PHẦN 1 đại số TUYẾN TÍNH

Phần tử trong đó là chỉ số hàng và là chỉ số cột biểu thị cho vị trí của chúng bên trong ma trận.. là ma trận kích thước chứa các hệ số ở vế bên trái của hệ phương trình tuyến tính [

PH ẦN 1 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 1 MA TRẬN 1.1 MA TR ẬN

ĐỊNH NGHĨA

Ma trận là một mảng hình chữ nhật của các số [ ], hoặc hàm số [ ] được sắp xếp theo hàng và cột trong dấu ngoặc vuông [ ] hoặc dấu ngoặc tròn ( )

Ma trận có 2 hàng, 3 cột [ ]

Ma trận [ ] có 2 hàng, 2 cột

Phần tử

Các số 0,1,2,3,4,5 hoặc hàm số , , , lần lượt trong 2 ma trận nói trên được gọi là phần tử

Phần tử trong đó là chỉ số hàng và là chỉ số cột biểu thị cho vị trí của chúng bên trong ma trận

Chẳng hạn, phần tử trong ma trận [ ] là phần tử thuộc hàng 1 và cột

1 Do đó

Người ta biểu diễn ma trận bằng các chữ in hoa hoặc bằng phần tử

tổng quát trong dấu ngoặc vuông [ ] Ví dụ, [ ]

Tổng quát, ma trận có hàng và cột được biểu diễn như sau

[ ] [

] ( )

được gọi là kích thước của ma trận

là phần tử thuộc hàng thứ ( ) và cột thứ ( )

Nếu thì trong (1) là một ma trận vuông kích thước (hay ma trận vuông cấp ) Với ma trận vuông, đường chéo chính chứa các phần tử

Ma trận được dùng để biểu diễn cho một hệ thống tuyến tính

Ví d ụ 1

Xét một mạch điện tuyến tính như hình 1 Dùng định luật Kirchhoff 1 và 2 để thiết

lập hệ phương trình tuyến tính mô tả mạch điện

Định luật kirchhoff 1: tại một nút bất kỳ trong mạch điện, tổng đại số dòng điện tại nút đó bằng 0 (hoặc tổng dòng điện đi vào nút bằng tổng dòng điện đi ra khỏi nút đó)

Định luật kirchhoff 2: trong một vòng kín bất kỳ của mạch điện, tổng đại số điện

áp trên các ph ần tử bằng 0

ho ặc điện áp tương ứng

Hình 1

Định luật kirchhoff 1 tại nút a được viết như sau:

( )

Định luật Kirchhoff 2 cho vòng gồm các phần tử , và được viết như sau: ( )

Định luật Kirchhoff 2 cho vòng gồm các phần tử và được viết như sau: ( )

Hệ 3 phương trình tuyến tính (1), (2), (3) theo 3 biến số

{

{

Phương trình ( ) thiếu biến nên ta viết thêm Tương tự, phương trình ( ) ta viết thêm

là ma trận kích thước chứa các hệ số ở vế bên trái của hệ phương trình tuyến tính [

]

và nó được gọi là ma trận hệ số

Ví d ụ 2

Một cửa hàng bán quần, áo, váy có các số liệu bán hàng trong 1 tuần được biểu theo ma trận sau

Thứ 2 3 4 5 6 7 chủ nhật

[

]

VÉC TƠ Ma trận chỉ có 1 hàng hoặc 1 cột thường được gọi là véc tơ Người ta ký hiệu véc tơ bằng chữ thường [ ] [ ] hoặc [ ] [ ]

Véc tơ được gọi là véc tơ hàng và véc tơ được gọi là véc tơ cột CÁC PHÉP TOÁN V ỚI MA TRẬN  Phép toán b ằng Điều kiện: Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng kích thước và các phần tử có cùng vị trí tương ứng trong hai ma trận phải bằng nhau Cho [ ] [ ]

( )

Ví d ụ 3 Cho 2 ma trận [ ] và [

] Tìm các phần tử của ma trận biết rằng

là ma trận kích thước nên ma trận cũng có kích thước Theo (2) thì [ ] {

 Phép toán c ộng (trừ) Điều kiện: Hai ma trận cộng (hoặc trừ) được với nhau nếu chúng có cùng kích thước Nếu [ ] và [ ] thì [ ] ( )

Ví d ụ 4 Cho 2 ma trận [ ] và [ ] Tìm ma trận và

Theo (3) thì [ ] [ ( ) ] [ ]

và [ ] [ ( ) ] [ ]

 Nhân m ột số với ma trận Một hằng số nhân với ma trận [ ] được viết là [ ] ( )

Ví d ụ 5 Cho ma trận [ ] Tìm

Theo (4) thì [ ( )] [ ]

 Các tính ch ất của phép cộng { ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

Trong đó là ma trận không gồm tất cả các phần tử có giá trị 0 1.2 PHÉP NHÂN MA TR ẬN Định nghĩa Tích của ma trận [ ] với ma trận [ ] là ma trận

[ ] được xác định khi số cột của ma trận bằng số hàng của ma trận Kích thước của ma trận được xác định như sau

[ ] [ ] [ ]

Phần tử được xác định bởi tổng của tích các phần tử ở hàng 1 của ma trận với các phần tử nằm ở cột 1 của ma trận Tương tự cho các phần tử khác của ma trận Công thức tổng quát xác định phần tử

∑

( )

Ví d ụ 6

Cho 2 ma trận [ ]

và [ ] Tìm ma trận

Theo (6) ∑

( )

( )

( )

[

]

Ví d ụ 7 Cho ma trận [ ] và véc tơ [ ] Tìm ma trận

[ ]

Ví d ụ 8 Cho 2 véc tơ [ ] và [ ]

Tìm véc tơ

[ ] [ ]

Các tính ch ất của phép nhân 2 ma trận

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Phần tử trong ma trận với [ ] [ ] có thể được viết theo công thức sau ( )

trong đó là véc tơ hàng thứ của ma trận và là véc tơ cột thứ của ma trận Như vậy [ ] [

]

Do đó [ ] [ ]

[

]

( ) Hay [ ] [ ] ( )

(10) là công thức được sử dụng để tính toán nhân ma trận trong tin học và được gọi là quá trình xử lý song song của phép nhân ma trận Ví d ụ 9 Tính [ ] [ ]

Người ta tính các cột của theo (10) [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

Rồi viết ma trận theo các cột [ ]

Phép nhân ma tr ận và phép biến đổi tuyến tính

Xét hệ 2 phương trình tuyến tính

{ ( )

Hệ 2 phương trình tuyến tính tương ứng với 2 hệ tọa độ và trong mặt phẳng Theo phép nhân ma trận có thể được viết như sau [ ] [

] [ ] ( )

Ma trận được gọi là ma trận biến đổi Giả sử ta có quan hệ { ( )

Hay [ ] [

] [ ] ( )

Thế (12) vào (10) { ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Hay [ ] [ ] [ ] [

] [ ] ( )

{

( ) Thế (13) vào (11) [

] [

] ( )

So sánh (14) và (16) ta có [

] [

] [

] ( )

(15) và (17) chứng tỏ phép nhân ma trận với công thức (6) là đúng Ví d ụ 10 Giả sử điểm ( ) nằm trong mặt phẳng Tọa độ điểm được biểu diễn bởi véc tơ [ ] [ ] Ma trận biến đổi [ ]

Theo (11)

[ ] [ ] [ ] [ ] Nghĩa là điểm ( ) trong mặt phẳng được biến đổi thành điểm ( ) trong mặt phẳng

Vì thế, người ta gọi phép nhân ma trận là phép biến đổi tuyến tính hay phép ánh

xạ tuyến tính

1.3 M ỘT SỐ MA TRẬN ĐẶC BIỆT

Ma tr ận chuyển vị

Cho ma trận [ ] Ma trận chuyển vị của là [ ] nghĩa là hàng thứ trong ma trận chuyển vị chính là cột thứ trong ma trận

Ví d ụ 11

[ ] [ ]

Các tính ch ất của ma trận chuyển vị

(AT)T = A

(A + B)T = A T + BT

(cA)T = cAT

(AB)T = BTAT

Ma tr ận đối xứng

Nếu (hay ) thì ma trận được gọi là ma trận đối xứng Nghĩa là các

phần tử trong ma trận đối xứng nhau qua đường chéo chính

Ma tr ận đối xứng lệch

Nếu (hay và ) thì ma trận được gọi là ma trận đối xứng

lệch

Ví d ụ 12

[

] là ma trận đối xứng [

] là ma trận đối xứng lệch

Ma tr ận tam giác trên, ma trận tam giác dưới

Ví d ụ 13

[

] là ma trận tam giác trên có với (các phần tử nằm dưới đường chéo chính có chỉ số hàng lớn hơn chỉ số cột )

[

] là ma trận tam giác dưới có với (các phần tử nằm trên đường chéo chính có chỉ số hàng nhỏ hơn chỉ số cột ) Ma tr ận chéo, ma trận đơn vị [

] là ma trận chéo có với và với

[

] là ma trận chéo có với và với

1.4 M ỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP NHÂN MA TRẬN Ví d ụ 14 Một công ty sản xuất hai mẫu máy tính PC1086 và PC1186 Ma trận hiển thị chi phí cho mỗi máy tính (tính bằng ngàn đô la) và ma trận cho biết số liệu sản xuất cho năm 2010 (tính theo bội số của 10.000 đơn vị.) Tìm một ma trận cho các cổ đông thấy chi phí mỗi quý (tính bằng triệu đô la) cho nguyên liệu thô, nhân công và các thứ linh tinh khác

[

]

[ ]

[

]

Ví d ụ 15 Giả sử trong một chương trình theo dõi cân nặng, một người cân nặng 84 kg đốt cháy 350 cal/giờ khi đi bộ (4,8 km/giờ), 500 cal/giờ khi đi xe đạp (21 km/giờ) và 950 cal/giờ khi chạy bộ (8,6 km/giờ) Kế hoạch tập thể dục theo ngày với số giờ được hiển thị trong ma trận

[

]

Tìm ma trận biểu thị năng lượng được đốt cháy của người đó trong tuần

[

] [

] [

] 1.5 H Ệ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ PHÉP LOẠI TRỪ GAUSS H ệ phương trình tuyến tính Xét hệ thống tuyến tính được biểu diễn bởi hệ phương trình tuyến tính và biến {

( ) Nghiệm của ( ) là một tập hợp các giá trị của thỏa mãn tất cả phương trình Nếu thì (18) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Nếu thì (18) được gọi là hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Xét hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất gồm 2 phương trình {

Điểm có tọa độ ( ) được gọi là nghiệm của hệ phương trình khi thuộc đường thẳng và đường thẳng Vì thế hệ phương trình:

- Có duy nhất 1 nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng cắt đường thẳng (Hình 7a)

- Có vô số nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng trùng với đường thẳng (Hình 7b)

- Không có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng song song

với đường thẳng (Hình 7c)

Hình 7a Hình 7b Hình 7c Theo phép nhân ma trận, ta có thể biểu diễn (18) bởi phương trình ma trận

trong đó

[

] [

] [ ]

Nếu ta thêm cột bên phải của (18) vào ma trận hệ số ta được ma trận phụ trợ

[

]

Ma trận phụ trợ biểu diễn đầy đủ nhất hệ thống tuyến tính vì nó chứa tất cả

các hệ số của hệ thống tuyến tính Mỗi hàng trong ma trận phụ trợ tương ứng với các

hệ số của 1 phương trình trong hệ phương trình tuyến tính Chẳng hạn như, hàng thứ

của ma trận phụ trợ là sẽ tương ứng với các hệ số của

phương trình thứ

Phép lo ại trừ Gauss

Xét hệ phương trình tuyến tính

{

Ma trận hệ số là ma trận tam giác trên

[ ]

Nên hệ phương trình tuyến tính được gọi là hệ tuyến tính dạng tam giác

Với hệ tuyến tính dạng tam giác, người ta dễ dàng tìm được nghiệm của hệ phương trình, đó là Thế vào phương trình ta được

Điều này cho người ta ý tưởng thay thế 1 hệ thống tuyến tính dạng tổng quát ( ) về dạng tam giác

Ví dụ 16

Hình 8 Theo định luật Kirchhoff 1 và 2 ta có hệ phương trình tuyến tính không thuần

nhất

{ ( )

Ta sẽ biến đổi hệ thống ( ) về dạng tam giác theo thứ tự các bước sau

Bước 1: Để hệ số của trong phương trình thứ 2 bằng 0, ta thay phương trình 2

bởi và có được hệ phương trình mới

{

( ) Bước 2: Tương tự, để hệ số của trong phương trình thứ 3 bằng 0, ta thay phương trình 3 bởi và có được hệ phương trình

mới

{

( ) Bước 3: Hệ ( ) là hệ tam giác trên có nghiệm được xác định

( )

Dễ thấy, và cũng là nghiệm của hệ ( ) và ( ) vì chúng

thỏa mãn các phương trình của hệ ( ) và ( ) Thật vậy

{ ( ) Các hệ ( ) ( ) ( ) được gọi là các hệ phương trình tương đương

Như đã nói ở trên, các phần tử trong 1 hàng của ma trận phụ trợ ̃ tương ứng với các hệ số trong 1 phương trình của hệ phương trình tuyến tính Vì vậy, ta có thể

thực hiện các bước 1, 2, 3 trên các hàng trong ma trận ̃, cụ thể như sau

được thế bởi và được thế bởi

{ ( )

̃



























6 4 8

0

10 0 8

2

0 1 1

1

⇔



























6 4 8 0

10 2 10 0

0 1 1 1

⇔



















14 6 5 0 0

10 2 10 0

0 1 1 1

,

Ma trận ( ) giúp ta xác định được nghiệm của hệ ( )

Hàng thứ 3

Hàng thứ 2

Hàng thứ 1

Việc thay thế các hàng trong ma trận phụ trợ ̃ được gọi là phép loại trừ Gauss

M ột số tính chất của phép loại trừ gauss khi giải hệ phương trình tuyến tính

- Đổi vị trí 2 hàng trong ma trận phụ trợ ̃ tương ứng với đổi vị trí 2 phương trình trong hệ phương trình tuyến tính

- Nhân 1 hằng số bất kỳ cho 1 hàng rồi cộng với 1 hàng khác tương ứng với nhân 1 hằng số bất kỳ cho 1 phương trình rồi cộng với 1 phương trình khác

- Nhân 1 hằng số bất kỳ cho 1 hàng tương ứng với nhân 1 hằng số bất kỳ cho

1 phương trình

- Phép loại trừ Gauss chỉ áp dụng cho hàng của ma trận và không thể áp dụng cho cột

- Khi thực hiện phép loại trừ Gauss, ta nhận được các ma trận phụ trợ tương đương tương ứng với các hệ phương trình tương đương Cụ thể hệ ( ) tương ứng ma trận phụ trợ ( ), hệ ( ) tương ứng với ma trận phụ trợ ( )

và hệ ( ) tương ứng với ma trận phụ trợ ( )

BÀI TẬP KIỂM TRA 1

1 Cho mạch điện tuyến tính như hình 2

Hình 2

a Hãy viết hệ phương trình tuyến tính mô tả mạch điện theo các dòng điện dùng 2 định luật kirchhoff 1, 2

b Viết ma trận hệ số của hệ phương trình tuyến tính

c Thực hiện biến đổi Gauss để giải hệ phương trình

2 Cho các ma trận A, B, C và D

[

], [ ]

[ ], [

], [ ]

Tìm:

a 2A + 4B; 4B + 2A;

b 0A + B; 0,4B – 4,2A;

c 2(5D + 4C); D + C + E;

d F sao cho D+E+F=0