Chương 3 – Nguyên Hàm Tích Phân 115 BÀI 25 – MỞ ĐẦU VỀ TÍCH PHÂN KIẾN THỨC CẦN NẮM 1 Bài toán diện tích hình thang cong Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) ,y f x= trục hoành và hai đườ[.]
Trang 1BÀI 25 – MỞ ĐẦU VỀ TÍCH PHÂN
KIẾN THỨC CẦN NẮM
1 Bài toán diện tích hình thang cong
Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
( ),
x a x b a b= = < Giả sử f là hàm số liên tục, đồng
biến và nhận giá trị dương trên đoạn [ ]a b Ta có diện ;
tích S của hình thang cong đó là: S F b F a= ( )− ( ), với
F là một nguyên hàm bất kì của f trên đoạn [ ]a b ;
2 Quãng đường đi được của một vật
Giả sử một vật chuyển động có vận tốc thay
đổi theo thời gian, v f t= ( ) (0< <t T) Khi
đó quãng đường L vật đi được trong khoảng
thời gian từ thời điểm t a= đến thời điểm
t b= (0 a b T< < < ) là L F b F a= ( )− ( ),
trong đó F là một nguyên hàm bất kì của
f trên khoảng (0; T )
3 Khái niệm tích phân
Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F b F a( )− ( ) được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là ( )d ( ( ) )
b
b a a
∫
Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân,
ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay
cho x Chẳng hạn sử dụng chữ t, chữ u,…
làm cho biến số lấy tích phân thì:
( )d , ( )d ,
f t t f u u
và số đó bằng F b F a( )− ( )
Thuật ngữ
• a b là hai cận tích phân; ,
• a là cận dưới, b là cận trên;
• f là hàm số dưới dấu tích phân
• f x x là biểu thức dưới dấu tích phân ( )d
• x là biến lấy tích phân
Định lý về diện tích hình thang cong
Trang 2Cho hàm số y f x= ( ) liên tục, không âm trên đoạn [ ]a b Khi đó diện tích S của hình ; thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x= ( ), trục hoành và hai đường thẳng
,
x a x b= = là b ( )d
a
f x x
∫
4 Tính chất của tích phân
Giả sử hàm số f, g liên tục trên K và a b c, , là 3 số bất kì thuộc K Khi đó
• a ( )d 0;
a
f x x =
∫
• b ( )d a ( )d ;
• b ( )d c ( )d c ( )d ;
• b ( ) ( ) d b ( )d b ( )d
kf x x k f x x k= ∀ ∈
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1 Tính các tích phân sau:
I =∫− x x− x
2 Tính các tích phân sau:
3 Tính các tích phân sau:
a)
2
e
1
7x 2 x 5 d
x
1 3 5 d
1 f x x( )d = −4, 1 f x x( )d =6
1 g x dx=8
a) 5
2 f x x( )d
1
4f x g x− d x
∫
5 Tính các tích phân sau:
3
2sin 3cos d
π
π
3
6
x
I = ππ x−π + − x
∫
6 Tính các tích phân sau:
Trang 3a) 4 2
2
1 d
x
+
0
3
1
x
2
3x−4 dx
∫
7 Tính các tích phân sau:
a) 0( )
2
e dx
−
−
2
3 d 2
−
+
0
e 1 dx+ x
∫
8 Tính các tích phân sau:
a) 2 2
1
4 d
e x x
1
e e dx −x x
−
−
0
e 1 dx − x
∫
9 Tính các tích phân sau:
a) 2
1
d
x x
3
9 x xd
−
−
1
e dx x
−
−
∫
10 Tính các tích phân sau:
a) ln 2 2 1
0
e 1 d e
x x
1 0
d e
x x
11 Tính 0
1
1 d 1
x
x
−
+
= ∫ −
12 [ĐỀ CHÍNH THỨC 2022] Biết rằng F x( ) và G x( ) là hai nguyên hàm của hàm số f x( ) trên
và 3 ( ) ( ) ( ) ( )
0
f x x F= −G +a a>
∫ Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y F x y G x x= ( ), = ( ), =0 và x =3 Khi S =15 thì a bằng
13 Tính các tích phân sau:
a) e
1
e
ln dx x
0
cos dx x
π
0
1−x xd
0
d 9
x
∫
14 Tính các tích phân sau:
0 sin3 cos 2 d
0 cos cos 2 d
Trang 415 Cho hàm số f x( ) a b2 2,
= + + với a b, là các số hữu tỉ thỏa mãn 1 ( )
1 2
d 2 3ln 2
f x x = −
∫
Tính T a b= +
16 Cho hàm số f x xác định trên ( ) \ 0 ,{ } và thỏa mãn f x( ) 21 4 ,
+
( )1 , ( )2
f =a f − = Giá trị của biểu thức b f ( )− −1 f ( )2 bằng
17 Xét hàm số f x( )=min{x2; 3x−2 } Tính 2 ( )
0
d
I =∫ f x x
A 2
3
6
0
min 3 x−1 e ;3x x−1 dx a b= e+ 3+c a b c, , , ∈
bằng
19 Biết rằng 23 2 1d 4 ,
1
c
∫ trong đó a b c, , là các số nguyên dương Tính
T a b c= + +
20 Cho F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x( )= + − − trên tập 1 x 1 x thoả mãn
( )1 3
F = Tính tổng F( )0 +F( )2 +F( )− 3
21 Cho 11
2 3
∫ với a b∈, Giá trị của a bằng
A 26
27
27
−
22 Tìm x thuộc khoảng 0;
2
π
thỏa mãn ( 2 )
0
1
4
x
t− t= −
∫
23 Cho 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
3f x +2g x dx=1, 2f x g x− = −3
1
d
f x x
∫
Trang 524 a) Giả sử 3 ( )
0
f x x =
0
d 7
f z z =
3
d
f t t
∫
b) Giả sử 1 ( )
1
d 5
f t t
−
=
1
d 6
f r r
−
=
1
d
f u u
∫
25 Cho hàm số ( ) 21 khi 0 1
2 1 k i h 1 .
x
Tính 3 ( )
0
d
I =∫ f x x
26 a) Chứng minh rằng nếu f x( )≥ ∀ ∈0 x a b[ ]; thì b ( )d 0
a
f x x ≥
∫
b) Chứng minh rằng nếu f x( )≥g x x a b( )∀ ∈[ ]; thì b ( )d b ( )d
27 Giả sử M và m theo thứ tự là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên đoạn [ ]a b Chứng minh rằng ; ( ) b ( )d ( )
a
m b a− ≤∫ f x x M b a≤ −
28 a) Sử dụng bất đẳng thức ở bài trên để đánh giá các tích phân
0,5
b) Từ công thức I J L= + , hãy đưa ra một đánh giá chính xác hơn cho I
29 Một vật chuyển động với vận tốc v t( )= −1 2sin 2t (m/s) Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t = (s) đến thời điểm 0 3
4
t= π (s)
30 Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v t( )=160 10− t (m/s) Tính quãng đường mà vật di chuyển được từ thời điểm t = đến thời điểm mà vật dừng lại 0
31 Vận tốc của một vật chuyển động là ( ) 1 sin( ) ( )/
2
t
Tính quãng đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5giây (làm tròn đến kết quả hàng phần trăm)
32 Một vật chuyển động với vận tốc ( ) 1,2 2 4( / )
3
t
t
+
+ Tìm quãng đường vật đó đi được trong 4 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Trang 633 Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a t( )= + (m/s3t t2 2) Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc
34 Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 25m/s Gia tốc trọng trường là 9,8m/s2
a) Sau bao lâu viên đạn đạt tới độ cao lớn nhất?
b) Tính quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi chạm đất (tính chính xác đến hàng phần trăm)
35 Cho 1 ( )
3
f x x
−
=
1
g x x
−
= −
3
−
= ∫ + −
36 Biết 2
1 2
,
1 d 1 1ln
9 x
−
=
−
∫ với a b là các số nguyên dương Giá trị của , ab bằng
37 Cho hàm số f x có đạo hàm ( ) ( ) 1 , ;1
3
1 3
x
3
f − = Biết F x ( )
là nguyên hàm của f x thỏa mãn ( ) F − = Giá trị của ( )1 0 1
4
F −
bằng
A 14
27
3 Nguồn: THPT Thị Xã Quảng Trị lần 2 – năm 2022
38 Cho hàm số ( ) 22 2 khi 0
4 2 khi 0
f x
=
2
2 2
2
2
log 2
x
x
A 9
2
6
6 Nguồn: THPT Lương Thế Vinh Hà Nội lần 4 – năm 2022