100 bài tập bất ĐẲNG THỨC ôn THI vào 10 chuyên

Chứng minh rằng... Tìm GTNN của biểu thức... Chứng minh rằng 2 ab bc ca... Tìm GTNN của biểu thức... 10a b ca 10b ca b 10c12 Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=mi7GHKoj

Trang 1

100 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1: Cho a, b, c0 và thỏa mãn a    b c ab  bc  ca  6abc.

Chứng minh rằng : 12 12 12 3

a b c 

(Trích đề thi vào 10 Hà Nội năm học 2013 - 2014)

Bài 2: Cho x, y, z0 và xy z2 2x z2  y 3z 2 Tìm GTLN của

4

z



(Trích đề thi vào 10 chuyên Lam Sơn năm học 2018 - 2019)

Bài 3: Cho a, b, c0 và thỏa mãn 4 4 4 4 4 4 4 4 4

a b b c c a 3a b c Chứng minh rằng : 2 1 2 2 1 2 2 1 2 3

a b 2c 1b c 2a 1c a 2b 1 4

(Trích đề thi vào 10 chuyên Hưng Yên năm học 2017 - 2018)

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=F1bMZNFa3k8&t=1075s

Bài 4: Cho a, b, c0. Chứng minh :     8  

9

Bài 5: Cho a, b, c0 và thỏa mãn ab b c c a    1.Chứng minh : ab bc ca 3

4

(Trích đề thi vào 10 chuyên Hà Nội năm học 2015 - 2016)

Bài 6: Cho a, b, c0 và thỏa mãn ab  bc  ca  abc  2.

Tìm GTLN của biểu thức M 2 a 1 2 b 1 2 c 1

(Trích đề thi vào 10 chuyên KHTN vòng II năm học 2017 - 2018)

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=JcwNhQ7hA5Q&t=1285s

Bài 7: Cho a, b, c0 và thỏa mãn a b c3

Tìm GTNN của biểu thức P 3a22ab 3b 2  3b22bc 3c 2  3c22ca 3a  2

Bài 8: Cho a, b, c0 và thỏa mãn a    b c 62.

Tìm GTLN của biểu thức P 5a238ab 21b 2  5b238bc 21c 2  5c2 38ca21a 2

Bài 9: Cho a, b, c0 và thỏa mãn 12 12 12 1

a b c  Tìm GTLN của biểu thức

(Trích đề thi vào 10 chuyên Thái Bình năm học 2018 - 2019)

Trang 2

Bài 10: Cho a, b, c0 và thỏa mãn 1 1 1 2.

a  b c Chứng minh rằng :

3

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=hxUc1jXIOP0&t=1049s

Bài 11: Cho a, b, c, d0. Chứng minh : ab c d   ac bd

Bài 12: Cho x, y0. Chứng minh :

1 xy



Bài 13: Cho a, b, c0 và a    b c 2018.

(Trích đề thi vào 10 chuyên Ninh Bình năm học 2017 - 2018)

Bài 14: Cho a, b0. Tìm GTLN của   3 3

(Trích đề thi vào 10 chuyên KHTN vòng I năm học 2017 - 2018)

Bài 15: Cho a, b, c0 và a b 2. Tìm GTLN của Q 21 21 1 1 1

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=k7kAEMrHFvA&t=1661s

Bài 16: Cho a, b, c1. Chứng minh rằng : a2 b2 c2 12

b 1c 1a 1

(Trích đề thi vào 10 Hưng Yên năm học 2015 - 2016)

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=wMQv243mlb4&t=591s

Bài 17: Cho x, y, z0 và 1 1 1 3

x  y z Tìm GTLN của biểu thức

     

(Trích đề thi vào 10 chuyên Toán Hà Nội năm học 2018 - 2019)

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=GPNMy6eVbIM&t=453s

Bài 18: Cho x, y, z0 và xy  yz  zx  xyz.

     

Trang 3

Bài 19: Cho a, b, c0 và ab  bc  ca  abc.

Tìm GTLN của biểu thức 2 a 2b 2 c

  

Bài 20: Cho x, y, z0 và 12 20 15 1

xy yzzx  Tìm GTLN của biểu thức

  

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=aFbC3wu5EoA&t=494s

Bài 21: Cho x, y, z0 và xz.

Chứng minh rằng :

2



  

(Trích đề thi HSG Thanh Hóa năm học 2017 - 2018)

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=b80mXnL1FM8&t=1726s

Bài 22: Cho a, b, c0 và ab  bc  ca  1.

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=OJdwZWpUXDs&t=1363s

Bài 23: Cho a, b, c0 và thỏa mãn a  b c 3

Tìm GTNN của biểu thức

Bài 24: Cho a, b, c0. Chứng minh rằng 1 4 9 36

a  b c a b c

 

Bài 25: Cho a, b, c0 và thỏa mãn 2 2 2

a  b  c  1.

Chứng minh rằng 2 1 2 1 2 1 9

a bcb ca c ab2

  

Bài 26: Cho a, b, c0 Chứng minh rằng :

a b c

  

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=OHbhl1j2C1Q&t=1273s

Bài 27: Cho x, y, z0 và thỏa mãn x  y z 3

Chứng minh rằng

2

  

Trang 4

Bài 28: Cho a, b, c0 và thỏa mãn abc  1.Chứng minh rằng :

1 b1 c1 a 2

  

Bài 29: Cho a, b, c0 và thỏa mãn a    b c 1.

Tìm GTNN của biểu thức Q 2 12 2 1

 

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=RhjIJcuTkk0&t=927s

Bài 30: Cho a, b, c0 và thỏa mãn a  2b  3c  10.

Tìm GTNN của biểu thức P a b c 3 9 1

Bài 31: Cho   1 a 1

Tìm bmax để bất đẳng thức : 4    2 2

2 1 a  b 1 1 a  1 a   b 4 0 luôn đúng

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=YUfgcztjTvg&t=730s

Bài 32: Cho x, y0 và thỏa mãn 42 12 2

x y  Chứng minh rằng x24xy 6y 22x6

Bài 33: Cho a, b, c0 và abc    a b 3ab.

a b 1 bc c 1 ca c 1

(Trích đề thi HSG Phú Thọ năm học 2011 - 2012)

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=BmrcX-bgLPY&t=149s

Bài 34: Cho x, y0 và thỏa mãn 3 3

x y x y Chứng minh rằng 2 2

x xyy 1

Bài 35: Cho x, y, z0 và thỏa mãn x 2  y 2  z 2  2.

Tìm GTNN và GTLN của biểu thức P x y z

(Trích đề thi HSG Hà Nội năm học 2016 - 2017)

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=BYKYliyrGoY&t=170s

Bài 36: Cho a, b, c0 và thỏa mãn ab  bc  ca  3abc.

(Trích đề thi HSG Bắc Giang năm học 2018 - 2019)

Bài 37: Cho a, b, c0 và thỏa mãn a    b c 3.

Trang 5

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=0yqupxvd2DA&t=195s

Bài 38: Cho a, b0 và thỏa mãn a   b 1.

Tìm GTNN của biểu thức 2 2

    

(Trích đề thi HKI Hoàng Mai năm học 2018 - 2019)

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=gLmhMlQQXfo

Bài 39: Chứng minh : 3 3 3    2 2 2 

a b c  a b c a b  c ab bc ca  3abc a, b, c.

Bài 40: Cho a, b, c0.Tìm GTNN của  

131 a b c

4abc 60 ab bc ca

30 a b c

(Trích đề thi HSG Thanh Hóa năm học 2016 - 2017)

Bài 41: Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn abc bcd cda  dab    a b c d 2017

Chứng minh rằng :  2  2  2  2 

a 1 b 1 c 1 d  1 2017

Bài 42: Cho a, b, c0 và 2 a b c a2 b2 6.

     

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=IhwIDaQNO9Q

Bài 43: Cho x, y, z0 và xyz  1. Chứng minh rằng : x y z 1

x 2 y 2z 2

  

Bài 44: Cho x, y, z0 và thỏa mãn x  yy  zz  x 1.

3

Bài 45: Cho x, y, z0 và thỏa mãn x y 2  xy 2    x y 3xy.

Tìm GTNN của biểu thức  2

2xy

Bài 46: Cho x, y0 và thỏa mãn 2 xy x 1.

3

  Tìm GTNN của P y 4x 15xy

x 3y

(Trích đề thi chuyên Bắc Giang năm học 2017 - 2018)

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=u7Q-pAdnGlQ

Trang 6

Bài 47: Cho a, b, c0 và thỏa mãn a    b c 1. Tìm GTNN của    

1 a 1 b 1 c  

1 a 1 b 1 c



(Trích đề thi HKI Phúc Thọ năm học 2018 - 2019)

Bài 48: Cho x, y, z0 và x  2y  3z  20.Tìm GTNN của A x y z 3 9 4

(Trích đề thi HKI Minh Khai năm học 2018 - 2019)

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=dybu7HgGWkw

Bài 49: Cho a, b0.Chứng minh rằng a b 3 a b

6



Bài 50: Cho a, b, c, d0 và thỏa mãn abcd1

Tìm GTNN của biểu thức P 1 a  1 b  1 c  1 d  

Bài 51: Cho 1 a, b, c 2.Chứng minh rằng   1 1 1

     

Bài 52: Cho x, y0 và thỏa mãn x   y 1. Chứng minh rằng :  4 4 1

xy

Bài 53: Cho a, b, c0 và thỏa mãn ab  bc  ca  abc.

a 2b 3c2a 3b c3a b 2c16

(Trích đề thi chuyên Vinh năm học 2002 - 2003)

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=Fsr4ctm-lUU&t=189s

Bài 54: Cho x, y, z0 và x    y z xyz.

2

xyz

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=M9iwg81LjPA&t=98s

Bài 55: Cho a, b, c0 và abc  1.Chứng minh rằng : a b c 3

ab 1bc 1ca 12

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=e5Lh0YCdQwI

Bài 56: Cho a, b, clà các số thực không âm và thỏa mãn a    b c 3.

K 12a b c  12b c a  12c a b

(Trích đề thi HKI Hoàn Kiếm năm học 2018 - 2019)

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=G-FfiD6zLf4

Trang 7

Bài 57: Cho x, y là các số thực thỏa mãn  3

x  y  4xy  2.

Tìm GTNN của biểu thức :  4 4 2 2  2 2

A3 x y x y 2 x y 1

Bài 58: Cho x, y, z0 và xy  yz  zx  1.

Tìm GTNN của biểu thức : 2 2 2

Px 28y 28z

Bài 59: Cho x, y, z0 và 2 2 2

x y z 2. Chứng minh rằng : x   y z 2 xy

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=jcb2hV39TsI&t=2327s

Bài 60: Cho x, y, z0 và x x 1   y y 1  z z 1  18.

x y 1 y z 1 z x 1

     

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=3esqHSX5njE&t=761s

Bài 61: Cho x, y, z0. Chứng minh x y z 5x3 y32 5y3 z32 5z3 x32 0

(Trích đề thi HSG Ninh Giang năm học 2018 - 2019)

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=P9jdZKv2S7U&t=599s

Bài 62: Cho a, b, c0 và a   b 1.

Tìm GTNN của biểu thức : 2 2

Bài 63: Cho a, b, c0 và 2 2 2

a  b  c  3.

3

6a 8ab 11b 6b 8bc 11c 6c 8ca 11a

(Trích đề thi HSG Hải Dương năm học 2016 - 2017)

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=QrGZEoMR5zo&t=1014s

Bài 64: Cho 0x, y 1. Tìm GTLN của biểu thức 2 2

P  x y x 1 y y 1 x 

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=AHzXh_ooEBc&t=953s

Bài 65: Cho a, b, c0 và a    b c 3.

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức K 3a 1  3b 1  3c 1.

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=lqr6lWvQUvk

Trang 8

Bài 66: Cho a, b, c0. Chứng minh

3

(Trích đề thi HSG Đông Sơn năm học 2018 - 2019)

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=tim4surxXA8&t=399s

Bài 67: Cho a, b, c0 và a    b c 3. Tìm GTNN của P a b c

(Trích đề thi HSG Vĩnh Tường năm học 2018 - 2019)

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=hV-UMk2CkAc&t=1s

Bài 68: Cho a, b, c0 và a    b c 1. Tìm GTNN của

(Trích đề thi vào 10 Hải Phòng năm học 2016 - 2017)

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=dqbs7t3IvQg&t=142s

Bài 69: Cho a, b, c0 và a    b c 3.

(Trích đề thi vào 10 chuyên Toán Bắc Ninh năm học 2017 - 2018)

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=mb3s-zi35gU&t=221s

Bài 70: Cho x, y, z0 và x y z 3.

4

2x y z x 2y z x y 2z

(Trích đề thi vào 10 Hải Phòng năm học 2018 - 2019)

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=2NLSTvx3_z8&t=61s

Bài 71: Cho a, b, c0 và 2 2 2

a b c 1.

Chứng minh rằng

2 ab bc ca

(Trích đề thi HSG quận Hà Đông năm học 2018 - 2019)

Bài 72: Cho 0   x y z 2. Tìm GTNN của biểu thức

(Trích đề thi HSG quận Hà Đông năm học 2018 - 2019)

Trang 9

Bài 73: Cho a, b, c0 và a    b c 1.

Tìm GTLN của biểu thức P 3 a 2 3 b 2 3 c 2

(Trích đề thi HSG Vĩnh Phúc năm học 2014 - 2015)

Bài 74: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có a  b c 2p

Chứng minh rằng : 1 1 1 2 1 1 1

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=rwW6mrvTJZ0

Bài 75: Cho a, b, c0.

(Trích đề thi HSG quận Ba Đình năm học 2018 - 2019)

Bài 76: Cho x, y, z0 và x 3  y 3  z 3  1. Chứng minh :

2

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=LGip869cyJo&t=950s

Bài 77: Cho a, b, c0 Chứng minh rằng : a b2 b c2 c a2 1 1 1

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=N0jDB36DevY

Bài 78: Cho a, b, c0 Chứng minh : a a b a  c b b c b a    c c a c b 0

(Bất đẳng thức Schur)

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=5qH1xuNQgJM&t=107s

Bài 79: Cho a, b, c0 và a    b c 1. Tìm GTLN của biểu thức  2 2 2

Pabc a b c

a, b, c0 a b 0, b c 0, c a 0 và 2 2 2  

a b c 2 abbc ca 

Chứng minh rằng : 22ab2 22bc2 22ca2 1

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=1mig7SwF0c0

Bài 81: Cho x, y, z0 và x    y z 12. Chứng minh rằng x y z 6

y z  x 

Bài 82: Cho a, b, c0 và a  b c 6

Trang 10

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=UBnEGyzK6oo&t=705s

Bài 83: Cho a, b, c0 và abc1

3a 4b 2c  3b 4c 2a  3c 4a 2b 

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=AxD9X-0d4qo&t=3s

Bài 84: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn    9

1 a 1 b

4

Tìm GTNN của biểu thức 4 4

P 1 a  1 b 

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=FyWmv8LaEB8&t=570s

Bài 85: Cho x, y, z0 và 1 1 1 1

1 x1 y1 z 

3

2

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=qXs073ZlNB8&t=308s

Bài 86: Cho x, y0. Tìm GTNN của biểu thức

3

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=t_70_tYZzxc&t=594s

Bài 87: Cho a, b, c0 và a b c 3

2

  

Tìm GTNN của biểu thức P 1 b2 1 c2 1 a2

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=GQKaFGbOljU&t=245s

Bài 88: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x  3, xyz  1.

Tìm GTNN của biểu thức 2 2 2 2  

3

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=vqOgGJ2Zx2s&t=8s

Bài 89: Cho 0a, b, c 1 và abbc ca 1

Tìm GTNN của biểu thức 2  2  2 

Bài 90: Cho a, b, c0 và 2 2 2

a b c 1

Chứng minh rằng

1

1 b a1 c b1 a c

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=SIJFy9LfQgE

Trang 11

Bài 91: Cho a b 0 Chứng minh rằng 2 2 2

a b  2ab b a

Bài 92: Cho x, y0 và thỏa mãn x y 1. Tìm GTNN của biểu thức A 31 3 1



Bài 93: Cho a, b, c0 Chứng minh rằng

a b 1 b c 1 c a 1 abc 1

Bài 94: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác

3 3 3 3 3 3 3 3 3

2 4

Bài 95: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và thỏa mãn a    b c 2.

Chứng minh rằng 2 2 2

a b c 2abc2

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=JWlhoetBk2o

Bài 96: Cho a, b, c0. Chứng minh rằng

3

 

  

Bài 97: Cho a, b, c0và thỏa mãn a  b c 3.Tìm GTNN của P a b c

Bài 98: Cho a, b, c0và thỏa mãn abc1

Chứng minh rằng : 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1

Bài 99: Cho a, b, c0và thỏa mãn abc1

Chứng minh rằng : abb c c a   2 1 a   b c 

Bài 100: Cho a, b, c0và thỏa mãn 6 12 12 12 1 1 1 1

10a b ca 10b ca b 10c12

Link VIDEO chữa : https://www.youtube.com/watch?v=mi7GHKojlRA&t=5s

Bạn nào có nhu cầu đăng ký khóa học tổng ôn vui lòng liên hệ theo :

Link fb : https://www.facebook.com/thaynghiepdaytoan

Link Page : https://www.facebook.com/thaynghiepluyenthitoan

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	618,52 KB