài toán (VVI) là tập tất cả các véctơ x thỏa mãn (1.15)

Định nghĩa 1.8 Bài toán tìm x sao cho

 F x1  ,yx , F m x ,yx int ,C  y , (1.16)

được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ yếu (weakly vector variational

inequality problem) và ký hiệu là (VVI)w.

Tập nghiệm Sol VVI wcủa bài toán (VVI)w là tập tất cả các véctơ x thỏa mãn (1.16)

Định nghĩa 1.9 Với mỗi     1, 2, , m  C, bài toán tìm điểm x sao cho

F x y x

  y , (1.17)

được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số (parametric

variational inequality problem), ký hiệu là (VI) 

Tập nghiệm Sol VI  của bài toán (VI) là tập tất cả các véctơ x thỏa mãn (1.17)

Định nghĩa 1.10 Tập  C được gọi là cơ sở hay đáy (base) của nón C nếu 0 

và với mọi x C \{0} tồn tại t  sao cho tx.

Mệnh đề 1.7 Nếu C  m là nón lồi, đóng và có phần trong khác rỗng thì C có một

cơ sở lồi, compact

tức là x x,  0,   x C Suy ra tx C nên tx hay  là cơ sở của C.

Hàm tích vô hướng , là liên tục nên  là tập con đóng và bị chặn trong  m, vì vậy

nó là tập compact Dễ thấy  là tập lồi

Định lí 1.6 (Lee- Kim- Lee-Yen, xem [6])

ở đây, theo ký hiệu F x v ( )( ) :   F x v1( ), , F x v2( ), , , F x vm( ), 

Từ (1.20) chứng tỏ rằng không có y nào để F x y( )(  x) C\{0}, hay

Trong trường hợp   0 bao hàm thức luôn đúng

Do đó Sol VI  Sol VVI  w

Vậy (1.18) được chứng minh

Nếu xSol VVI w thì { ( )(F x yx) :y  } ( int )C   Theo định lí tách tập lồi

hay   C \ 0 :      T F x y( )(  x) 0,   y . Suy ra xSol VI 

Vì   C \   int C  là tập đóng và F liên tục nên tập

Sol VI  Sol VVI   Sol VVI w Sol VI , 



trong đó  là một cơ sở lồi, compact nào đó của C*.

Nhận xét 1.7 Trong trường hợp đặc biệt C  n thì ta có Cn và

Nhận xét 1.8 Từ Định lí 1.6 ta biết rằng Sol VVI Sol VVI w

Câu hỏi đặt ra là: Khi nào thì ta có Sol VVI Sol VVI w?

Trước tiên ta nhận thấy ngay cả trong trường hợp F là đơn điệu mạnh thì đẳng thức trên vẫn có thể không xảy ra (xem Ví dụ 1.1.22, [1])

Định nghĩa 1.11 Tập con   được gọi là một thể lồi chặt nếu n int   và

x x x x

    xt   (1 ) t x tx t  : 0;1      int 

Định lí dưới đây cho ta điều kiện đủ để Sol VVI = Sol VVI   w

Định lí 1.7 Giả sử  n là một thể lồi chặt, C m là nón lồi, đóng và có phần trong khác rỗng Với mỗi x  toán tử tuyến tính  : nm xác định bởi

Vì  là thể lồi chặt nên   t 0;1  :t  (1 t y tz)   int

Từ (1.21) suy ra

F y ( )( t  y ) C \ 0   (1.22) Lấy ò0 sao cho B( , )t ò  , trong đó B( , )t ò là hình cầu đóng tâm t bán kính ò Với mọi x, toán tử tuyến tính  : n m xác định bởi vF x v( ) là toàn ánh nên nó là ánh xạ mở

Điều này chứng tỏ rằng  x B( , )t ò sao cho F y x( )(  y) intC\{0} Mâu thuẫn với giả thiết ySol VVI w

§ 4 TÍNH LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG

THỨC BIẾN PHÂN VÉCTƠ

Một trong những câu hỏi được nhiều tác giả quan tâm là nghiên cứu tính chất và cấu trúc của tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân (xem, thí dụ, [8], [11], [15], ) Trong mục này chúng tôi liệt kê một số kết quả cơ bản về tính liên thông của tập

nghiệm Các chứng minh chi tiết đã được trình bày trong [1]

Định nghĩa 1.12 Không gian tô pô X gọi là liên thông nếu X không thể biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập con mở thực sự, rời nhau của nó

Không gian tô pô X được gọi là liên thông đường nếu  x y ,  X tồn tại ánh xạ liên tục  :[0,1]  X sao cho (0)x,(1) y.

Không gian tô pô X được gọi là co rút được nếu tồn tại ánh xạ liên tục

: X [0,1] X

   và một điểm aX sao cho x X ta có ( ,0)x x,( ,1)x a

Định nghĩa 1.13 Giả sử X Y, là hai không gian tô pô

Ánh xạ đa trị G X : Ã Y được gọi là ánh xạ đóng trên X nếu đồ thị của G, tức là

ii)  x X tập G x( ) là khác rỗng và liên thông

iii) G là nửa liên tục trên trên X thì ( ) ( )

i) Sol VVI w là tập compact và liên thông đường

ii) Sol VVI   là tập bị chặn và liên thông đường

Định lý 1.11 Giả sử F là đơn điệu,  H là tập lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng

CHƯƠNG II BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE

Chương 2 trình bày một lớp bài toán biến phân véctơ quan trọng: Bất đẳng thức biến

phân véctơ affine Bài toán tối ưu toàn phương lồi và bài toán tối ưu đa mục tiêu hàm

phân thức tuyến tính là những lớp bài toán tối ưu cụ thể có thể đưa về bài toán bất đẳng thức biến phân affine Đồng thời chúng tôi trình bày chi tiết tính toán một số ví dụ cụ thể Khác với [2], trong đó các tính toán dựa trên tiêu chuẩn điều kiện cần và đủ Malivert cho bài toán tối ưu phân thức tuyến tính, ở đây các tính toán dựa trên điều kiện cần và đủ để một điểm là nghiệm của bất đẳng thức biến phân affine (Định lí 2.1 Chương 2, xem chứng minh trong [10]) Định lí này kết hợp với Mệnh đề 2.3 Chương

2 tỏ ra rất hữu hiệu trong tính toán các ví dụ các bất đẳng thức biến phân affine cụ thể

§1 BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE

1.1 Bất đẳng thức biến phân affine (AVI)

Trong Chương 1 ta đã phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân Nếu Fi: n  n,

1, 2, ,

i p là các ánh xạ affine thì ta có bất đẳng thức biến phân véc tơ affine Cụ thể

hơn, giả sử M M n n( , ), q   n. Bài toán bất đẳng thức biến phân affine (affine variational inequality, viết tắt: AVI) là bài toán:

Điều kiện (2.2) được gọi là điều kiện bức cho bài toán bất đẳng thức biến phân affine (2.1)

Từ đây và từ Hệ quả 4.3 trong [7], trang 14, ta có

Hệ quả 2.1 (Proposition 2, [8], trang 9)

Nếu v Mv ,  0,    v 0 \ 0   thì Sol AVI   

Mệnh đề 2.2 Nếu M là ma trận monotone trên  thì Sol AVI    khi và chỉ khi tồn tại x  sao cho Mxq v, 0,   v 0

Khi  là tập đa diện, ta có Định lí sau đây đặc trưng điều kiện cần và đủ để một điểm

là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (2.1) thông qua hệ thống bất đẳng thức

Như vậy,  là giao của các nửa không gian đóng hay  là tập nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính

1.2 Bất đẳng thức biến phân véctơ affine (AVVI)

Bất đẳng thức biến phân véc tơ affine (affine vector variational inequality, viết tắt là

(AVVI)) là bài toán:

Tìm x sao cho

 M x1  q x1, x , , M p x q x p, x  p \ 0 ,   x (2.3) Tích vô hướng M xi   q xi,  x được viết tường minh như sau

q q q