Së gd ®t hµ tÜnh Së gd ®t hµ tÜnh trêng thpt h¬ng khª §Ò thi chän häc sinh giái líp 10 M«n To¸n NĂM HỌC 2008 2009 Thời gian làm bài 180 phót (kh«ng kể thời gian giao đề) Bµi1(8®) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2[.]
Trang 1Sở gd-đt hà tĩnh
trờng thpt hơng khê Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10
Môn Toán NĂM HỌC 2008-2009
Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời
gian giao đề)
Bài1(8đ)
1) Giải phơng trình: x =(2009+ x)(1− 1− x)2
2) Giải hệ phơng trình:
2 2 19( )2
x xy y x y
x xy y x y
Bài 2(4đ)
Cho hai số dơng a và b Đặt
1 3 3; 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của Q P
Bài 3(3đ)
Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC; h h h, ,
a b c là
độ dài các đờng cao lần lợt ứng với các cạnh BC, CA, AB
Chứng minh rằng:
h1 .IA h1 .IB h1 .IC 0
uur uur uur r
Bài 4(3đ)
Tính các góc của tam giác ABC biết
sin :sin :sinA B C= 2 : 3 : 2 + 3
Bài 5(2đ)
Cho ba số thực a,b,c thoả mãn a + b + c < 0 Biết rằng phơng trình ax2 + + =bx c 0 vô nghiệm Hãy xác định dấu của c?
Hết _
Trang 2Së gd-®t hµ tÜnh
NĂM HỌC 2008-2009
Bài 1(8 điểm).
1) Điều kiện: 0 ≤ ≤x 1 Với điều kiện đó thì (1 + 1 − x) 2 > 0 nên
2 2
2
2
2 (2009 )(1 1 )
0
=
⇔
x
Ta thấy với 0 ≤ ≤x 1 thì 0 1 ≤ − x≤ ⇒ 1 (1 + 1 − x) 2 ≤ ⇒ 4 VP≤ 4 mà
VT= + x≥ nên pt (*) vô nghiệm
Vậy pt đã cho có một nghiệm là x = 0
2)
2 2 19( )2 (1)
x xy y x y
x xy y x y
Ta có
5( )
x y x y
Vậy hệ đã cho có ba nghiệm (x; y) là ( 0; 0); ( -2; - 3) và (3; 2)
Trang 3Bài 2 (4 đ) Vì a > 0, b > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:
3 3
1 1 ; a 1 1 a; b 1 1 3b
Cộng vế theo vế ba bđt trên ta được:
3
3
3 3
3
3 3
1.
a b
a b
a b
P
P Q
Q
Vậy giá trị nhỏ nhất của P
Q là 1, đạt được khi a = b = c = 1
Bài 3 (3 đ)Ta dễ dàng chứng minh được
aIA bIB cICuur+ uur+ uur r=0
Thay 2 ; 2 ; c=2
= = ta có điều phải chứng minh.
Bài 4 (3đ) Từ giả thiết ta có:
sin2 sin3 sin
A= B= C
+ Áp dụng định lý Sin ta có
2
a = b = c = ⇒x a = b = c =x
+
Ta có
2 0
cos
45
A
A
+
⇒ =
Tương tự ta tính được cos 1 600
2
B= ⇒ =B Vậy các góc cần tìm là :
A= 45 ; 0 B= 60 ; 0 C= 75 0
Bài 5 (2đ) Ta xét hai trường hợp a= 0 và a≠ 0
* Khi a = 0 : phương trình trở thành bx + c = 0 Do phương trình vô nghiệm nên b = 0 và c≠ 0 Ta có a = b = 0 và c≠ 0, vì a + b + c < 0 nên c
< 0
Trang 4* Khi a≠ 0 : đặt f x( ) ax = 2 +bx c+ Do pt vô nghiệm nên f(x) không đổi dấu trên R Vì f(1)= a + b + c < 0 nên f(x) < 0 với mọi số thực.
Do đó f(0)= c < 0 Vậy c < 0.