BÀI TOÁN BIÊN DẠNG TUẦN HOÀN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT TUYẾN TÍNH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Vũ Hồng Toàn BÀI TOÁN BIÊN DẠNG TUẦN HOÀN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT TUYẾN TÍNH Chuyên ngành : Toán Giải

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Vũ Hồng Toàn

BÀI TOÁN BIÊN DẠNG TUẦN HOÀN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành : Toán Giải tích

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 THƯ

VIỆN

LỜI CẢM ƠN Đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn, người đã tận tâm hướng dẫn và tạo mọi điều kiện tốt nhất có thể giúp tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp cho tôi hoàn thành luận văn này một cách hoàn chỉnh

Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng KHCN – Sau Đại học cùng toàn thể thầy cô khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian nghiên cứu đề tài

Tôi cũng chân thành cảm ơn gia đình, các anh chị và các bạn đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của Quý Thầy Cô và bạn đọc nhằm bổ sung và hoàn thiện đề tài hơn Xin chân thành cảm ơn

Tp Hồ Chí Minh tháng 3 năm 2011

C a b R Không gian Banach các hàm liên tục v:[ ]a b, →R

với chuẩn v C =max{v t( ) :a≤ ≤t b }

C a b D Không gian các hàm liên tục v:[ ]a b, →D

thỏa mãn điều kiện λv a( )+µv b( )=0

tục thoả mãn điều kiện Carathèodory, nghĩa là với mỗi r>0 tồn tại q r ∈L a b R( [ ], ; +) sao cho

thoả điều kiện Carathèodory, nghĩa là :

+ Hàm f ( )⋅,x :[ ]a b, →B đo được với mỗi x∈A

+ Hàm f t( ), :⋅ A→B liên tục với mỗi t∈[ ]a b ,

+ Với mỗi r>0 tồn tại q r ∈L a b R( [ ], ; +)sao cho

v C a b R thoả mãn điều kiện : v t( )=0,t∈[a b 1, 1]

ta có l v t( )( )=0hầu khắp nơi trên [a b 1, 1] [ ] 1( ) 1 ( ) [ ] 1( ) 1 ( )

PHẦN MỞ ĐẦU

Lý thuyết bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân thường và phương trình

vi phân hàm ra đời từ thế kỉ 18, song đến nay vẫn được nhiều người quan tâm nhờ các ứng dụng của nó trong các lĩnh vực vật lý, cơ học, kinh tế, nông nghiệp, … Đặc biệt, bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc nhất đạt được nhiều kết quả bắt đầu

từ năm 2000, nhờ các kết quả của các tác giả như I Kiguradze, R.Hakl, A.Lomtatidze, … cho hệ phương trình vi phân hàm tổng quát

Trong luận văn này tôi nghiên cứu bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc nhất tuyến tính Bài toán như sau:

Xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân hàm tuyến tính:

Luận văn gồm ba chương :

Chương I Chúng ta xây dựng điều kiện cần và đủ để một toán tử tuyến tính và bị chặn mạnh l thuộc vào lớp V ab+( , )λ µ

Chương II Xây dựng các điều kiện đủ để bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm tuyến tính có nghiệm duy nhất

Chương III Áp dụng các kết quả của chương II để xây dựng các điều kiện đủ cho việc tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân đối số lệch

Luận văn là tài liệu tham khảo cho những người quan tâm đến lý thuyết bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm tuyến tính và phi tuyến bậc cao

CHƯƠNG I MỘT SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Trong chương này ta giả sử rằng λ + µ ≠ 0và λµ ≤0

Trường hợp λ = −µ ta cần thêm điều kiện toán tử l L không tầm thường, nghĩa là ∈ ab

(1)

l ≢1.Equation Section 1

1.1 Giới thiệu bài toán

Xét bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm tuyến tính bậc nhất sau:

Ta nói toán tử l L thuộc tập ∈ ab V ab+( , )λ µ nếuthoả mãn các điều kiện sau

i Bài toán (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường

ii Với mọi q∈L a b([ , ];¡ +) và c∈¡ thỏa

Do đó ta có ( )u t′ =l( )( )u t +q t( )≥0 hay ( )u t là hàm tăngtrên [ ]a b, hay u b( ) ( )>u a ≥0

Hơn nữa, từ các điều kiện :

u b

u a

λ µ≥ > µSuy ra µ < λ đúng

Mặt khác vì

0 0

( ) ( )( ) ( )

Do đó ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

Giả sử tồn tại hàm số γ∈C a b%([ , ];(0,+∞))thoả mãn các bất đẳng thức (1.10), (1.11)

Ta chứng minh l∈V ab+( , )λ µ theo định nghĩa 1.2.1

Ø Bước 1 Giả sửu là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) với mọi q∈L a b([ , ];¡ và +)

c∈¡ thoả mãn bất đẳng thức (sgnλ−sgnµ)c≥0 Ta cần chứng minh u t( )≥0,t∈[ ]a b, Thật vậy, Do λµ ≤0 nên từ bất đẳng thức (sgnλ −sgnµ)c≥0 ta có 2 sgnc λ ≥0

Giả sử trái lại ( )u t < ∀ ∈0 t [ , ]a b

Khi đó tồn tại t0∈[ , ]a b sao cho

u t r

Hơn nữa, nếu

i Bài toán(1.1 0 ), (1.2 0 ) chỉ có nghiệm tầm thường

và bài toán (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường u

Theo định lí 1.1.1ta có u là nghiệm duy nhất của bài toán

( ) ( )( )( ) ( ) sgn

Thật vậy, giả sử trái lại ( )u t < 0 với mọi t∈[ ]a b,

Vì u(t) liên tục trên [ , ]a b nên tồn tại t0∈[ ]a b, sao cho

[ ]

M = −u t t∈ a b = −u t (1.16) Tích phân (1.10) từ a đến t 0và l P ta có ∈ ab

0 0

1 0

(1) 1 ,(1)

λ µµ

ll

M m

( ) ( ) sgn

do đó

Do đó, bất đẳng thức (1.25) thoả mãn cả hai trường hợp t M >t m và t M <t m

Mặt khác, tích phân (1.1)từ a đến b, dol l0, 1∈P , kết hợp với (1.24) và giả thiết ab([ , ]; )

(1)(1)

L L

L

λ µµ

−

−

ll

λ µµ

v Bước 1 Giả sửu là nghiệm không tầm thường của bài toán (1.1), (1.2) với

([ , ]; ),

q∈L a b ¡+ c∈¡thoả mãn (sgnλ −sgn )µ c≥0 Ta sẽ chứng minh rằng ( ) 0, [ , ]

u t ≥ ∀ ∈t a b

Thật vậy, giả sử ulà hàm đổi dấu

Do u liên tục trên [ , ] a b nên tồn tại t M,t m∈[ , ]a b sao cho

( ) max ( ) : [ , ] : ,( ) min ( ) : [ , ] :

M m

Do l l0, 1∈P và giả thiết ab µλ ∈(0,1],q∈L a b([ , ],¡ cùng với (1.30), kết hợp với +)

Do đó, ulà hàm không đổi dấu, từ đó theo bổ đề1.2.9, ta có ( ) u t ≥ ∀ ∈0, t [ , ]a b

v Bước 2 Chứng minh bài toán (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường

Thật vậy, giả sử u 0 là nghiệm không tầm thường của bài toán (1.10), (1.20) Hiển nhiên, -u 0

cũng là nghiệm không tầm thường của bài toán (1.10), (1.20) Do vậy, theo chứng minh trên,

ta có

0( ) 0, 0( ) 0, [ , ]

u t ≥ −u t ≥ t∈ a b

CHƯƠNG II BÀI TOÁN BIÊN DẠNG TUẦN HOÀN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM

TUYẾN TÍNH BẬC NHẤT

Equation Section (Next)

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày một số kết quả về điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên dạng tuần hoàn(1.1), (1.2)

Trong chương này ta vẫn giả sử rằng λ + µ ≠0 và λµ ≤0

Trường hợpλ = −µta cần thêm điều kiện toán tử l L không tầm thường, nghĩa là (1)∈ ab l ≢1

2.1 Định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Khi đó bài toán (1.1), (1.2)có nghiệm duy nhất

Để chứng minh định lý 2.1.1 trước hết ta chứng minh bổ đề 2.1.2

2.1.2 Bổ đề

Giả sử

• 0< µ λ≤ , q∈L a b( [ ], ;¡+)

M m

µ λ

Điều nàymâu thuẫn với giả thiết (2.6)

Vậy bài toán (1.1), (1.2) không có nghiệm không tầm thường không âm n

Chứng minh định lí 2.1.1

Để chứng minh bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất,theo định lí 1.1.1 ta cần chứng minh bài toán (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường

(1) 1(1)

λ µ µ

ll

M m

M u t t a b u t

m u t t a b u t

Do u là hàm đổi dấu nên M >0,m <0

Không mất tính tổng quát, ta giả sử t m<t M

Từ (2.14) và giả thiết l l0, 1∈P kết hợp với ab

µ λ

µ λ

Từ giả thiết (2.3) và (2.4)ta có

1(1)

L

µ λ

<

l

0 1

M m

Không mất tính tổng quát, ta giả sử t m<t M

Chứng minh tương tự như trên, ta cũng có (2.15) - (2.19) thoả mãn

<

l (theo (2.3)), (2.20), ta có

{ }

( ) max ( ) : [ , ] : ,( ) min ( ) : [ , ] :

M m

Không mất tính tổng quát, ta giả sử t m<t M

Từ (2.14) và giả thiết l l0, 1∈P kết hợp với ab

L L

+ − l < l

Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức 1(1) 1 2 1 0(1)

L < + − L

(1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường Hay bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất

Thật vậy, giả sử bài toán (1.10), (1.20) có nghiệm không tầm thường u

Từ các giả thiết (2.45), (2.46), theo định lí 1.2.5,và l l0, 1∈P , rõ ràng ab l0∈V ab+( , )λ µ Theo định nghĩa 1.2.1và giả thiết l l0, 1∈P , ta cóulà hàm đổi dấu ab

Do u liên tục trên [ , ] a b nên tồn tại t M,t m∈[ , ]a b sao cho

max ( ) : [ , ] ( ),min ( ) : [ , ] ( )

M m

Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức (2.47), từ đó suy ra bài toán (1.10), (1.20) có nghiệm

tầm thường u Hay u là nghiệm duy nhất của bài toán (1.1), (1.2) n 2.1.5 Chú ý

Không thể xảy ra dấu bằng trong bất đẳng thứcγ( )b γ( )a 3 µ

0( )( )v t g t v( ) υ( )t t a b,

≡

llVới

υ ε

CHƯƠNG III BÀI TOÁN BIÊN DẠNG TUẦN HOÀN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM

TUYẾN TÍNH BẬC NHẤT ĐỐI SỐ LỆCH

Equation Section (Next)

Trong chương này, ta sẽ áp dụng các kết quả của chương II để thiết lập một số kết quả chính cho trường hợp đặc biệt của phương trình(1.1) có dạng

Ở đây ta vẫn giả sử bất đẳng thức λµ ≤0 được thoả mãn

Trường hợp nếu λ = −µthì ta cần thêm điều kiện p 0 ≢g 0

Chương II Xây dựng các điều kiện đủ để bài toán biên dạng tuần hoàn (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất Các kết quả chính là định lý 2.1.1, định lý 2.1.3, định lý 2.1.4, định lý 2.1.6

Chương III.Áp dụng các kết quả của chương IIđể xây dựng các điều kiện đủ cho phương trình vi phân đối số lệch ( )1.1′ với điều kiện biên dạng tuần hoàn (1.2) có nghiệm duy nhất Các kết quả chính là các định lí 3.1.1, định lí 3.1.2

Từ những vấn đề đưa ra trong luận văn, một câu hỏi đặt ra là các kết quả trên còn đúng hay không cho phương trình vi phân hàm bậc cao hay bài toán biên nhiều điểm cho phương trình vi phân hàm Hơn nữa đối với các bài toán trên chúng tôi còn chưa nghiên cứu tính xấp

xỉ nghiệm của nó do thời gian có hạn

Chính vì vậy thông qua các kết quả đã đạt được trong luận văn này, tác giả mong muốn được mở rộng và tiếp tục nghiên cứu các vấn đề nêu trên Tác giả rất mong sự góp ý và chỉ bảo của Quý Thầy Cô trong hội đồng

TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt

[1] Haim Brezis (2002), Giải tích hàm lý thuyết và ứng dụng, NXB Đại Học Quốc Gia TP

Hồ Chí Minh

Tiếng Anh

[2] I Kiguradze and B Puza (1997), “On boundary value problems for systems of linear

functional differential equations”, Czechoslovak Math.J, 47(2), pp.341 – 373

[3] I Kiguradze and B Puza (1997), “On periodic solutions of systems of linear functional

differential equations”, Arch Math J, 33(3), pp.197 – 212

[4] R Hakl, A Lomatidze and J Sremr (2002), Some boundary value problems for first order scalar functional differential equations, Masaryk University Brno, Czech

Republic