BÀI GIẢNG TOÁN CAO cấp PHẦN 1 đại số TUYẾN TÍNH

Các phép bi ển đổi sơ cấ p trên ma tr ận Ba phép biến đổi sau đây gọi là ba ến đổi sơ cấ trên dòng của ma trận... 18 3 12 * Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác Các phép biể

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG CƠ SỞ II

TỔ TOÁN TIN

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP

PHẦN 1: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

tử của A kí hiệ x Au  Ngược lại kí hiệu x A (x không thuộc A).

Tập hợp không có ph n t nào gầ ử ọi là t p r ng Kí hi u: ậ ỗ ệ 

- T ập h p conợ : A là tập h p con c a B n u mợ ủ ế ọi phầ ử ủa A đền t c u là ph n t c a B ầ ử ủ

Kí hiệu: A  (A chứa trong B) B

X gọi là tập h p ngu n (miợ ồ ền xác định)

Y gọi là tập hợp đích (miền giá trị)

1( ) { | ( ) }

f D  xX f x D

- Ánh xạ f được g i là ọ toàn ánh khi và ch khi v i m i ph n t ỉ ớ ỗ ầ ửyY t n t i m t phồ ạ ộ ần

    sao cho f x( ) f(3 y 1) (3 y1)3  Do đó 1 y f là toàn ánh

- Ánh xạ f được gọi là song ánh khi và ch khi ỉ f vừa là toàn ánh vừa là đơn ánh

Ví d 0.8 Cho ánh x ụ ạ f : xác định bởi f x( )x31 v a là toàn ánh v a là ừ ừđơn ánh Do đó f là song ánh

Quan hệ thứ tự: a b n u ế a nhỏ hơn hoặc bằng b

Tính trù mật của trong : a b,  n u ế a b thì tồ ại n t q sao choa q b

Giá trị tuyệt đối khi 0

- S ố M g i là mọ ột cận trên c a A S bé nh t trong tủ ố ấ ất cả các c n trên cậ ủa A gọi là c ận

trên đúng c a A, kí hi u ủ ệ sup A Đặc biệt, nếu sup A A thì sup A là ph n t l n nh t cầ ử ớ ấ ủa

A, kí hi u ệ max A

- S ố m g i là m t cọ ộ ận dướ ủi c a A S l n nh t trong t t c các cố ớ ấ ấ ả ận dướ ủi c a A g i là ọ

cận dưới đúng c a A, kí hiủ ệu inf A Đặc bi t, nệ ếu inf A A  thì inf A là ph n t nhầ ử ỏ nhất

của A , kí hiệu min A

6

Tiên đề ận trên đúng: c Mọi tập hợp A  không r ng, b ỗ ị chặn trên đều có c n trên ậđúng thuộc Suy ra mọi tập h p ợ A  không r ng, b ỗ ị chặn dưới đều có cận dưới đúng thuộc

0.4 Trường s ố phứ c

* Khái niệ m s ố phứ c

S ố phức là m t s có d ng ộ ố ạ z   Trong đó a bi a b, là các số thực; i là m t kí hiộ ệu thoả i2  1 mà ta gọi là đơn vị ảo Hơn nữa, a g i là ọ ph ần thực ủa c z, kí hi u ệ Rez ; b gọi là phần ảo của z, kí hi u ệ Imz

Cho số phức z a bi  ( ,a b với môđun r z

Argument của z, kí hi u ệ Arg z là tập h p các góc ợ  thoả

cos

(*)sin

a r b r

Nếu  là một nghiệm của (*) thì Argz  k2 , k

Argument chính của ,z kí hi u ệ arg z là một Argument của z thoả 0 arg z 2 

2 (*)3sin

Cho zrcos(k2 )  isin(k2 )  Gi s ả ử wscosisin là căn bậc n

của z Khi đó

8

cos n sin n  cos( 2 ) sin( 2 )

22

n n

i i

Ma tr n ậ đơn vị là ma tr n chéo mà các ph n tậ ầ ử trên đường chéo chính b ng 1 Kí hiằ ệu

I hay I n (nếu là ma trân vuông c p n) ấ

1.1.3 Các phép bi ển đổi sơ cấ p trên ma tr ận

Ba phép biến đổi sau đây gọi là ba ến đổi sơ cấ trên dòng của ma trận

x B y

A B, là ma tr n c p ậ ấ m n được xác định như sau

  1 1 2 2

1

i j i j ip pj ik kj ij

k

AB a b a b a b a b



Với m i ma tr n vuônỗ ậ g A và s t nhiên ố ự n , ta định nghĩa: 1

14

* Hoán v ị

Xét tập n s t ố ự nhiên đầu tiên 1,2, Mỗi các sắp x p có th t ế ứ ự được gọi là một hoán v t n s ị ừ ố đã cho Số các hoán vị khác nhau t n ph n từ ầ ử đã cho là n! 1.2.3 Mỗi hoán vị của tập 1,2, được kí hiệu là  ( (1), (2),  với

Tính chất 1: Cho A là ma tr n vuông, ta có ậ det T det 

Chú ý: T tính ch t chuy n v , m i tính ch t cừ ấ ể ị ọ ấ ủa định thức đúng cho dòng thì cũng đúng cho cộ và ngượ ại Do đó, trong các tính chấ ủa địt c l t c nh thức, chỉ phát biểu cho các dòng, các tính chất đó vẫn gi nguyên giá tr khi thay ch ữ ị ữ “dòng” bằng ch ữ “cột”

Tính ch t 2:ấ Đổ ỗ và gi nguyên v trí các dòng còn lữ ị ại thì địthức đổi dấu

- Có hai dòng b ng nhau hoằ ặc tỉ ệ ớ l v i nhau

Tính ch t 6:ấ N u ta nhân m t dòng cế ộ ủa định th c v i s ứ ớ ố b t kì r i c ng vào dòng ấ ồ ộkhác thì định thức không thay đổi

Định lý Laplace (Công thức khai triển định thức)

Cho A là ma trận vuông cấp n Khi đó

1 3 13

18

3 12

* Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác

Các phép biển đổi sơ cấp trên ma trận

Ba phép biến đổi sau đây gọi là ba phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận

Tương tự ta có ba phép biến đổi sơ cấp trên các cột của ma trận

Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác

Sử dụng các phép biến đổi tương đương trên dòng (cột) của ma tr n và s d ng các ậ ử ụtính ch t cấ ủa định thức để ế đổ bi n i ma tr n cậ ủa định th c v dứ ề ạng tam giác Định th c sau ứcùng sẽ b ng tích các ph n tằ ầ ử trên đường chéo chính

Nếu A, B là các ma tr n vuông c p n thì ậ ấ det( ) det det Đặc biệt, với số tự

nhiên k ta có det( )A k detA

x y x y x y

x y x y x y A

Chọn các ph n t n m trên dòng 1, dòng 2, dòng 3, c t 1, c t 2 và cầ ử ằ ộ ộ ột 4 ta được định thức

Cho A là ma tr n c p ậ ấ m n  khác 0 H ng c a ma trạ ủ ận A, kí hi u ệ rank( ) hay r( )A

chính là cấp cao nhất trong các định th c con khác 0 c a ma tr n A ứ ủ ậ

Vậy h ng c a A là m t sạ ủ ộ ố nguyên r thoả

Tồn t i ít nh t mạ ấ ột định thức con cấp r khác 0 của A

Mọi định thức con của A c p lấ ớn hơn r (nếu có) thì ph i b ng 0 ả ằ

Quy ước: Nếu A thì 0 r( ) 0A 

21

- Bỏ đi các dòng hoặc các cột có tấ ảt c ph n t b ng 0 ầ ử ằ

- Bỏ đi các dòng hoặc các cột là tổ ợ h p tuy n tính c a các dòng hay các cế ủ ột khác

Tính chất 3: N u A là ma tr n vuông c p n thì ế ậ ấ

- r( ) n det 0 Khi đó ta gọi A là ma trận không suy biến

- r( ) n det 0 Khi đó ta gọi A là ma trận suy biến

* Phương pháp tìm hạng củ a ma tr n b ng các phép biậ ằ ến đổi sơ cấp

Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng (ho c theo cặ ột) không làm thay đổ ại h ng c a ma ủtrận Do đó muốn tìm hạng của ma trận A ta dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận

A v d ng ma tr n b c tề ạ ậ ậ hang A’ Khi đó hạng c a A b ng h ng củ ằ ạ ủa A’ và bằng s dòng ốkhác 0 của A’

* Phương pháp định thức bao quanh

Định thức bao quanh

Định thức con D c p ấ r 1 c a ma trủ ận A là định thức bao quanh định th c con ứ D(cấp r) c a A khi và ch khi ủ ỉ Dđược thành lập bằng cách b sung thêm m t dòng và m t ổ ộ ộcột của A ngoài rdòng và rcột đã chọn để ập đị l nh mức D

Định lý: Nếu ma trận A có định th c con ứ D c p 0 ấ rmà mọi định th c con cứ ấp r+1 bao quanh nó (nếu có) đều b ng 0 thì h ng cằ ạ ủa ma trận A b ng r.ằ

Do đó ta có thể tìm h ng c a ma trạ ủ ận theo phương pháp lặp sau:

- Tìm một định th c con ứ D khác 0 c p s c a ma tr n A ấ ủ ậ

- Tính các định th c con c p ứ ấ s bao quanh nó (n u có) 1 ế

+ N u t t cế ấ ả các định th c con c p ứ ấ s bao quanh 1 D đều b ng 0 (ho c ma ằ ặtrận không có định thức con cấp s1) thì hạng c a ma tr n b ng ủ ậ ằ s

+ N u t n tế ồ ại định th c con ứ D c p ấ s bao quanh 1 D khác không thì ta lặp các bước trên Sau một số bước hữu hạn ta sẽ tìm được hạng của ma trận

Trong số các định thức bao quanh nó có

1.5.2 Điều ki n tệ ồn tại và duy nhấ t

Định lý: Cho A là ma tr n vuông c p n, ma tr n A kh nghậ ấ ậ ả ịch khi và ch khi detỉ A 0(ma tr n A không suy biậ ến) Hơn nữa, ma tr n nghậ ịch đảo c a A là duy nh ủ ất

Ví dụ 1.30 Tìm m để ma tr n ậ

3

m m A

n n nn

A P

* Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo d a vào phép biự ến đổi sơ cấp

Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A cấp n ta lập ma trận có cấp n2n sau đây:

Tương tự phương trình ma trận cũng có nghiệm là   1

Ví dụ 1.33 Giải phương trình AX  với B 1 0 , 2 2

26

31

CHƯƠNG 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TUYẾN TÍNH

2.1 Khái niệm cơ bản

2.1.1 H ệ phương trình tuy n tính t ng quát ế ổ

H ệ phương trình tuyến tính(n ẩn, m phương trình) là hệ có d ng ạ

m

b b B b

32

Ma trận

1 2

n

x x X x

A không suy biến (det A0)

Hệ (1) gọi là hệ thuần nhất nếu c t t do ộ ự i  v i m0 ớ ọi i 1,m

Bộ n s ố ( , ,x x1 2 g i là nghi m c a h (1) nọ ệ ủ ệ ếu như khi ta thay chúng vào (1) ta được các đẳng thức đúng

Giải hệ phương trình tuyến tính tức là đi tìm nghiệm của hệ

Hai hệ phương trình tuyến tính cùng số ẩn được g i là ọ tương đương ế n u nghi m cệ ủa chúng b ng nhau ằ

2.1.2 Điều ki n tệ ồn tại nghiệ m

Định lý Kronecker-Capelli: Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi

Vì r A r A   nên h3 4 ệ đã cho có vô số nghiệm phụ thu c vào 1 tham s ộ ố

2.2 Phương pháp giải hệ Cramer

Xét hệ phương trình tuyến tính Cramer d ng ma tr n ạ ậ AX  ( A là ma tr n vuông, B ậ

detA0)

2.2.1 Phương pháp ma trận nghịch đảo

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất   1

Ví d ụ 2.2 Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp Cramer

1 2

n

b b B b

Ví d ụ 2.3 Giải hệ phương trình tuyến tính

- N u ế rank A( )rank A( )thì hệ vô nghiệm.

- N u ế rank A( ) rank A( ) Khi đó tồ ại địr n t nh thức con D cấp r của ma trận khác không

Ta bỏ đi tấ ả các phương trình không dính đết c n D m r r(  phương trình) Các ẩn ứng với các cột có dính đến

,1

Ví d ụ 2.5 Giải hệ phương trình

x a

x a

a x

2.4 H ệ phương trình tuyến tính thu ần nhấ t

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là hệ phương trình có dạng

11 1 12 2

21 1 22 2

00

38

Hệ luôn có nghiệm vì rank A( )rank(A0 ) rank A( )

Bộ số (0,0,…,0) luôn là một nghiệm của hệ gọi là nghiệm tầm thường

Các nghiệm khác không nếu có gọi là nghiệm không tầm thường của hệ

Từ định lý Kronecker-Capelli ta có

- Nếu r(A)nthì hệ (2) có nghiệm duy nhất, đó là nghiệm tầm thường

- Nếu r(A) r n thì hệ (2) có vô số nghiệm phụ thuộc nr tham số, trong đó ẩn chính phụ thuộc tham số Ta gọi đó là nghiệm tổng quát của của hệ phương trình (2)

- Cho các tham số những giá trị đặc biệt, lập nên một ma trận chéo, ta được nghiệm

cơ bản của hệ phương trình (2)

Ví dụ 2.6 Tìm nghiệm tổng quát và một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình

Vậy nghiệm tổng quát của hệ là 3 ,     , ,  với  , 

Một hệ nghiệm cơ bản của hệ là 0,1,1,0 ; 3,1,0,1  

- Hệ có nghiệm duy nhất tầm thường khi và chỉ khi detA 0

- Hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi detA 0

a Tìm m để hệ đã cho là hệ Cramer Tìm nghiệm trong trường hợp đó

b Tìm m để hệ trên vô nghiệm

Bài 6 Cho hệ phương trình

a Tìm m để hệ phương trình vô nghiệm

b Tìm m để hệ phương trình có vô số nghiệm và tìm nghiệm trong trường hợp đó

Bài 7 Giải các hệ phương trình thuần nhất sau

Sau đây là các ví dụ cơ bản về không gian véctơ trên

Ví d 3.1.ụ Không gian tích Descartes V  với phép toán cộng và phép nhân v i mớ ột số thực được định nghĩa như sau

44

Khi đó cùng v i hai phép toán cớ ộng và phép nhân được định nghĩa như trên là không gian véctơ trên

Ví d 3.2.ụ Xét VM m n là t p h p các ma tr n c p ậ ợ ậ ấ m n  Khi đó V cùng v i phép ớcộng ma tr n và phép nhân ma trậ ận v i mớ ột số thực là không gian véctơ trên

3.2 Tính ch ất của không gian véctơ

Tính chất 1: Véctơ không của không gian véctơ là duy nhất Ta kí hiệu véctơ không của không gian V là 0V hoặc 0 Ví dụ, 0 0,0 , 0  0,0,0

Tính chất 2: Véctơ đố ủi c a mỗi véctơ  là duy nhất Khi đó ta kí hiệu  là phần t  ử

Ví d 3.3.ụ Trong , xét 3 véctơ 1 ( 3,0),2(0; 2), 3(3,2) Khi đó véctơ không 0 (0,0) có thể ể bi u th ị tuyến tính qua các véctơ   1, ,2 3 như sau

0 0  0 0

0 1  1 1

 gọi là không tầm thường

Ví d 3.4.ụ Trong cho các véctơ15,2, 1 ,  20,2, 2 ,  3(1, 1,3) và

(2,1, 2)

   Khi đó  có thể bi u th tuy n tính qua ể ị ế   1, ,2 3được không?

3.3.2 Độ ậc l p tuy n tính và ph thu c tuy n tính ế ụ ộ ế

Cho V là một không gian véctơ trên và      1, ,2 V là một hệ véctơ

Hệ  gọi là ụ ộ ế n u t n t i các s ế ồ ạ ốa a1, ,2 không đồng thời bằng 0 sao cho

ệ  độ ậ ế khi và ch khi ỉ ran ( )m

Hệ  ph thu c tuy n tính khi và ch khi ụ ộ ế ỉ ran ( ) m

Ví d ụ 3.6 Xét tính độc l p tuy n tính hay phậ ế ụ thuộc tuy n tính c a các hế ủ ệ véctơ sau

46

a 1(1,1,1);2(2,3,2);3(0,2,1)

b 1(1,1,0,0);2(0,1,1,0);3(2,3,1,0)

Định lý: Cho hệ véctơ  1, ,2 độc l p tuyậ ến tính Khi đó hệ véctơ

 1, ,2 độc l p tuy n tính khi và ch khi ậ ế ỉ  không bi u th tuyể ị ến tính được qua

1, ,2

 

3.4 H ng c a h ạ ủ ệ véctơ và số chi ều của không gian véctơ

3.4.1 H ạng củ a h ệ véctơ

*Hệ con độc lậ p tuy n tính tế ối đại

Cho hệ véctơ      1, ,2 V H con cệ ủa hệ véctơ   là hệ véctơ gồm một

số (hoặc t t cấ ả) các véctơ của h Hệ ệ con  i1, i2, c a h ủ ệ   được g i là h con ọ ệ

độc lập tuyến tính tối đại nếu thoã hai điều kiện sau

(i) Hệ  1, i2, độc lập tuy n tính ế

(ii) Mọi véctơ của hệ  đều bi u th tuyể ị ến tính được qua hệ con  1, 2,

Nhận xét: Một hệ véctơ có thể có nhi u hề ệ con độ ậc l p tuy n tính tế ối đại khác nhau nhưng số véctơ của các hệ con độc lập tuyến tính tối đại thì luôn bằng nhau Số đó ta gọi là hạng của hệ   , kí hi u ệ rank 

*Cách tìm h cệ on độ ậc l p tuy n tính tế ối đại, h ạng của một hệ véctơ trong

Trong cho một hệ véctơ      1, ,2 Để tìm hệ con độc lập tuyến tính tối

đạ ủi c a hệ   ta làm như sau

Bước 1: L p ma tr n A vậ ậ ới các dòng là các véctơ i

Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa A về ạ d ng ma tr n b c thang ậ ậ

Bước 3: Khi đó hạng của hệ  chính b ng h ng c a ma tr n A và hằ ạ ủ ậ ệ con độ ậc l p tuyến tính tối đại của   gồm các véctơ ứng v i các dòng khác không cớ ủa ma trận A

Ví d 3.7.ụ Trong cho các véctơ 1(1,1,1,0);2(1,1, 1,1); 3(3,4,0,2) và

4 (3,4,0,2)

  Tìm h ng và ch ra m t hạ ỉ ộ ệ con độc l p tuy n tính tậ ế ối đại c a h ủ ệ

   1, , ,2 3 4

Chú ý

47

- Ta cũng có thể ậ l p ma tr n B, v i các c t cậ ớ ộ ủa B là các véc tơ i Khi đó T

B A Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa B về ạ d ng ma tr n bậ ậc thang Khi đó

Hệ véctơ      1, ,2 trong không gian véctơ V gọi là một cơ sở của V nếu

 độc lập tuy n tính và mế ọi véctơ của V đều bi u th tuy n tính qua ể ị ế 

Ví d ụ 3.8 Trong xét h ệ véctơ

1 (1,0,

Dễ dàng kiểm tra hệ này độc lập tuy n tính và vế ới mọi véctơ x x x1, ,2 ta có

Hệ véctơ e e1, , ,2 e n là một cơ sở ủa c và được gọi là cơ sở chính tắc của không gian , kí hi u ệ  n

* S chi u ố ề

Cho V là một không gian véctơ, V gọi là không gian n chi u n u trong V có ít nhề ế ất một hệ n véctơ độ ậc l p tuy n tính và m i hế ọ ệ n+1 véctơ đều ph thu c tuy n tính Kí hi u ụ ộ ế ệdimV  n

Không gian không (chỉ g m mồ ột véctơ không) được xem là có s ố chiều n 0

Ví d ụ 3.9 dim

Định lý: Trong mỗi không gian véctơ n chiều

(i) Mọi hệ g m nhiồ ều hơn n véctơ đều phụ thuộc tuyến tính

(ii) Mọi cơ sở đều gồm đúng n véctơ Mọ ệ độ ậi h c l p tuy n tính gế ồm n véctơ đều là cơ

sở

* To ạ độ véctơ

Cho V là một không gian véctơ n chiều với      1, ,2 là một cơ sở của V

Khi đó mọi véctơ x V đều có th viể ết được duy nhất dưới dạng

1 1 2 2

xa a trong đó a a1, ,2 Ta gọi bộ ố s là toạ độ ủa véctơ x trong cơ sở c

 Kí hi u ệ

Ta cũng kí hiệu    

1 2

/

n

a a x

 x / 

Ví d ụ 3.11 Trong cho h ệ 3 véctơ     u1(1,1,0),u2 (0,1,1),u3 (1,0,1)

a Ch ng t r ng ứ ỏ ằ  là một cơ sở ủ c a không gian

b Tìm toạ độ ủa các véctơ c e1(1,0,0),e2(0,1,0),e3(0,0,1) và u(4,3,5) trong

cơ sở  

* Ma trận cơ sở, công th ức đổi toạ độ

n n

50

b Tìm ma trận đổi cơ sở ừ t   sang ( )C3

c Cho  (1,2,3) Tìm to ạ độ / 

d Tìm véctơ  biết toạ độ ủa nó trong c   là 2,3,5 

3.5 Không gian véctơ con

3.5.1 Định nghĩa không gian véctơ con

Cho V là không gian véctơ trên U là một tập con khác r ng c a V T p con ỗ ủ ậ U   của V gọi là không gian véctơ con của V nếu nó thoả 2 điều kiện

Khi đó U có phải là không gian véctơ con của không?

Ví d ụ 3.14 Tập nào sao đây là không gian con của

b U1 x

3.5.2 Không gian con sinh b i mở ột hệ véctơ

Trong không gian véctơ V, cho hệ véctơ  1, , ,2 m Khi đó tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các véctơ  1, , ,2 m, kí hiệu  1, , ,2 m là không gian véctơ con của V Không gian này ta g i là ọ không gian con c a V sinh b i hủ ở ệ véctơ 1, , ,2 m (còn g i là ọ

bao tuy n tínhế c a hủ ệ véctơ  1, , ,2 m) Ta gọi  1, , ,2 m là m t h sinh cộ ệ ủa