Qua thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm, với cách làm trên tôithấy rằng học sinh của tôi đã bắt đầu yêu thích các bài tập CMBĐT, các chuyên đềCMBĐT và tìm cực trị đã lôi
Trang 1Họ và Tên: Trần Thị Phi Nga
Đơn vị công tác: Trường THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc
CHUYÊN ĐỀ
SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM – GM TRONG CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
và trừu tượng cao Vì vậy học sinh thường mất nhiều thời gian hoặc không làm đượcloại bài này Qua nhiều năm dạy đội tuyển học sinh giỏi (HSG) tôi rất trăn trở và suynghĩ mình phải làm thế nào để học sinh yêu thích giải các bài tập CMBĐT hơn Vìnếu các em có phương pháp giải các bài tập đó một cánh thành thạo thì việc tư duy vàthuật toán để giải các loại bài tập khác sẽ nhanh nhẹn hơn, giúp các em có thể đạtđược kết quả cao trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp
Do vậy tôi mạnh dạn viết chuyên đề “Sử dụng bất đẳng thức AM – GM trongcác bài toán chứng minh BĐT và tìm cực trị” Nhằm giúp các em có cách nhìn tổngquát và những suy nghĩ để mở rộng các kiến thức đã học từ sách giáo khoa Từ đó các
em tự vận dụngvà phát triển tư duy với các bài tập tương tự, tổng quát và liên hệ mộtcách lô-gic với các dạng toán đã học
Qua thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm, với cách làm trên tôithấy rằng học sinh của tôi đã bắt đầu yêu thích các bài tập CMBĐT, các chuyên đềCMBĐT và tìm cực trị đã lôi cuốn học sinh học tập say mê hơn Từ đó tôi thấy rằngtrong các kỳ thi học sinh giỏi nếu làm được bài tập CMBĐT hay tìm cực trị là chúng
ta có niềm tin rằng chất lượng đội tuyển sẽ được nâng lên và đạt thành tích cao
Tôi cũng nhận ra rằng hướng dẫn học sinh biết cách tìm tòi khám phá những điềumới lạ, xuất phát điểm từ những điều giản đơn, từ sách giáo khoa, từ những kiến thứcchuẩn kỹ năng Học sinh sẽ làm được những điều phi thường từ những điều giản đơn
đó Thực tế cho tôi thấy rằng mình đã phần nào có được kết quả mong đợi Trong kỳthi học sinh giỏi cấp Tỉnh năm học 2009-2010, đội tuyển tôi phụ trách hầu hết các emlàm được bài toán CMBĐT, nhờ đó mà chất lượng đội tuyển đạt vị thế cao Do đó tôi
đã giảng dạy chuyên đề: “Sử dụng bất đẳng thức AM – GM trong các bài toán chứngminh BĐT và tìm cực trị” cho đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 ở nhiều năm học, với kỳvọng các em sẽ yêu thích các bài tập CMBĐT khô khan, trừu tượng, nhưng vô cùnghấp dẫn và lý thú Với mục tiêu bồi dưỡng nhân tài cho Huyện,cho Tỉnh nhà và chođất nước của chúng ta Thực hiện lời dạy của Bác trước lúc người đi xa: “ Vì lợi íchmười năm trồng cây, vì lợi ích trăm năm trồng người”
Trang 2B Nội dung của chuyên đề :
+) Với các số thực không âm a1, a2, an ta có
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an
( Bất đẳng thức được phát biểu như sau: Trung bình cộng của n số không âm lớn hơnhoặc bằng trung bình nhân của n số đó)
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có:
( Đây là BĐT mà HS hay gọi là BĐT cộng mẫu) 36
download by : skknchat@gmail.com
Trang 3Chứng minh: Sử dụng BĐT AM – GM cho 3 số a, b, c và ta có
Dấu “=” xảy ra khi a = b =c
Tổng quát hóa bài toán : Với mọi số thực dương ta có bất đẳng thức
Dấu “=” xảy ra khi a 1 = a 2 =…= a n
*) Sử dụng BĐT ở VD1 ta chứng minh bài toán sau : Cho x, y, z là 3 số dương thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Giải: Áp dụng VD1 ta có
Do x + y + z = 3 nên ta có
Dấu “ = “ xảy ra khi x = y = z và x + y + z = 3 hay x = y =z =
1 Vậy Min P = 3 khi x = y =z = 1
Ví dụ 2: Cho các số thực không âm a; b; c trong đó không có hai số nào đồng thời
bằng 0 Chứng minh rằng:
Chứng minh :
Không mất tính tổng quát ta đặt
Trang 4Ta có M + N = 3 Áp dụng BĐT AM – GM cho ba số không âm ta có:
Do vậy M + N + 2S 6 Mà M + N = 3 nên ta suy ra 2S 3 hay
Dấu “=” xảy ra khi a = b =c
Bất đẳng thức mà chúng ta vừa chứng minh chính là BĐT Nestbit
Sau đây chúng ta sẽ bắt đầu quá trình khám phá các bài toán sử dụng BĐT AM – GM.Chúng ta hãy bắt đầu với bài toán sau:
Bài toán 1: Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh
rằng xyz (x + y –z)(y + z – x)(x + z – y)
Nếu ta đặt x = b+c; y = c + a; z = a + b
BĐT cần chứng minh trở thành bài toán sau:
Bài toán 1.1: Cho a; b; c là các số dương Chứng minh
rằng (a + b)(b + c)(c + a) 8abc
Lời giải: Áp dụng BĐT AM – GM cho 2 số dương ta có
Nhân vế với vế của 3 BĐT trên ta được điều phải chứng minh
Trở lại bài toán 1 ta thấy rằng chỉ cần điều kiện x, y, z là số dương là đủ
Do vậy nếu x, y, x là các số dương ta sẽ có bài toán sau:
Bài toán 1.2: Cho x, y, z là các số dương Chứng minh
rằng xyz (x + y –z)(y + z – x)(x + z – y)
Lời giải: Không mất tính tổng quát giả sử x y z >0
38download by : skknchat@gmail.com
Trang 5+) Nếu x y + z thì x + y – z x + z –y > 0 > y + z – x
Nên xyz > 0 > (x + y –z)(y + z – x)(x + z – y)
+) Nếu x < y + z Áp dụng BĐT AM – GM cho các số dương ta có
Nhân vế với vế của (1); (2); (3) ta có điều phải chứng minh
Nhận xét: Giả sử S = a + b + c ta có
(S – a)(S – b)(S – c) = (a + b)(b + c)(c + a) 8abc (1)
Với 3 số dương a + b; b + c; c + a áp dụng bài toán 1.1 ta thu được
(S + a)(S + b)(S + c) = [(c + b) + (c + a)][(c + a)+(a + b)][(a + b) + (b + c)] 64abc(2)
Nhân theo từng vế của (1) và (2) ta có
(S2 – c2) (S2 – b2) (S2 – a2) 83a2b2c2Chúng ta thu được bài toán sau:
Bài toán 1.3: Cho a; b; c là các số dương và S = a + b + c Chứng minh rằng
Bài toán 1.4: ( IMO 2000)
Cho a; b; c có tích bằng 1 Chứng minh rằng
Lời giải: Do abc = 1 nên tồn tại 3 số x; y; z dương sao cho
BĐT cần chứng minh trở thành
(x +z-y)(x+y-z)(y+z-x) xyz
Trang 6Theo bài toán 1.2, BĐT được chứng minh.
Bài toán 1.5: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng
(Mâu thuẫn với đẳng thức ở trên)
Vậy x+y+z 1 Ta có điều phải chứng minh
Bài toán 2: (Đề thi tuyển sinh THPT Chuyên Vĩnh Phúc năm học 2011 – 2012)
Cho các số thực dương Chứng minh rằng
Lời giải: Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có
Suy ra
Cũng theo bất đẳng thức AM-GM
40download by : skknchat@gmail.com
Trang 7và
Suy ra:
Từ đú suy ra điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Bài toỏn 3: Hãy tìm tất cả các giá trị a, b, c là các số cùng dơng hoặc cùng âm
sao cho biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó, với:
Lời giải:
Khi đó P=(1+x)(1+y)(1+z)=1+(x+y+z)+(xy+yz+zx)+xyz (C)
Áp dụng BĐT AM – GM ta có:
Từ (C), (D) và (E) suy ra GTNN của P bằng 8 và các giá trị a, b, c thoả mãn(E) là tất cả các giá trị cần tìm
Bài toỏn 4: Cho cỏc số thực dương a,b,c thỏa món đồng thời cỏc điều kiện sau:
Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2 + a + b + c
Lời giải: Áp dụng BĐT AM – GM và kết hợp với giả thiết ta cú
Trang 8Vậy a + b + c 9 Dấu “=” xảy ra khi a = 4; b = 3; c = 2
Lại có
Suy ra 42+32+22 3c2+2(b2 - c2) + (a2 – b2) = a2 + b2 + c2
Hay 29 a2 + b2 + c2 Dấu “=” xảy ra khi a =4; b = 3; c = 2
Vậy Pmax = 42+32+22 + 9 = 38 khi a =4; b = 3; c = 2
Bài toán 5: (Đề thi HSG huyện Yên Lạc năm học 2011 – 2012)
Vậy
II) Kỹ thuật tìm điểm rơi trong BĐT AM – GM
Bài toán xuất phát: Cho các số dương a;b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 2 số dương ta có
Dấu “=” xảy ra khi a = b >0Vậy Min S = 2 khi a = b >0
Nhận xét: Từ bài toán này ta có thể thay đổi miền xác định để có bài toán sau
Bài toán 1: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Sai lầm thường gặp:
Nguyên nhân sai lầm: Min S = 2 khi a = = 1 Mâu thuẫn với giả thiết
Phân tích tìm lời giải: Lập bảng giái trị tương ứng giữa a và S ta nhận định S đạt
GTNN khi a = 3
Ta có sơ đồ điểm rơi sau:
42download by : skknchat@gmail.com
Trang 9: Hệ số điểm rơi
Từ đó ta có lời giải như sau:
Với a = 3 thì
Bài toán 2 : Cho a ≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài toán 3: Cho Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Trang 10Sơ đồ điểm rơi: Hệ số điểm rơi
Bài toán 6: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Cách 1:
44
Trang 11Bài toán 7: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải đúng:
Trang 12Sơ đồ điểm rơi Hệ số điểm rơi Lời giải 1:
Trang 13≥ ≥ =
Bài toán 1: Cho các số dương a,b,c,d Chứng minh rằng
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM – GM ta có: (x + 1)
Chứng minh tương tự ta được:
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta được điều phải chứng minh
Bài toán 2: Cho 3 số thực không âm x,y,z thỏa mãn x + y + z = 1 Tìm GTLN của
Trang 14Vì vậy F x2y2(x2 – xy + y2) = v2(u2 – 3v) ( trong đó u = x+ y, v = xy)
Theo BĐT AM – GM, ta có
Bài toán 3: Chứng minh rằng nếu thì
Chứng minh: Không mất tính tổng quát ta giả sử Do đó
Chú ý rằng , ta thu được điều phải chứng minh
Bài toán 4: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 Tìm
giá trị lớn nhất của f = 9xy + 10yz + 11zx
Lời giải: Tồn tại một bộ ba số thức không âm p, q, r sao cho
f= px(y + z) + qy(z + x) +rz(x + y) = (p + q)xy +(q + r)zy + (p + r)zx
Ta cần chọn p,q,r sao cho :
p + q = 9
q + r = 10
p + r = 11Giải hệ phương trình này cho ta q = 4, p = 5, r = 6 Do đó f có thể viết dưới dạng
f =
48download by : skknchat@gmail.com
Trang 15Bài toán chuyển về việc tìm giá trị nhỏ nhất của , trong đó a, b, c là
những số không âm thỏa mãn
Ta chọn các số , , sao cho khi áp dụng bất đẳng thức AM - GM, các đẳng thức xảy
Vậy Maxf = đạt được khi
IV)
bình Bài toán 1: Một tấm nhôm hình vuông có cạnh
Gọi x (cm) là độ dài cạnh hình vuông phải cắt,
x phải là số dương và nhỏ hơn 25 Thể tích của
Trang 16Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2x = 25 – x = 25 – x Tức là Nghĩa là, hìnhvuông bị cắt có cạnh dài là (cm).
Bài toán 2 : Từ một mảng giấy bìa có dạng hình chữ nhật kích thước 15x8cm, người ta
cắt ra từ bốn góc của hình chữ nhật bốn hình vuông bằng nhau Mảnh giấy còn lại trông như một hình chữ thập, được gấp lại làm thành một cái hộp không nắp Hỏi cạnh
của bốn hình vuông bị cắt bằng bao nhiêu để thể tích của chiếc hộp là lớn nhất Lời giải: Gọi x là độ dài cạnh hình vuông , khi đó chiếc hộp sẽ có kích thước là :
15 – x – x; 8 – x – x
Thể tích của chiếc hộp V được tính
theo x như sau:
V = x(15 – 2x)(8 – 2x)
Ta cần tìm x sao cho V đạt giá trị
lớn nhất Khi chưa có công cụ đạo
Từ đây, biểu diễn x theo k, l ta tìm k, l bằng cách giải hệ phương trình
Giải hệ này cho , Bây giờ áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho ba số:
Từ đó V ≤ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 7x = 15 – 2x = 20 -5x
Giải hệ phương trình này cho ta x = Vậy cạnh hình vuông là (cm)
Bài toán 3:Tìm tất cả các giá trị của x ≥ 1 sao cho
50download by : skknchat@gmail.com
Trang 17Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là x≤ Áp dụng bất đẳng thức AM - GM,
Sau đây là một vài bất đẳng thức phụ có nhiều ứng dụng được chứng minh trên
cơ sở bất đẳng thức AM – GM
Bài toán 1 : Với mọi số thực dương x, y ta luôn có x 3 + y 3 xy(x + y) (1)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y.
Chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số dương ta có:
x3 + x3 + y3 3x2y
x3 + y3 + y3 3xy2Cộng vế theo vế của hai bất đẳng thức trên ta có
3(x3 + y3) 3(x2y + xy2)
<=> x3 + y3 xy(x + y)Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
Vậy ta có x3 + y3 xy(x + y) với mọi x, y > 0
Sử dụng một cách linh hoạt, sáng tạo bất đẳng thức phụ (1) ta sẽ giải được một số bài toán sau.
Trang 18Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1 Tìm giá trị lớn nhất của
Trang 19Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương ta có:
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 4: Cho a, b, c là các số thực không âm.
2(a3 + b3 + c3) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (1)
Ta lại có ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) = a2b + ab2 + b2c + bc2 + c2a + ca2
hay ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) = a2 (b + c) + b2(c + a) +c2(a + b) (2)
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số không âm ta có
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
(3)
Trang 20Phân tích tìm lời giải:
Ta nhận thấy các biểu thức dưới mẫu của biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất códạng tương tự bất đẳng thức x3 + y3 xy(x + y) và Giá trị lớn nhất của biểu thức cầntìm bằng 1 khi a = b = c = 1 Vì vậy ta xây dựng và chứng minh bất đẳng thức tươngtự: x5 + y5 x2y2(x + y)
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 5 số dương ta có:
Cộng vế theo vế của hai bất đẳng thức trên ta được
5(x5 + y5 ) 5x2y2(x + y) => x5 + y5 x2y2(x + y) (2)Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y
Trang 21Chứng minh tương tự ta có: ;
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta có
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Vậy MaxA = 1 khi và chỉ khi a = b = c = 1
Ví dụ 6: Cho a, b, c, d là các số thực dương Chứng minh rằng
Phân tích tìm lời giải:
Cũng tương tự ví dụ 5 để chứng minh bài toán ta tìm cách xây dựng bất đẳng thức tương tự: x4 + y4 + z4 xyz(x + y + z)
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 4 số dương ta có:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Hay ta có:
Chứng minh tương tự ta có
Trang 22download by : skknchat@gmail.com
Trang 23Cộng theo vế của các bất đẳng thức trên ta được
Vậy ta có điều cần chứng minh
Tiếp tục dùng bất đẳng thức AM – GM ta chứng minh được bất đẳng thức sau để
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y
Trang 24Ví dụ 7: Cho a, b, c dương và a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = (1 + 8a)(1 + 8b)(1 + 8c)Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức (4) với x = 8a , y = 8b , z = 8c ta có
<=>
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =
Ví dụ 8: Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:
(1 + a3)(1 + b3)(1 + c3) (a + bc)3
Lời giải :
Do b > 0 và c > 0 Chia cả hai vế của bất đẳng thức cần chứng minh cho b 3c3 ta có bất
đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
(*)
Áp dụng bất đẳng thức (4) với x = a, y = và z = ta có:
Suy bất đẳng thức (*) đúng
Vậy ta có (1 + a3)(1 + b3)(1 + c3) (a + bc)3
Ví dụ 9: Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng
Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số dương ta có
Áp dụng bất đẳng thức (4) ta có:
57download by : skknchat@gmail.com
Trang 25Vậy ta có điều cần chứng minh.
Bây giờ ta lại dùng bất đẳng thức AM – GM với các số dương hợp lý để xây dựng bất đẳng thức một biến và áp dụng.
Bài toán 3: Với a > 0 ta luôn có
(5) (6)
Trang 26Vậy ta có điều cần chứng minh
Ví dụ 11: Cho a, b, c, d là các số thực dương và a3 + b3 + c3 + d3 = 1 Chứng minh
Trang 28Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Trang 29Công theo vế ba bất đẳng thức trên ta có (*) đúng do a + b + c = 1
Trang 30Bài toán 6 Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:
Trang 31Suy ra
Chứng minh tương tự ta có
Cộng theo vế của các bất đẳng thức trên ta có
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Vậy ta có
Nhận xét: Bất đẳng thức (13) là một bất đẳng thức khó với cách giải hay Vận dụng cách giải và kết quả của bất đẳng thức này chúng ta chứng minh được các bất đẳng thức hệ quả sau:
Ví dụ 14: Cho a, b, c >0 và , chứng minh rằng:
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương ta có:
Suy ra
Trang 32Chứng minh tương tự ta có:
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:
Nhận xét:
Bất đẳng thức (13) là trường hợp trong bất đẳng thức ví dụ 14 Bây giờ ta chọn ta thu được bất đẳng thức khó sau:
Ví dụ 15: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương ta có:
Suy ra
Chứng minh tương tự và cộng theo vế ta có:
Vậy ta có
65download by : skknchat@gmail.com
Trang 33Nhận xét: Từ cách chứng minh bất đẳng thức (13) ta có Nếu ta cộng thêm tích ab vào mẫu thức ở vế trái của bất đẳng thức trên thì kết quả sẽ thay đổi như thế nào? Ta có bài toán sau:
Bài toán 7: Với và a, b là các số thực dương.
Nếu cho ta có bài toán sau:
Ví dụ 17: Chứng minh rằng với a, b, c là các số thực dương ta có:
