BÀI GIẢNG TOÁN CAO cấp PHẦN 1 đại số TUYẾN TÍNH

Các phép biển đổi sơ cấp trên ma trận Ba phép biến đổi sau đây gọi là ba ến đổi sơ cấ trên dòng của ma trận... Để nhớ công thức trên người ta thường sử dụng quy tắc Sarrus như sau:Giữ ng

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG

CƠ SỞ II BỘ MÔN CƠ SỞ - CƠ BẢN TỔ

TOÁN TIN

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP

PHẦN 1: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Trang 2

download by : skknchat@gmail.com

Trang 3

MỞ ĐẦU

0.1 Tậ p hợp

* Khái niệm cơ bản

Tập hợp có thể hiểu tổng quát là nhóm các đối tượng có chung một đặc trưng

nào đó Người ta thường dùng các chữ cái in hoa A, B, C,… để ký hiệu một tập hợp.Nếu x là phần tử của A kí hiệu x A Ngược lại kí hiệu x A ( x không thuộc A)

Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng Kí hiệu: .

- Tập hợp con: A là tập hợp con của B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B.

Kí hiệu: A B ( A chứa trong B)

Trang 4

- Phép hiệu: A B {x, x A và x B}

- Phần bù: Cho A E , phần bù củ a A đối với E là một tập hợp có tính chất

A A C C E A E \ A {x , x E và x A}.

- Hiệu đối xứng: Cho A, B là hai tập hợp Hiệu đối xứng của A và B, kí hiệu

A B một tập hợp được xác định như sau

A B (A\ B) (B\ A).

- Tích Descartes: Cho A, B là hai tập hợp Tích Descartes của A và B, kí

hiệuA B một tập hợp được xác định như sau

Cho hai tập hợp X , Y , một phép liên kết f tương ứng mỗi phần tử x X với duy

nhất một phần tử y Y được gọi là ánh xạ từ X vào Y

x x)

X gọi là tập hợp nguồn (miền xác định)

Y gọi là tập hợp đích (miền giá trị)

Trang 5

Trang 6

* Đơn ánh, toàn ánh, song ánh Cho ánh xạ f : X Y

- Ánh xạ f được gọi là đơn ánh khi và chỉ khi x1, x2 X và

Lấy bất kì y , phương trình y x3 1 luôn có nghiệm x 3 y 1 Nghĩa là

y , x 3 y 1 sao cho f ( x) f ( 3 y 1) ( 3 y 1) 3 1 y Do đó f là toàn ánh.

- Ánh xạ f được gọi là song ánh khi và chỉ khi f vừa là toàn ánh vừa là đơn ánh

Ví dụ 0.8 Cho ánh xạ f : xác định bởi f ( x) x3 1 vừa là toàn ánh vừa làđơn ánh Do đó f là song ánh

Trang 7

* Khái niệ m số thực

Tập hợp các số hữ u tỉ bao gồ m các số thập phân hữ u hạn và các số thập

phân vô hạn tuần hoàn

Ngoài các số hữ u tỉ , ta còn gặp các số thập phân vô hạn không tuần hoàn còn gọi là số

Phân phối: a ( b c) ab ac.

Quan hệ thứ tự: a b nếu a nhỏ hơn hoặc bằng b

Tính trù mật của trong : a, b nếu a b thì tồn tại q sao cho a q b.

- Số M gọi là một cận trên của A Số bé nhất trong tất cả các cận trên của A gọi là cận

trên đúng của A, kí hiệu sup A Đặc biệt, nếu sup A A thì sup A là phần tử lớn nhất của

A , kí hiệu max A

- Số m gọi là một cận dưới của A Số lớn nhất trong tất cả các cận dưới của A

gọi là cận dưới đúng của A, kí hiệu inf A Đặc biệt, nếu inf A A thì inf A là phần tử nhỏ nhất của A , kí hiệu min A

5

Trang 8

Tiên đề cận trên đúng: Mọi tập hợp A không rỗng, bị chặn trên đều có cận trên

đúng thuộc Suy ra mọi tập hợp A không rỗng, bị chặn dưới đều có cận dưới đúngthuộc

0.4 Trường số phức

* Khái niệm số phức

Số phức là một số có dạng z a bi Trong đó a , b là các số thực; i là một kí hiệu thoả i2 1 mà ta gọi là đơn vị ảo Hơn nữa, a gọi là phần thực của z , kí hiệu Re z ; b

gọi là phần ảo của z , kí hiệu Imz

Môđun của số phức z , kí hiệu z xác định bởi z a 2 b2

Hai số phức z a bi, w c di ( a, b, c, d được gọi là bằng nhau nếu và chỉ nếu

a c, b d

Tập hợp các số phức được kí hiệu là .

* Các phép toán trên trường số phức

Cho hai số phức z a bi, w c di ( a, b, c, d .

* Dạng lượng giác của số phức

Cho số phức z a bi ( a , b với môđun r z

Argument của z , kí hiệu Arg z là tập hợp các góc thoả

r (*)

r

Nếu là một nghiệm của (*) thì Arg z k 2 , k

Argument chính của z, kí hiệu arg z là một Argument của z thoả 0 arg z 2 6

Trang 9

2Một nghiệm của (*) là suy ra Arg z k 2 , k và arg z 5 .

Cho z là số phức Số phức w gọi là một căn bậc n của z nếu như w n z Khai căn

bậc n của z tức là đi tìm tất cả các căn bậc n của z

Cho

Giả sử w s cos i sin

z r cos( k 2 ) i sin( k2 ) là căn bậc ncủa z. Khi đó

7

Trang 11

Trang 12

ma trận A Phần tử nằm trên dòng i và cột j còn được kí hiệu là ( A)ij

Trang 13

Ma trậ n chuyể n vị của A là ma trận thu được bằng cách đổi dòng thành cột tương ứng

của ma trận A Ma trận chuyển vị của A được kí hiệu là A T Nếu A là ma trận cấp m n thì

cột bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n Kí hiệu

Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n được kí hiệu Mn .

Các phần tử có dạng aii được gọi là phần tử chéo của ma trận Đường thẳng chứa các phần tử chéo gọi là đường chéo chính của A.

Ví dụ 1.4 A 2 1 6 là ma trận vuông cấp 3 Các phần tử 3, 1, 2 là phần tử

1 3 2chéo của A

* Ma trận tam giác

Cho A là ma trận vuông cấp n

- Ma trận A là ma trận tam giác trên nếu tất cả phần tử nằm bên dưới đường

chéo chính đều bằng 0, tức là a ij 0, i j ; i 1, ,n; j 1, ,n

- Ma trận A là ma trận tam giác dưới nếu tất cả các phần tử nằm bên trên

đường chéo chính đều bằng 0, tức là a ij 0, i j ; i 1, ,n; j 1, ,n

Ví dụ 1.5

10

Trang 14

Trang 15

Ma trận đơn vị là ma trận chéo mà các phần tử trên đường chéo chính bằng 1 Kí hiệu

I hay In (nếu là ma trân vuông cấp n)

1.1.3 Các phép biển đổi sơ cấp trên ma trận

Ba phép biến đổi sau đây gọi là ba ến đổi sơ cấ trên dòng của ma trận

Trang 16

Trang 17

Cho hai ma trận A và B cùng cấp m n Tổng hai ma trận, kí hiệu A+B là ma trận cấp

m n xác định bởi A B ij A ij B ij với mọi i , j.

1.2.2 Phép nhân vô hướng của ma trận với một số thực

Tích của ma trận A cấp m n với số thực , kí hiệu A , là ma trận cấp m n xác

ij ij định bởi A A với mọi i,j.

Cho hai ma trận A a ij m p , B b ij p n Ta gọi tích của hai ma trận A và B, kí hiệu

A B , là ma trận cấp m n được xác định như sau

p

AB ij a i 1b1j a i2b 2 j a ip b pj a ik b kj

k 1

12

Trang 18

Ví dụ 1.11

13

Trang 19

Trang 20

* Hoán vị

Xét tập n số tự nhiên đầu tiên 1,2, Mỗi các sắp xếp có thứ tự được gọi là một

hoán vị từ n số đã cho Số các hoán vị khác nhau từ n phần tử đã cho là n! 1.2.3

Trong một hoán vị, mỗi cặp số liên tiếp có số lớn đứng trước số bé gọi là một

nghịch thế của hoán vị Số nghịch thế của hoán vị được kí hiệu là N ( )

Ví dụ 1.14 Với các hoán vị của 3 phần tử trên, ta có

Trang 21

Trang 22

Để nhớ công thức trên người ta thường sử dụng quy tắc Sarrus như sau:

Giữ nguyên dấu Đổi dấu

Tính chất 1: Cho A là ma trận vuông, ta có det T det

Chú ý: Từ tính chất chuyển vị, mọi tính chất của định thức đúng cho dòng thì cũng

đúng cho cột và ngược lại Do đó, trong các tính chất của định thức, chỉ phát biểu cho

các dòng, các tính chất đó vẫn giữ nguyên giá trị khi thay chữ “dòng” bằng chữ “cột”

Tính chất 2: Đổ ỗ và giữ nguyên vị trí các dòng còn lại thì đị

Trang 23

Trang 24

Tính chất 3: Thừa số chung của một dòng có thể đưa ra ngoài dấu định thức.

Chú ý: Cho A là ma trận vuông cấp n và số thực , ta có det A n det A

Tính chất 4: Cho A là ma trận vuông cấp n Giả sử dòng thứ i của ma trận A có thể

biểu diễn a a' a" với j 1, 2, , n Khi đó ta có:

- Có hai dòng bằng nhau hoặc tỉ lệ với nhau

Tính chất 6: Nếu ta nhân một dòng của định thức với số bất kì rồi cộng vào

dòng khác thì định thức không thay đổi

Tính chất 7: Định thức của ma trận tam giác, ma trận chéo bằng tích các phần

tử nằm trên đường chéo chính

Tính chất 8: Nếu A, B là các ma trận vuông cấp n thì det( ) det det

Trang 25

Gọi Mij là ma trận nhận được từ A bằng cách bỏ đi dòng i và cột j Khi đó số ( 1)

i j det Mij gọi là ần bù đạ ố của phần tử a ij , kí hiệu là Aij

Định lý Laplace (Công thức khai triển định thức)

Cho A là ma trận vuông cấp n Khi đó

n

- deta ij j a i1 i1 a i2 i2 a in A in , i 1, n ( khai triển theo dòng i).

j 1 n

- det Aa ij A ij a1j A1j a2j A2j a nj A nj, j 1, n (khai triển theo cột j).

Trang 26

Trang 27

- Đổi chỗ hai dòng cho nhau d i d j

Tương tự ta có ba phép biến đổi sơ cấp trên các cột của ma

trận Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác

Sử dụng các phép biến đổi tương đương trên dòng (cột) của ma trận và sử dụng các

tính chất của định thức để biến đổi ma trận của định thức về dạng tam giác Định

thức sau cùng sẽ bằng tích các phần tử trên đường chéo chính

Nếu A, B là các ma trận vuông cấp n thì det( ) det det Đặc biệt, với số tự

nhiên k ta có det( A k ) det A

18

Trang 28

Cho A là ma trận cấp m n Chọn các phần tử nằm trên k dòng và k cột của A ta

được một trận vuông cấp k Định thức của ma trận vuông cấp k trên ta gọi là đị nh

Trang 29

Trang 30

Chọn các phần tử trên dòng 1 và cột 2 ta được định thức 0 là một định thức con cấp 1

của ma trận A

Chọn các phần tử nằm trên dòng 1, dòng 3, cột 1 và cột 2 ta được định thức

1 2là

1 3một định thức con cấp 2 của ma trận A

Cho A là ma trận cấp m n khác 0 Hạng của ma trận A, kí hiệu rank( ) hay r( A)

chính là cấp cao nhất trong các định thức con khác 0 của ma trận A

Vậy hạng của A là một số nguyên r thoả

Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 của A

Mọi định thức con của A cấp lớn hơn r (nếu có) thì phải bằng 0

Quy ước: Nếu A 0 thì r( A) 0.

Trang 31

- Bỏ đi các dòng hoặc các cột có tất cả phần tử bằng 0.

- Bỏ đi các dòng hoặc các cột là tổ hợp tuyến tính của các dòng hay các cột

khác Tính chất 3: Nếu A là ma trận vuông cấp n thì

- r( ) n det 0 Khi đó ta gọi A là ma trận không suy biến

- r( ) n det 0 Khi đó ta gọi A là ma trận suy biến

Tính chất 4: Nếu A, B là các ma trận cùng cấp thì r( A B) r( A) r( B).

Tính chất 5: Cho A, B là các ma trận sao cho ta có thể thực hiện tích AB Khi

đó r( AB) min{r( A), r( B)}

1.4.3 Một số phương pháp tính hạng ma

trận * Ma trận bậc thang

Ma trận bậc thang là ma trận có dạng:

+ Các dòng bằng không (nếu có) thì nằm dưới cùng

+ Phần tử khác không đầu tiên ở dòng dưới luôn nằm bên phải cột các phần

tử khác không đầu tiên của dòng trên

Phần tử khác không đầu tiên này gọi là các phần tử đánh dấu của

* Phương pháp tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp

Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng (hoặc theo cột) không làm thay đổi hạng của ma

trận Do đó muốn tìm hạng của ma trận A ta dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận

A về dạng ma trận bậc thang A’ Khi đó hạng của A bằng hạng của A’ và bằng số

Trang 32

Trang 33

Định thức con D cấp r 1 của ma trận A là định thức bao quanh định thức con D

(cấp r ) của A khi và chỉ khi D được thành lập bằng cách bổ sung thêm một dòng và

một cột của A ngoài r dòng và r cột đã chọn để lập định mức D

Định lý: Nếu ma trận A có định thức con D 0 cấp r mà mọi định thức con cấp

r+1 bao quanh nó (nếu có) đều bằng 0 thì hạng của ma trận A bằng r

Do đó ta có thể tìm hạng của ma trận theo phương pháp lặp sau:

- Tìm một định thức con D khác 0 cấp s của ma trận A

- Tính các định thức con cấp s 1 bao quanh nó (nếu có)

+ Nếu tất cả các định thức con cấp s 1 bao quanh D đều bằng 0 (hoặc

ma trận không có định thức con cấp s 1) thì hạng của ma trận bằng s

+ Nếu tồn tại định thức con D cấp s 1 bao quanh D khác không thì ta lặp

các bước trên Sau một số bước hữu hạn ta sẽ tìm được hạng của ma trận

22

Trang 34

Trang 35

1.5.2 Điều kiện tồn tại và duy nhất

Định lý: Cho A là ma trận vuông cấp n, ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi det

A 0 (ma trận A không suy biến) Hơn nữa, ma trận nghịch đảo của A là duy nhất.

Trang 36

* Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo dựa vào phép biến đổi sơ cấp

Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A cấp n ta lập ma trận có cấpn

Trang 37

Trang 38

Sau đó ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận A| I n

về dạng

I n | B Khi đó, ma trận B chính là ma trận nghịch đảo của ma trận A.

Chú ý: Nếu trong quá trình biến đổi nếu khối bên trái xuất hiện một dòng với tất

* Dùng ma trận nghịch đảo giải phương trình ma trận

Xét phương trình ma trận AX B với A là ma trận vuông cấp n không suy biến

Trang 39

Trang 40

27

Trang 41

Trang 43

Trang 45

Trang 47

CHƯƠNG 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TUYẾN TÍNH

2.1 Khái niệm cơ bản

2.1.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Hệ phương trình tuyến tính (n ẩn, m phương trình) là hệ có dạng

Trang 48

Trang 49

Hệ (1) gọi là hệ Cramer nếu nó có số phương trình bằng số ẩn (n=m) và ma

trận hệ số A không suy biến (det A 0)

Hệ (1) gọi là hệ thuần nhất nếu cột tự do i 0 với mọi i 1,m

Bộ n số ( x1 , x2 , gọi là nghiệm của hệ (1) nếu như khi ta thay chúng vào (1) ta

được các đẳng thức đúng

Giải hệ phương trình tuyến tính tức là đi tìm nghiệm của hệ

Hai hệ phương trình tuyến tính cùng số ẩn được gọi là tương đương nếu

nghiệm của chúng bằng nhau

2.1.2 Điều kiện tồn tại nghiệm

Định lý Kronecker-Capelli: Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi

rank ( A) rank( A)

Hơn nữa giả sử rank ( A) rank( A) r (0 r min m, n ) Khi đó

- Nếu (n là số ẩn) thì hệ (1) có nghiệm duy nhất

Trang 50

Trang 51

Vậy r A 2 r A 3 nên hệ đã cho vô nghiệm.

Vì r A r A 3 4 nên hệ đã cho có vô số nghiệm phụ thuộc vào 1 tham số

2.2 Phương pháp giải hệ Cramer

Xét hệ phương trình tuyến tính Cramer dạng ma trận AX B ( A là ma trận

vuông, det A 0)

2.2.1 Phương pháp ma trận nghịch đảo

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1

Ví dụ 2.2 Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp Cramer

Trang 52

7 4

Tính A 1 Ta có A 1 19

12

51219

Trang 53

Trang 54

2.3 Phương pháp giải hệ tổng quát 2.3.1 Phương pháp định thức

Tìm hạng của A và A

- Nếu rank ( A) rank ( A) thì hệ vô nghiệm

- Nếu rank ( A) rank ( A) r Khi đó tồn tại định thức con D cấp r của ma trận khác

Trang 55

Trang 56

D1213 1 1 1 0

của A ( D1213 là định thức con của ma trận A có được bằng cách lấy các phần tử

ở các dòng 1, dòng 2, cột 1 và cột 3) Ta giữ lại hai phương trình đầu Giữ x1 , x3 làm

ẩn và chuyển x2 , x4 sang vế phải làm tham số, ta được

3

b

x

4Lập ma trận A Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa A về dạng bậc thang

Nếu trong quá trình biến đổi xuất hiện một dòng bên trái bằng 0, bên phải khác 0thì hệ vô nghiệm

Nếu đưa A về dạng ma trận bậc thang thì các ẩn ứng với các cột chứa phần tử đánh dấu giữ lại làm ẩn, các ẩn ứng với các cột không chứa phần tử đánh dấu chuyển sang bên phải làm tham số, sau đó giải phương trình ngược từ dòng dưới cùng đến dòng 1.

Ví dụ 2.5 Giải hệ phương trình

36

Trang 57

Trang 58

2.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là hệ phương trình có dạng

Trang 59

Trang 60

Hệ luôn có nghiệm vì rank ( A ) rank ( A 0 ) rank ( A)

Bộ số (0,0,…,0) luôn là một nghiệm của hệ gọi là nghiệm tầm thường

Các nghiệm khác không nếu có gọi là nghiệm không tầm thường của hệ

Từ định lý Kronecker-Capelli ta có

- Nếu r (A) n thì hệ (2) có nghiệm duy nhất, đó là nghiệm tầm thường

- Nếu r (A) r n thì hệ (2) có vô số nghiệm phụ thuộc n r tham số, trong đó ẩn chính

phụ thuộc tham số Ta gọi đó là nghiệm tổng quát của của hệ phương trình (2)

- Cho các tham số những giá trị đặc biệt, lập nên một ma trận chéo, ta được

nghiệm cơ bản của hệ phương trình (2)

Ví dụ 2.6 Tìm nghiệm tổng quát và một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình

0,1,1,0

38

Trang 61

Tiêu đề	Bài Giảng Toán Cao Cấp Phần 1: Đại Số Tuyến Tính
Trường học	Trường Đại Học Ngoại Thương Cơ Sở II
Chuyên ngành	Cơ Sở - Cơ Bản Tổ Toán Tin
Thể loại	bài giảng

Định dạng
Số trang	130
Dung lượng	780,16 KB

BÀI GIẢNG TOÁN CAO cấp PHẦN 1 đại số TUYẾN TÍNH

Phương pháp giải hệ tổng quát

Không gian con sinh bởi một hệ véctơ