PHOØNG GIAÙO DUÏC CHAÂU THAØNH

PHOØNG GIAÙO DUÏC CHAÂU THAØNH ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2020 2021 Môn Toán 9 Thời gian 150 phút Bài 1 (4đ) a) Chứng minh    2 1 2 1n n  chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n b) T[.]

ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021

Môn:Toán 9 Thời gian: 150 phút Bài 1 (4đ):

a) Chứng minh: 2n 1 2  n 1

  chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n b) Tìm n  để n2 n13 là số chính phương

Bài 2 (2đ):

9

x

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị biểu thức P khi 310 6 3 3 1

6 2 5 5

Bài 3 (3đ):

a) Cho x, y, z > 0

Chứng minh rằng 1 1 1xyz  1xy  1yz  1xz

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A= x2 2xy6y2 12x2y45

Bài 4 (3đ):

a ) Giải phương trình

2

x



b)Cho x,y,z 0 thỏa mãn x +y +z = 2019 và 1 1 1 1

2019

xyz  Chứng minh rằng trong ba số x, y, z phải có ít nhất một số bằng 2019

Bài 5(2đ) :

Cho tam giác ABC có BC = a, các trung tuyến BD, CE Lấy các điểm M, N trên BC sao cho

BM = MN = NC Gọi I là giao điểm của AM và BD , K là giao điểm của AN và CE

Tính độ dài IK

Bài 6 (4đ):

Cho hình vuông ABCD M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD Kẻ ME vuông góc AB, MF vuông góc AD C/m:

a) DE = CF và DE  CF

b) Ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy

c) Xác định vị trí của M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất

Bài 7 (2đ): Cho hình chữ nhật ABCD có AB= 2BC Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE cắt đường

thẳng CD tại F Chứng minh rằng 12 12 1 2

4

AE AE  AF

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC:2020-2021 Môn:Toán 9

ĐIỂM Bài 1 (4đ):

a) Chứng minh: 2n 1 2  n 1

  chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n 2n 1 2  n 1 22n 1 4n 1

Vì 4n 1 4 1

  

Nên 2n 1 2  n 1 3

Ta có n2 n13=k2

4 4 52 4

2n 1 2k 2n 1 2k 51

Giải phương trình ta được n=-12, n=-3, n=13, n=4

Bài 2 (2đ):

a) Rút gọn biểu thức P

Điều kiện

0 4 9

x

x

x











 



9

x

:

9

2 3

x



=

3

:

x x



    

=

4

:



2 3

x

b) Tính giá trị biểu thức P khi 310 6 3 3 1

6 2 5 5

3

2

3 1 3 1

10 6 3 3 1

1đ

1 đ

1đ 1đ

0,5đ

1đ

= 3 1  3 1

2

5 1 5



 

2 2

1 2

2

P   

Bài 3 (3đ):

a) Chứng minh rằng 1 1 1xyz  1xy  1yz  1xz

Áp dụng BĐT Côsi ta có 1 1x y 2xy

1 1yz 2yz

1 1z x 2

zx

 

Cộng vế theo vế ta được 1 1 1x yz  1xy  1yz  1xz

Dấu = xảy ra khi x=y=z

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của A= x2 2xy6y2 12x2y45

A= x2 2xy6y2 12x2y45

= x2y2 36 2 xy12x12y5y2 10y 5 4

= x y  625y12  4 4

Dấu “=” xảy ra khi 6 0

1 0

x y y

   



 



7 1

x y

 

 



 Vậy GTNN của A là 4 khi x=7; y=1

Bài 4(3đ)

a) Giải phương trình

2

x



2

x

         



0

           

 2 

x

x2 2 0

2

x

b) Cho x,y,z 0 thỏa mãn x +y +z = 2019 và 1 1 1xyz 20191

Chứng minh rằng trong ba số x, y, z phải có ít nhất một số bằng 2019.

b) 1 1 1xyz 20191 2019

2019

x y z

2019 z 2019 2019 x y xy 0

0,5đ

1đ 0,5đ

1đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

2019 z 2019 2019 x y2019 x 0

2019 z 2019 x 2019 y 0

2019

2019

2019

x

y

z









 



Vậy trong 3 số x, y, z có ít nhất một số bằng 2019

Bài 5(2đ)

Cho tam giác ABC có BC = a, các trung tuyến BD, CE Lấy các điểm M, N trên BC

sao cho BM = MN = NC Gọi I là giao điểm của AM và BD , K là giao điểm của AN và

CE Tính độ dài IK

Giải :

Xét AMC có DN là trung bình  DN // AM

BND có MB = MN và MI // ND

 I là trung điểm của BD

Tương tự : K là trung điểm của CE

Tứ giác BCDE là hình thang có I, K là trung điểm hai đường chéo

Nên : IK =

2

BC DE

= 2

a

a a



Bài 6: Cho hình vuông ABCD M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD Kẻ ME vuông

góc AB, MF vuông góc AD C/m:

a) DE = CF và DE  CF

b) Ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy

c) Xác định vị trí của M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất

Giải:

a/ Tứ giác AEMF là hình chữ nhật  AE = MF

Tam giác MDF vuông cân ở F  MF = FD  AE = FD

AED = DFC ( cgc)  DE = CF và ¶ µ

Mà : ¶ · 0

90

CND 

Tức là DE  CF

b/ Tương tự : CE  BF

Ta có : MC = MA ( M  BD) và MA = EF nên : MC = EF

MCF = FED (ccc)  · FED MCF·

Ta lại có: FED EFC· · 900 Nên MCF EFC· · 900

0,5đ

0,5đ 0,5đ 1đ

2đ

1đ

Gọi H là giao CM và EF   0

90

H 

Trong tam giác ECF có: CM, ED, FB là ba đường cao nên chúng đồng quy

c/ Cho chu vi tứ giác AEMF là 2a không đổi nên: ME + MF = a không đổi

Do đó ME MF ( là diện tích tứ giác AEMF) lớn nhất khi và chỉ khi ME = MF

 AEMF là hình vuông

Khi đó M  O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình vuông ABCD

Bài 7 (2đ) Cho hình chữ nhật ABCD có AB= 2BC Trên cạnh BC lấy điểm E Tia

AE cắt đường thẳng CD tại F Chứng minh rằng 12 12 1 2

4

AE AE  AF

Kẻ AK AF ( K CD)

 ABE và ADK

Có: ABE KDA 900

BAE KAD  ( cùng phụ DAE )

Nên  ABE ADK

2

AE AB

AK AD

Tam giác AKF vuông tại K

Ta có 1 2 12 12

AD AK AF

2

AF

Hay 12 12 1 2

4

AE AE  AF

1đ

1đ

1đ

E A

D

B

C

F K