Hệ phương trình vi phân pptx

Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp caoHệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNTh.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tư

Trang 1

Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao

Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng

Bài tập

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNTh.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng

Ngày 8 tháng 3 năm 2011

Trang 2

Trang 3

Bài tập

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Cho hệ phương trình vi phân (1)

Giả sử các hàm số fi(x , y1, , yn) cùng với các đạo hàm riêng

∂fi(x , y1, , yn)

∂yj , i = 1, 2, , n; j = 1, 2, , n, liên tục trong một miền Dtrong Rn+1

Giả sử x0, y0, y0, , y0 là một điểm thuộc D

nhất của hệ (1) thỏa mãn các điều kiện

y1 x =x0= y10, y2 x =x0= y20, , yn x =x0 = yn0

Trang 4

Bài tập

Các loại nghiệm của hệ chuẩn tắc

Nghiệm tổng quát của hệ (1) là bộ n hàm số

yi = ϕi(x , C1, C2, , Cn) , i = 1, 2, , n trong đó C1, C2, , Cnlà cáchằng số tùy ý thỏa mãn các điều kiện sau:

1, Nó thỏa mãn hệ (1) với mọi giá trị của C1, C2, , Cn;

2, Với mọi điểm x0, y0, y0, , y0 ở đó các điều kiện của định lý tồn tại

và duy nhất nghiệm được thỏa mãn, có thể tìm được một bộ giá trịC1= C0, C2= C0, , Cn= C0sao cho các hàm số

yi = ϕi(x , C1, C2, , Cn) thỏa mãn các điều kiện ban đầu

Trang 5

Bài tập

Phương pháp khử

Một hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp một có thể đưa được về mộtphương trình vi phân cấp cao đối với một hàm số chưa biết bằng cáchkhử những hàm số chưa biết còn lại từ những phương trình của hệ Giảiphương trình vi phân cấp cao đó, rồi tìm những hàm số chưa biết còn lại

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

y0 = 5y + 4z

z0= 4y + 5zLấy đạo hàm hai vế phương trình đầu ta được:y00= 5y0+ 4z0

Thay z0 bởi vế phải của phương trình sau, ta được y00= 5y0+ 16y + 20z

4(y

0− 5y ) Thế vào phương trình trên

ta được y00− 10y0+ 9y = 0

Nghiệm tổng quát của phương trình này là: y = C1ex+ C2e9x Tính y0

Trang 6

z0= 1

2y

Trang 7

Trừ hai vế phương trình: y0− z0 = −(y − z) ⇒ y − z = C2e−x

Trang 8

Trang 9

Bài tập

Phương pháp giải

Tìm nghiệm của hệ dưới dạng

trong đó p1, p2, , pn, λ là những số phải xác định Sau khi thế (3) vào(2), ta được hệ phương trình sau đối với p1, p2, , pn:





(a11− λ) p1+ a12p2+ + a1npn= 0a21p1+ (a22− λ) p2+ + a2npn= 0

an1p1+ an2‘p2+ + (ann− λ) pn= 0

(4)

Đó là hệ thuần nhất phải có nghiệm khác không, do đó định thức của matrận các hệ số phải bằng không

Trang 10

Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Bài tập

Phương trình (5) được gọi là phương trình đặc trưng của hệ (2) Các

nghiệm của phương trình đặc trưng gọi là giá trị riêng của hệ

y11= p11eλ1x, y21= p21eλ1x, , yn1 = pn1eλ1xy12= p12eλ2x, y22= p22eλ2x, , yn2 = pn2eλ2x

Trang 12

Bài tập

Ứng với mỗi giá trị riêng λk, từ hệ (4) ta xác định giá trị riêng

p1k, p2k, , pnk, k = 1, 2, , n Khi đó hệ phương trình vi phân có nnghiệm:

y11= p11eλ1x, y21= p21eλ1x, , yn1= pn1eλ1xy12= p12eλ2x, y22= p22eλ2x, , yn2= pn2eλ2x

Trang 13

yn= C1yn1+ C2yn2+ + CnynnTH2: Phương trình đặc trưng có s nghiệm thực λ1, λ2, , λs lần lượtbội l1, l2, , ls(l1+ l2+ + ls = n) Khi đó nghiệm của (2) có dạng:





y1= p11(x )eλ 1 x+ p12(x )eλ 2 x+ + p1s(x )eλ s xy2= p21(x )eλ 1 x+ p22(x )eλ 2 x+ + p2s(x )eλ s x

yn= pn1(x )eλ 1 x+ pn2(x )eλ 2 x+ + pns(x )eλ s x

Trang 14

Bài tập

Các hệ số của đa thức phụ thuộc n hằng số tùy ý C1, C2, , Cn Dựa vào

hệ phương trình (2) có thể tìm được các hệ số đó bằng phương pháp hệ

số bất định

TH3: Nếu phương trình đặc trưng có các nghiệm phức, xây dựng nghiệmtổng quát dưới dạng thực tương tự như đối với phương trình vi phântuyến tính cấp hai hệ số hằng, nghĩa là lấy các nghiệm riêng là phần thực

và phần ảo của nghiệm riêng phức tương ứng

Trang 15

= 0 ⇔ λ3−6λ2+11λ = 0 ⇔ λ1= 1, λ2= 2, λ3= 3

Véc tơ riêng ứng với λ = 1 là (2, 1, −2);

Véc tơ riêng ứng với λ = 2 là (7, 3, −8);

Véc tơ riêng ứng với λ = 3 là (3, 1, −3)

Vậy nghiệm tổng quát của hệ phương trình:







x = 2C1et+ 7C2e2t+ 3C3e3t

y = C1et+ 3C2e2t+ C3e3t

z = −2C1et− 8C2e2t− 3C3e3t

Trang 16

2ax + 2b + a = (a − c)x + b − d2cx + 2d + c = (a + 3c)x + (b + 3d )

Trang 17

Trang 18

... data-page="7">

Đưa hệ phương trình vi phân phương trình vi phân cấp cao

Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng

Trừ hai vế phương trình: y0−... data-page="5">

Đưa hệ phương trình vi phân phương trình vi phân cấp cao

Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng

Bài tập

Phương pháp... khử

Một hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp đưa mộtphương trình vi phân cấp cao hàm số chưa biết cáchkhử hàm số chưa biết cịn lại từ phương trình hệ Giảiphương trình vi phân cấp cao đó,

Định dạng
Số trang	29
Dung lượng	302,41 KB