Chuyên đề bài tập bất đẳng thức

DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 95 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNGBÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1... DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 98 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNGBài 6.. DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 100 GIÁ

Trang 1

DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 95 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1 Với x y z , , là các số thực dương sao cho 1

Bài 2 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x y   3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 3

Trang 2

3 a b a b ab a     b  Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: M a2 8 b2 2

a a a b

Vậy Mđạt giá trị nhỏ nhất là 9khi a  2; b  1

Bài 4 Cho x, ylà các số thực dương thỏa mãn x 2  y 2  1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x 1 y 1

Trang 3

1 1 2

x x x x x x

Trang 4

Bài 6 Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn: ab bc ac  3abc Tìm giá trị nhỏ nhất của

Trang 5

3

20

xyxy

Trang 6

Bài 9 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A a2 b2 c2

Dấu " "  xảy ra khi a b c  1

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A a2 b2 c2

Trang 7

Vậy GTNN A 3 khi và chỉ khi x    3 5 x x 4

Trang 8

Bài 13 Cho x y , là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x y   6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x y 6 24

Vậy giá trị nhỏ nhất của P 15 Dấu bằng xảy ra khi x  2; y  4

Bài 14 Cho a b c , , 0 Chứng minh rằng

Trang 9

Vì a b c , , 0 nên suy ra dấu bằng xảy ra khi a b c 

Bài 15 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Vậy GTNN P  3 khi và chỉ khi a b c  hay là tam giác đều

2) Ta coi như hình vẽ thành bài toán đường tròn tâm  O nội tiếp tam giác đều ABC vậy tâm

 O của đường tròn sẽ trùng với trọng tâm tam giác ABC vậy nên đường cao của tam giác đều là 3R (với R là bán kinh đường tròn  O )

Bài 16 Cho ba số dương a, b, c thoả mãn ab bc ca1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A a2 b2 c2

a b b c c a

Trang 10

2

a b

Trang 11

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4  4

2

a a

Bài 18 )Cho các số thực x y z; ; thỏa mãn 2 x 3;4 y 6;4 z 6và x y z  12

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P xyz

Bài 19 Cho x, ylà các số thực thỏa mãn x xy y2  2 3

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P x 2y2

1

x y

 



 



Trang 12

Bài 20 Cho biểu thức M x   y với x y, là các số thực thỏa mãn 0    y x 4và x y   7 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M

Vậy Max M  25khi và chỉ khi x  4; y  3

Bài 21 Cho x y , là các số dương thỏa mãn điều kiện x y   5 Chứng minh

rằng: 225 2 12,5 4

Lời giải

Dễ dàng chứng minh được với a  0, b  0 ta có 1 1 4

a b a b   (1) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y   2,5 ( thỏa mãn)

Bài 22 Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x 7, x y   12 và x y z    15 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x  2  y 2  z 2

     (vì x 7, x y   12 và x y z    15)

83

A 

Dấu “ = ” xảy ra khi x 7, y  5, z 3 (thỏa mãn)

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 83khi x 7, y  5, z 3

Trang 13

Bài 23 Cho a b c, , là các số dương thay đổi thỏa mãn a b b c c a1  1  1 2020 Tìm giá trị lớn

Trang 14

Vậy Max M  25khi và chỉ khi x  4; y  3

Bài 25 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:A x 2y 2 1 5 4x  y 1 16

xy

Trang 15

4

Dấu “” xảy ra khi a 2; b 3; c 4

Vậy GTNN của biểu thức A bằng 13 khi a 2; b 3; c 4

y x

y



2 2

(d) B

A

H

Vì m   2 1 0với mọi mnên đường thẳng d luôn xác định

Gọi A là giao điểm của đường thẳng d với trục Oy, B là giao điểm của đường thẳng d với trục Ox Khi đó tọa độ của A và B là A 0;4 ; 24 ;0

1

B m





Trang 16

Xét tam giác OAB vuông tại O, vì OH AB nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 1 2 12 12

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m 0

Vậy với m 0 thì khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất là 2 2

Bài 29 Một doanh nghiệp xuất khẩu gạo ước tính rằng , trong tháng 2/2020 , nếu doanh nghiệp xuất khẩu gạo với giá là 500 USD/tấn thì họ sẽ xuất khẩu được khoảng 860 tấn gạo Tuy nhiên nếu hạ giá gạo và cứ mỗi lần giảm giá 25 USD/tấn thì sẽ xuất khẩu thêm được 50

tấn gạo Hỏi doanh nghiệp cần bán gạo với giá bao nhiêu USD mỗi tấn để doanh thu xuất khẩu gạo trong tháng 2/2020 là lớn nhất?

Lời giải

Doanh thu dự kiến xuất khẩu trong tháng 2 là 860 500 430000   (USD)

Gọi số lần giảm giá là x (lần), điều kiện x   * ,0   x 20

Giá gạo sau khi giảm giá là 500 25x (USD/tấn)

Số gạo xuất khẩu được sau khi giảm giá là 860 50x (tấn)

Doanh thu sau khi giảm giá gạo là P500 25 860 50 x  x (USD)

Để doanh thu xuất khẩu gạo trong tháng 2/2020 là lớn nhất thì P phải lớn

Trang 17

Bài 30 Cho x, y là hai số không âm thỏa mãn x2y24 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Khi x y   2 thì A 8 3, do đó giá trị lớn nhất của A là 8 3

Bài 31 Giải phương trình 2 x   5 7 2  x  3 x 2  18 x  29

Trang 18

Bài 32 Cho ba số dương x y z , , thỏa mãn điều kiện x y z    1

Trang 19

Bài 34 Một doanh nghiệp xuất khẩu gạo ước tính rằng , trong tháng 2/2020 , nếu doanh nghiệp xuất khẩu gạo với giá là 500 USD/tấn thì họ sẽ xuất khẩu được khoảng 860 tấn gạo Tuy nhiên nếu hạ giá gạo và cứ mỗi lần giảm giá 25 USD/tấn thì sẽ xuất khẩu thêm được 50

tấn gạo Hỏi doanh nghiệp cần bán gạo với giá bao nhiêu USD mỗi tấn để doanh thu xuất khẩu gạo trong tháng 2/2020 là lớn nhất?

Lời giải

Doanh thu dự kiến xuất khẩu trong tháng 2 là 860 500 430000   (USD)

Gọi số lần giảm giá là x (lần), điều kiện x   * ,0   x 20

Giá gạo sau khi giảm giá là 500 25x (USD/tấn)

Số gạo xuất khẩu được sau khi giảm giá là 860 50x (tấn)

Doanh thu sau khi giảm giá gạo là P500 25 860 50 x  x (USD)

Để doanh thu xuất khẩu gạo trong tháng 2/2020 là lớn nhất thì P phải lớn

Bài 35 Cho x y , là các số thực dương thỏa mãn x y 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2 31

Trang 20

Bài 36 Cho ba số a, b, cdương

2

22

Trang 21

Bài 38 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2x2 2xy y2 3x 1 2 x 2 2020.

Bài 40 Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn điều kiện a b b c c a  24 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a b c  

Trang 22

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a b c   là 12 khi a b c  4

Bài 41 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c  2019 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2a ab2 2b2  2b bc2 2c2  2c ca2 2a2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2019 5, đạt được khi a b c  673

Bài 42 a) Cho x y z, , là ba số dương Chứng minh x y z 1 1 1 9

Trang 23

  dấu bằng xảy ra khi a b c  2 Suy ra GTLN của A bằng 1

Bài 43 Gọi m là giá trị nhỏ nhất trong ba số   2  2 2

x y  y z  z x  với x y z , , là ba số thực bất kì Chứng minh 1 2 2 2

Trang 24

Bài 44

Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá

trên một góc hồ Biết rằng lưới được

giăng theo một đường thẳng từ một vị

trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ

dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm

Đặt tên các điểm như hình vẽ ĐặtCJ x x  ,(  0).

Vì hai tam giác AJC và BKA là hai tam giác đồng dạng nên:

Trang 25

Bài 45 Cho x y z, , là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xy yz xz  3xyz

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 46 Cho hình vuông ABCD có cạnh là 30cm

Trên cạnh AB lấy hai điểm E, G sao

Lời giải

Trang 26

K

Ta có AE GB x   (0   x 15)  EG  30 2  x

Kẻ đường cao AK của AGE

Vì AGE cân tại A nên 30 2 15

Trang 27

    minP7 đạt được khi x y   1

Bài 48 Cho các số x0,y0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 28

Bài 49 Với a, b, c là các số dương thỏa mãn ab bc 2ac Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 4 khi a b c 

Bài 50 Cho xy yz zx    1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S  3x 2  y 2 z 2

Trang 29

Bài 51 Với các số thực a, b, c thay đổi thỏa mãn a 1; b 1; 0 c 1 và a b c  3

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b c2 2 2



x y P

Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi x y   0

Vậy MinP12 khi x y   0

Trang 30

Bài 53 Với a b, là các số thựca1,b1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a21 b21

Vậy Giá trị nhỏ nhất của P 8khi và chỉ khi a b 2

Bài 54 Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn x y z  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q 2x2  x 1 2y2  y 1 2z2 z 1

Trang 31

Bài 55 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

Trang 32

Bài 59 Cho x, y là các số thực thỏa mãn x  2 và x y   3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :P x2 y2 1 1

Trang 33

Bài 60 Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 2020 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 60 Cho a  0, b  0, c  0thỏa mãn 2 b 2  bc c  2  3 3 a  2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T a b c 2 2 2

Trang 34

Dấu “=” xảy ra khi a b c 

Áp dụng cô-si cho 2 số dương theo từng cặp:

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức Tbằng: 9 khi và chỉ khi a b c 1  

Bài 61 Cho hai số x  0, y  0 và x y   1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 1 12 1 12

2

x y  

Trang 35

Bài 62 Cho bốn số dương a b c d, , , Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c d   

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2020 khi a b c d     0

Bài 63 Cho các số thực dương a, b thay đổi luôn thỏa mãn a   3 b   3 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  a  b

Trang 36

 

Vậy giá trị lớn nhất của A là 12khi a b c  13

Bài 65 Cho ba số a, b, c dương Chứng minh 21 21 2 1

Trang 37

Trang 38

Dấu “=” xảy ra khi a b c 

Bài 68 Cho a b c , , là các số dương và a b c    3

Lời giải

1

a b b c b

1

a c b c c

Trang 39

Trang 40

y x

Trang 41

x y x x y y

Trang 42

Trang 43

Bài 75 Với x y , là các số dương thỏa mãn điều kiện x  2 y, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x2 y2

Bài 76 Cho hai số dương a và b thỏa mãn 1 1 2

a b  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Trang 44

Bài 77 Cho a b , là các số không âm thỏa mãn a 2  b 2  2

Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết, ta có: 4 2  ab   4 a 2  b 2  6 Từ

đó ta có ngayM 6 Dấu bằng xảy ra   a b 1

Bài 78 Với a, b, c là các số dương thoả mãn có ab bc 2ac Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi a b c 

Bài 79 Cho x y 1 Chứng minh 4 4 1

Trang 45

ty phải giảm giá tour là bao nhiêu để doanh thu từ tour xuyên Việt là lớn nhất

Lời giải

Gọi xlà giá tour (triệu đồng; 0 x 2)

Giá đã giảm so với ban đầu là 2 x (triệu đồng)

Vì mỗi lần giảm giá tour 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm 20 người tham gia nên số người tham gia tăng thêm khi giảm 2 x triệu đồng là (2x) : 0,1.20 400 200  x (người)

Tổng số người tham gia là: 150 400 200  x550 200 x ( người)

Vậy giá tour là 1,375000 triệu đồng

Bài 81 Cho x  0; y  0 thỏa mãn x y   1 Tìm giá trị nhỏ nhất của M x 1 2 y 1 2

Trang 46

2

Bài 82 Cho hai số dương x y , , có x y   1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B 1 12 1 12

Trang 47

Bài 83 Cho các số thực a b c , , thỏa mãn a b c    7 vàab bc ca    15

Bài 84 Cho ba số thực không âm a ;b ;c thay đổi thỏa mãn a  b  c  3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Trang 48

Vậy giá trị nhỏ nhất M  6 3 dấu bằng xảy ra khi a b c  1

Bài 85 Cho a b , là các số thực sao cho a 2  ab b  2   a b Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  505 a  505 b

Lời giải Tìm Min:

Trang 49

GTNN của P là 0 khi c  0, a  3, 0 b  và các hoán vị của nó

Bài 87 Cho xy yz xz    1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M  3x 2  y 2 z 2

1

5 2 5

x y z

Trang 50

Bài 88 Cho a b c , , dương và a b c  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 89 Cho 3 số thực dương x y z , , thỏa mãn điều kiện x y z  3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

Trang 51

Bài 90 Cho x, y, z là ba số thực thỏa mãn điều kiện:  1  1  1 4

Trang 52

Bài 92 Cho các số thực dương x, y là những số thực thỏa mãn: x y xy  8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x  2  y 2

Dấu bằng xảy ra khi x y 2

Vậy MinP  8 khi x y 2

2

x y xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x  2  4 y 2  4 xy

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 9 tại x  2 và y 12

Bài 94 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 x 2 x 4x2

Tiêu đề	Chuyên đề bài tập bất đẳng thức
Tác giả	Nhóm tác giả
Người hướng dẫn	Giáo viên Cù Minh Quảng
Trường học	Đại học Sư phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Giáo án
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	58
Dung lượng	695,87 KB